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title: Géométrie et coordonnées - proposition 2
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#### Géométrie et coordonnées niveau 1 : main

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!!!! *Attention : COURS EN CONSTRUCTION :*    
!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
!!!!  Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.   
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.

<!--MétaDonnée : ... -->

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!!! Toujours délicat de fixer le curseur de ce niveau 1... A qui s'adresse-t-il?
!!! 
!!! * Il doit rester utile à ceux qui sont ou ont été le plus éloignés géographiquement, socialement, économiquement d'un système éducatifs de base.   
!!! $`\Longrightarrow`$ idée de cette proposition :    
!!! À ce niveau, fixer les concepts et mots-clés associés, principalement de la vie de tous les jours.   
!!! Utiliser un vocabulaire simple et des textes pas trop longs.     
!!! Malgré tout, le texte dans cette partie "main" peut être suffisamment long pour préciser clairement les choses. En effet, pour les internautes qui n'ont pas l'habitude de lire ou de se concentrer sur des textes un peu longs, l'essentiel des idées est repris sous forme plus synthétique et associé à des images et animations dans la partie "synthèse". L'idée est aussi de tirer vers l'apprentissage de la lecture de textes plus longs ceux qui, ayant commencé par la partie synthèse, seraient particulièrement intéressés par le thème abordé.
!!!
!!! * La maîtrise des concepts et mots-clés utiles à la vie de tous les jours sont essentiels pour pouvoir se placer et progresser. Mais il ne faut pas rester à l'écart des évolutions, questions et connaissances plus pointues de l'actualité du thème scientifique abordé. C'est très important en terme de culture générale, d'attrait vers les sciences et de motivation pour progresser.   
!!! $`\Longrightarrow`$ idée de cette proposition :  
!!! Si un tel point n'est pas abordé dans le texte standard de cette partie "main" de niveau 1, il peut apparaître dans cette partie "main" dans un apparté "au-delà", il peut aussi être plus développé ou apparaître dans la partie "beyond" associée (dans le mode "linear") à cette partie "main". Et il serait bien qu'il apparaisse d'une façon ou d'une autre, plus développé, dans le niveau 2.

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!   
! *LE  TEMPS  ET  L'ESPACE*        
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
!  <!--(autre type de titre possible "J'ai conscience du temps et je perçois l'espace")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! L'idée dans cette proposition est de fixer le vocabulaire, et de faire réfléchir sur ces notions si intuitives qu'on y pense plus. Mais il s'agit d'une réflexion sur l'aspect objectif de ces notions, destiné à l'aspect mesure des durées et des longueurs, en préparation à la mécanique qui abordera les vitesses et accélérations, et de façon plus générale le mouvement, sa description et ses causes dans un référentiel donné.<br>
! <br>
! Le lien complexe entre le temps, l'espace, la matière, l'énergie<br>
! ou entre l'espace-temps et la matière-énergie<br>
! ou dans un cadre espace-temps-matière-énergie<br> 
! se fera progressivement dans les niveaux supérieurs et uniquement sur les thématiques concernées. L'idée ici est de rester au plus près des sensations et intuitions contemporaines : l'intuition toute newtonienne d'un espace et d'un temps, cadre d'un univers indépendant de son contenu.<br>
! <br>
! Quant à la valeur psychologique du temps, elle n'est pas d'utilitée en terme de mesure et de physique. L'idée si elle se développe sera de l'aborder dans une partie "psychologie, sciences sociales". Il sera toujours possible alors d'afficher ces deux visions dans un mode que nous pourrions appeler mode transverse ou mode transdisciplinaire.<br>
! <br>
! Enfin, l'emploi de centrer au début sur "ma", "ce que je", permet après de se poser la question "toi", "nous", "nos perceptions communes", "ce sur quoi nous pouvons nous entendre", premier pas vers l'idée que mes perceptions et ce que je crois, tout cela n'est pas universel. Je dois écouter et comprendre la vision de l'autre, premier apprentissage de la relativisation. La comparaison entre physique classique, relativités et physique quantique peut aider énormément à cela, avec un côté franchement objectif.<br>
! <br>
! </details>

### 1 - Perception et représentation du temps


#### 1.1 - Ma perception et représentation du temps


##### 1.1.1 - Des évènements simultanés ou qui se succèdent dans le temps


##### 1.1.2 - Le passé, l'instant présent, et l'avenir


##### 1.1.3 - Des phénomènes cycliques


##### 1.1.4 - Les unités de mesure des durées entre deux évènements


##### 1.1.5 - La datation des évènements


#### 1.2 - Nos perceptions et représentations communes du temps

(dans la vie de tous les jours, ce que l'on déduit de nos sens et de notre bon-sens)

#### 1.3 - Ce que révèlent les mesures temporelles les plus précises

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### 2 - Perception et représentation de l'espace


#### 2.1 - Ma perception et représentation de l'espace


##### 2.1.1 - Des corps plus ou moins éloignés


##### 2.1.2 - Les unités de mesures des longueurs  

implique déjà la notion de sègment de droite, de plus court chemin entre deux points, mais c'est très intuitif.

