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title: Definir las herramientas matemáticas de nivel 4 : proposición 1 
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<!--caligrafía de las integrales curvilíneas simple y doble -->
$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
$`\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}`$


#### Proposición 1

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#### Definir las herramientas matemáticas necesarias para el nivel 4 

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Por ahora, solo una **lista de necesidades en una primera clasificación** para organizar un poco la lluvia de ideas (conjuntos y logica, geometría, etc.). *No presagia títulos de capítulos*.

No presagia el programa de matemáticas, pero **permitirá de definir un programa de "herramientas matemáticas y conceptos físicos"**, que se construirá con los matemáticos.

Este tema "Herramientas matemáticas" será necesario, ya que será *común a todos los temas de las ciencias experimentales*. Cuando se utilizará una herramienta o concepto en el curso de un tema en particular, siempre será posible mostrar elementos de "Herramientas matemáticas" en modo paralelo.

No dude en crear una nueva clasificación si es necesario. 

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Las *herramientas matemáticas de los niveles 1, 2 y 3* **$`+`$** :

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  NUNMERACION, OPERACIONES Y FUNCIONES COMUNES 
------------------------------------------------------------------------------->
! *Numeración, operaciones y funciones comunes *


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  CONJUNTOS Y LOÓGICAonjuntos 
------------------------------------------------------------------------------->
! *Conjuntos y lógica *



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  GEOMETRÍAS Y COORDENADAS 
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! *Geometrías y coordenadas *

(CME-FR) 

* Coordenadas curvilíneas generalizadas, y
* coordenadas no ortogonales, no estandarizadas 
* *base natural* (local) **$`\overrightarrow{a_i}`$** de un sistema de coordenadas $`x^i`$    
$`\overrightarrow{a_i}=\displaystyle\lim_{\delta x^i \rightarrow 0} \dfrac{\delta\overrightarrow{s}}{\delta x^i}`$,    
$`\left(\overrightarrow{e_i}=\dfrac{\overrightarrow{a_i}}{\lVert \overrightarrow{a_i} \rVert}\right)`$
* *base dual* **$`\overrightarrow{a_i^{&#42;}}=\overrightarrow{a^i}`$** 
  * $`\longrightarrow`$ Espacio de Fourier, cristalografía 
  * $`\longrightarrow`$ espacios no euclidianos ($`\longrightarrow`$ riemannianos  $`\longrightarrow`$ los dos relatividades )
* ccoordenadas contravariantes **$`u^i`$** y covariantes **$`u_i`$** de un vector **$`\overrightarrow{u}=u^i\,\overrightarrow{a_i} =u_i\,\overrightarrow{a^i}`$**
  * $`\longrightarrow`$ producto escalar **$`\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u^i\,v_j = u_i\,v^j`$**
* nvariante local $`ds`$, métrica local asociada con coordenadas 

para terminar 

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(XXX-YY) ...

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(XXX-YY) ...

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(XXX-YY) ...

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  ESCALARES-VECTORES-TENSORES ; ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL 
------------------------------------------------------------------------------->
! *Escalares-vectores-tensores; análisis vectorial y tensorial*

(CME-FR)
Definición del operador vectorial Laplaciano  
**$`\Delta\overrightarrow{E}=\overrightarrow{grad}(div\,\overrightarrow{E})-\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E})`$**   
y expresión en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)


* Tensores $`t`$ de orden $`n`$ (se necesitan hasta el orden 4, para elasticidad y rigidez en mecánica), en un espacio euclidiano y en coordenadas cartesianas. 
 Si **$`\overrightarrow{e_i} \overset{(a)}{\longrightarrow} \overrightarrow{e_j'}`$** con $`(a)`$ matriz de transición entre dos bases cartesianas: 
   * orden 1 : **$`t'=\pm a_i\,t_i\quad`$** ; **$`\quad(t')=(a)(t)`$** (attention à la définition de (a)
   * orden 2 : **$`t'=\pm a_i\,a_j\,t_{ij}\quad`$** ; **$`\quad(t')=(a)(t)(a)^t`$** (attention à la définition de (a)
   * orden 3 : **$`t'=\pm a_i\,a_j\,a_k\,\,t_{ijk}`$** 
   * orden 4 : **$`t'=\pm a_i\,a_j\,a_k\,a_l\,\,t_{ijkl}`$**   
con signo $`\pm`$ según tensor polar o axial, y si (a) cambia el sentido de la base.
(convenciones y escritura matemática por definir) 


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(XXX-YY) ...

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(XXX-YY) ...

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(XXX-YY) ...

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MATRICES
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! *Matrices*

(CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización.

* *Cálculo de una matriz inversa*
* *Diagonalización* de una matriz cuadrada
* Cálculo de *valores y vectores propias* de una matriz cuadrada
* *Traza* de una matriz
* *firma* de una matriz 

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<!------------------------------------------------------------------------------
ECUACIONES DIFERENCIALES 
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! *Ecuaciones diferenciales*


(XXX-YY) ...

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AUTRES
------------------------------------------------------------------------------->
! *Otros*

(XXX-YY)
...

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