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title: Définir les outils mathématiques de niveau 2 : proposition 1
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#### Proposition 1

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#### Définir les outils mathématiques requis au niveau 2

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Pour l'instant, juste une **liste de besoins dans une première classification** pour ordonner un peu le brainstorming (numération, géométrie, etc).
Elle **ne présage pas des titres de chapitres*.

Ne présage pas du programme de mathématique, mais **permettra de définir un programme "outils mathématiques et concepts physiques"**, qui sera construit avec les mathématiciens.

Ce thème "Outils mathématiques" sera nécessaire, puisqu'il sera *commun à tous les thèmes des sciences expérimentales*. Lorsqu'un outil ou concept sera utilisé dans le cours d'un thème particulier, il sera toujours possible d'afficher des éléments d'"Outils mathématiques" dans un mode parallèle.

N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.

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Les *outils mathématiques de niveau 1* **$`+`$** :

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  NUMERATION, OPERATIONS ET FONCTIONS USUELLES
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! *Numération, opérations et fonction usuelles*

* ensembles de nombres
  * des entiers naturels **$`\mathbb{N}`$** (et $`\mathbb{N}^*`$)
  * des entiers relatifs **$`\mathbb{Z}`$** (et $`\mathbb{Z}^*`$)
  * des nombres réels **$`\mathbb{R}`$** (et $`\mathbb{R}^*,\mathbb{R}_+,\mathbb{R}_-, \mathbb{R}_+^*`$,...)
  * des nombres rationnels et irrationnels ? (pas de liens directs en physique, plutôt programme math N2 ou N3?)

* factorielle d'un nombre entier nature
* fonction exponentielle **$`exp(x)=e^x`$**
* **$`log_p\,n`$**, définie comme :   
si $`q=p^n`$, alors $`\log_p(q)=n`$, où $`n,p,q`$ sont des entiers et $`p,q`$ positifs.   
(besoin pour introduire des éléments de physique importants)

* introduction à **$`i`$** tel que **$`i^2=-1`$** (comme artifice de calcul)

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(CME-FR)   Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisme :

* *Fonctions trigonométriques* $`\sin`$ , $`\arcsin`$ , $`\cos`$ , $`\arcsin`$ , $`\tan`$ , $`\arctan`$

* Les *relations de trigonométrie* :   
  * **$`\sin(a+b)=\sin\,a\;\cos\,b + \sin\,b\;\cos\,a`$**
  * **$`\sin(a-b)=\sin\,a\;\cos\,b - \sin\,b\;\cos\,a`$**
  * **$`\cos(a+b)=\cos\,a\;\cos\,b - \sin\,b\;\sin\,a`$**
  * **$`\cos(a-b)=\cos\,a\;\cos\,b + \sin\,b\;\sin\,a`$**   
  et *savoir retrouver les autres*

* L'identité remarquable : **$`(a+b)(a-b)=a^2-b^2`$**

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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<!------------------------------------------------------------------------------
  ENSEMBLES  ET  LOGIQUE
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! *Ensembles et logique*

(CME-FR)

Ensembles : Avec l'aide de diagrammes de Venn :

* *complémentaire d'un ensemble* $`A`$ dans $`E`$*, noté **$`\mathbf{\complement_E A}`$**
*  **$`A\cup B = A + B - (A\cap B)`$**  
*  **$`(A \cap B)\cap C = A \cap (B \cap C)`$**
*  **$`A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)`$**
*  **$`A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)`$**
*  **$`A \cap \complement_E A = \varnothing`$**
*  **$`A \cup \complement_E A = E`$**

* Utilisation de **$`\forall`$** , **$`\exists`$** , **$`\displaystyle\lim_{x\longrightarrow x_0}`$**

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)


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  PROBABILITÉS - STATISTIQUES
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! *Probabilités, statistiques*

(CME-FR) 
* Arrangement (tirage de k éléments parmi n sans remise) : **$`A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}`$**
* Combinaison (nombre de combinaisons de k éléments sélectionnés dans un ensemble de n éléments)    
**$`C_n^k=\dfrac{n!}{k!\;(n-k)!}`$**

