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title: Géométrie et coordonnées
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### Géométrie et coordonnées niveau 4 : overview

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!!!! *Attention : COURS EN CONSTRUCTION :*    
!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
!!!!  Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.   
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.

<!--MétaDonnée : ... -->

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Stade extrêmement préliminaire.

Et pas de commentaires des figures à ce stade.

Juste des essais de visibilité smartphone

* Comment travailler dans une base non orthonormée, ou le théorème de Pythagore ne s'applique plus
sur les composantes des vecteurs ?

##### Qu-est-ce que la base duale?

![](base-duale-1-why_L1200.gif)   
Figure à changer, passer à une base non orthogonale et non normée...

* Définition base duale en 2D

![](base-duale-définition-2_v2_L1200.gif)

* Définition base duale en 3D

![](base-duale-3D-1_v2_L1200.gif)

##### Dois-le visualiser mentalement la construction de la base duale ?

   * 2D trompeur, 3D trop complexe pour notre cortex
   * Le besoin de passer ou prolonger un stade de visialisation dépend de chacun, l'objectif 
   est de s'approprier les propriétés de la base duale, et comprendre que ces dernières sont contenues 
dans son écriture mathémétique.
   * S'il y a besoin d'étudier des géométries non euclidiennes ou des variétés de dimensions
   supérieures à 2 ou 3, seule restera la maîtrise des propriétés des opérateurs vectoriels et tensoriels.

##### La puissance de la mathématique

   * Une seule relation mathématiques, $`\overrightarrow{a^i}\cdot\overrightarrow{a_j}=\delta^i_j`$ exprime
   l'ensemble des propriétés reliant la base naturelle et la base duale associée, contient en son sein
   tout le processus de construction de la base duale, le tout en généralisant à des variétés de dimension $`n`$ quelconque.

**$`\forall (i,j)\quad , \quad\overrightarrow{a^i}\cdot\overrightarrow{a_j}=\delta^i_j`$**

![](base-duale-superiority-math-on-representation_L1200.gif)


##### Pourquoi et quand considérer la base duale ?

* La base duale est confondue avec sa base naturelle lorsque celle-ci est orthonormée.   
Là encore, cette propriété est contenue dans l'expression $`\overrightarrow{a^i}\cdot\overrightarrow{a_j}=\delta^i_j`$.   
(excepté en cristallographie (?) où les unités associées aux deux bases sont différentes ($`m`$ et $`m^{-1}`$), pas le même espace... attention ...
bien mettre cela au point)   

![](bases-duale-naturelle-egales_v2_L1200.gif)

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  * Quand cela est possible dans l'espace euclidien, on se ramène toujours à une base cartésienne (donc orthonormée)
  car l'expression du produit scalaire y est trivial.    
  _Exemple : dans l'étude des propriétés physiques des cristaux anisotropes, même si la base
  de la maille cristalline n'est ni orthogonale ni normée, des cnventions nous ramènent à une
  base cartésienne pour y exprimer les composantes des différents tenseurs décrivant les propriétés physique._
  
  * Cristallographie, diffraction, on doit passer dans l'espace de Fourier.
  
  * Là où cela est nécessaire : description et calculs dans des variétés non euclidiennes.
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##### Base duale pour décrire le réseau réciproque, vers cristallographie

![](base-duale-base-directe_L1000.gif)   
_Représentation simplifiée en 2D d'un reseau cristallin et du réseau réciproque associé_

La cristallographie travaille avec l'espace euclidien 3D de la physique classique
   * $`\Longrightarrow`$ l'écriture de la base naturelle
   $`(\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\overrightarrow{a_3})`$ décrivant 
   la maille cristalline choisie se simplifie en $`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})`$   
   et la base duale associée $`(\overrightarrow{a^1},\overrightarrow{a^2},\overrightarrow{a^3})`$ en 
   $`(\overrightarrow{a^*},\overrightarrow{b^*},\overrightarrow{c^*})`$ 
   * $`\Longrightarrow`$ la définition de la base duale $`\overrightarrow{a^i}\cdot\overrightarrow{a_j}=\delta^i_j`$
   peut se réécrire avec l'expression équivalente   
   .    
   $`\quad\overrightarrow{a^*}=\dfrac{\overrightarrow{b}\land\overrightarrow{c}}{\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\land\overrightarrow{c})}\quad`$
   $`,\quad\overrightarrow{b^*}=\dfrac{\overrightarrow{c}\land\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{c}\land\overrightarrow{a})}\quad`$
    $`,\quad\overrightarrow{c^*}=\dfrac{\overrightarrow{a}\land\overrightarrow{b}}{\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\land\overrightarrow{b})}\quad`$    
   .       
   les produits mixtes   
   .      
   $`\quad\dfrac{\overrightarrow{b}\land\overrightarrow{c}}{\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\land\overrightarrow{c})}`$
   $`=\dfrac{\overrightarrow{c}\land\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{c}\land\overrightarrow{a})}`$
   $`=\dfrac{\overrightarrow{a}\land\overrightarrow{b}}{\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\land\overrightarrow{b})}=V`$   
   .      
   faisant apparaître le volume $`V`$ de la maille cristalline.

   *  Attention, il s'agit de deux espace différents, la norme des vecteurs ... est en $`m`$,
   représentation d'une périodicité spatiale, et celle des vecteurs ... en $`m^{-1}`$, 
   représentation d'une fréquence spatiale... A expliquer. 


##### Vers composantes contravariantes et covariantes, vers relativité

figure à terminer


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#### Qu'est-ce qu'une variété ?

* Une **variété** est un *ensemble continu de points*.

* La *position* de tout point $`M`$ est donnée par une suite d'un même nombre minimum $`n`$ de paramètres réels,
appelées **coordonnées du point $`M`$** et notées : 
<br>     
 **$`\mathbf{(x_M^1,x_M^2,...,x_M^n)}`$**   
 ou   
 **$`\mathbf{x_M^a}`$**, avec $`a\in\{1,...,n\}`$
 
* La **dimension** de la variété est ce *nombre minimum de paramètres pour repérer de façon unique
 tout point* de la variété :   
 
 **dimension** $`=`$ **nombre de degrés de liberté**


Beaucoup plus loin ...

![](geometry-non-euclidian-plan-tangent-curve_L800.gif)

Figure à modifier... moins de nombres affichés sur les axes, et indépendamment
du plan tangent vert, indiquer avec petit cercle là ou localement le plan tangent
est euclidien...

se voit mieux avec les équations, cela se complète..
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