* définition de **$`p_A(B)`$**
* **$`p(A \cap B) = p(A)\times p_A(B)`$**

* Statistique à deux variables : droite d'ajustement (méthode des moindres carrés)


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  GÉOMÉTRIE  ET  COORDONNÉES
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! *Géométrie et coordonnées*

(CME-FR)

* Règles d'orientation d'un plan : *sens direct* (sens inverse des aiguilles d'une montre) 
et *sens inverse* (sens des aiguilles d'une montre) 

* Coordonnées *cartésiennes (2D et 3D)*
  Repère et base cartésiens (2D)
  composantes vectorielles d'un vecteur (en 2D)   

* Coordonnées *polaires*  : 2D $`(\rho,\varphi)`$  et 3D $`(\rho,\varphi, z)`$
  Savoir positionner un point

* Coordonnées *sphériques* : 2D $`(\theta,\varphi)`$ et 3D $`(r,\theta,\varphi)`$   
  difference avec longitude, latitude, altiture des coordonnées géographiques

* *Projection orthogonale (2D)*, en relation avec les fonctions
 sinus et cosinus et le produit scalaire

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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  VECTEURS ET ANALYSE VECTORIELLE
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! *Vecteurs et analyse vectorielle*

(CME-FR) 
* *Représentation* intuitive *géométrique des vecteurs* (longueur, direction et sens)   
   ou alors dès le niveau 1?

* *Addition et soustraction géométriques de vecteurs*   
ou alors dès le niveau 1?

* composantes d'un vecteur dans une base quelconque, orthogonale, orthonormée 2D

*Dans une base euclidienne (2D)*:   
* *produit scalaire de 2 vecteurs* en relation avec l'opération de projection orthogonale sur un axe :    
**$`\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\lVert \overrightarrow{u} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{v} \rVert \cdot \cos\theta`$**   
* pour deux vecteurs unitaires et orthogonaux  
**$`\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}=\delta_1^2`$**
* pour deux vecteurs exprimés dans une base orthonormée   
**$`\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u_x\,v_x+u_y\,v_y`$**
* Norme d'un vecteur et expression dans un base orthonormée, en relation avec Pythagore   
**$`\lVert\overrightarrow{u}\rVert=\sqrt{u_x^2+u_y^2}=\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}}$**

* Expression de l'angle en radian   
**$`\theta=\dfrac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\lVert \overrightarrow{u} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{v}\rVert }`$**


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  ÉTUDE DE  FONCTIONS
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! *Étude de fonctions*

* *Fonction réelle à une variable réelle* **$`f(x)`$**
  * Notion de *dérivée en un point* **$`f'(x_o)`$** en relation avec la notion de tangente.
  * Fonction dérivée **$`f'(x)`$**

* *Tableau de variation, tableau de signe, tracé, représentation graphique, recherche d'extrémum (à partir de la dérivée)

* dérivée seconde dès ce niveau ? (méca, équilibre), ou alors seulement dans les parties "au-delà" ?

* notion de primitive et d'intégrale simple dès ce niveau ?, ou alors seulement dans les parties "au-delà" ?

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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  ÉQUATIONS
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! *Équations*

* *Équations du second degré :* **$`a\,x^2 + b\,x + c = 0`$**

* Savoir *poser en équations un problème qui relève du système d'équations*      
**$`\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y = c_1 \\ a_2\,x + b_2\,y = c_2  \end{array}\right.`$**   
*et le résoudre* (de façon non matricielle, mais par substitution, combinaison).

* Savoir *poser en équations un problème qui relève du système d'équations*    
**$`\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y + c_1\,z = d_1 \\ a_2\,x + b_2\,y + c_2\,z = d_2 \\ a_3\,x + b_3\,y + c_3\,z = d_3 \end{array}\right.`$**   
et voir que la résolution (de façon non matricielle) est simple mais fastidieuse.

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)



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AUTRES
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(XXX-YY)
...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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