##### 2.1.3 - L'espace a 3 dimensions

Première approche sur les notions de référentiel et de coordonnées :  
Un exemple possible d'enchaînement d'dées : 
\- je suis immobile sur le sol.  
\- de ma position mon regard pointe un objet immobile dans une direction.   
\- mon poids, dû à la gravité, m'indique en haut et un bas   
\- en plaine, mon corps est confiné dans un plan horizontal   
\- par rapport à moi, un objet est situé plus ou moins loin :   
&nbsp;&nbsp;\- devant ou derrière   
&nbsp;&nbsp;\- à gauche ou à droite
&nbsp;&nbsp;\- en haut ou en bas   
$`\Longrightarrow`$ conscience de trois directions indépendantes :   
\- haut-bas   
\- devant-derrière   
\- gauche-droite   
avec deux sens possibles pour chacune de ces directions. L'objet est situé plus ou moins loin :   
\- devant OU derrière   
\- en haut OU en bas (par rapport à mon regard qui pointe l'horizon de la plaine)   
\- à droite OU à gauche  

##### 2.1.4 - Une surface a 2 dimensions

Un exemple possible d'enchaînement d'dées : 
\- un oiseau se déplace dans les 3 dimensions de l'espace.   
\- en absence de moyen de me déplacer verticalement, mon déplacement est limité à la surface du sol terrestre.
\- 

##### 2.1.5 - Une ligne a 1 dimension 






#### 2.2 - Nos perceptions et représentations communes de l'espace   



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### 3 - Au-delà de ce que révèlent nos sens, vers un espace-temps   

(à ce niveau 1 pour intéresser et comme point culturel d'actualité?   
et  
comme chapitre dans cette partie main, ou comme un apparté "au-dela" de cette partie main?   
ou plutôt dans la partie "beyond"?)

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!   
! *LA  GEOMETRIE  DE  L'ESPACE*   
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
! <!--(autre type de titre possible : " ... ")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! <br>
! </details>


#### Sègment de droites, droites et demi-droites    

#### Le plan

#### 

ce qu'il faut ... sans ordre, juste listing d'idées :   
_(1 : nous sommes sans le dire dans l'espace euclidien)_   
_(2 : ne pas oublier que l'on est au niveau 1, et que l'on ne s(adresse pas à des enfants à l'école, mais à des adolescents
ou de jeunes adultes)

* commencer par la notion de point, non ?

* dans l'espace, le chemin (la ligne) le plus court entre deux points quelconques distincts est un sègment de droite.   
notation : $`[AB]`$

* comment passer très simplement du sègment de droite à la demi-droite et à la droite?

* 

- dans un plan de l'espace, l'ensemble des points du chemin le plus court entre deux points quelconques distincts du plan appartiennent au plan.
  (niveaux sup : dans un plan plongé dans l'espace)

- 2 droites séquentes permettent de définir un plan

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!   
! *DES  FIGURES  ET  DES  VOLUMES*   
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière)
! <!--(autre type de titre possible "J'identifie et réalise des formes, je calcul des surface et des volumes")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>  
! Idée d'un bloc très "utilitaire". Pour apprendre à reconnaître, nommer et savoir comment contruire des formes, et à recevoir les formules mathématiques pour s'entraîîner à calculer des aires et des volumes.<br>
! <br>
! </details>

### Lignes, surfaces et volumes

idées :
\- dans l'espace :   
&nbsp;&nbsp;\- ligne droite et ligne courbe.  
&nbsp;&nbsp;\- ligne ouverte et ligne fermée.   
&nbsp;&nbsp;\- surface ouverte et surface fermée.   
\- dans un plan, une figure est définie par une ligne fermée. Elle est frontière, elle délimite un intérieur et un extérieur. L'intérieur définie une surface. la surface est plus ou moins grande, elle possède une certaine aire.  
\- dans l'espace, un volume est défini par une surface fermée. Ce volume est plus ou moins grand, sa taille est quantifiée par son ... volume (une ambiguïté qui nous poursuivra jusqu'au niveau 3 au moins...)  

### Les figures simples dans un plan :  

#### Les quadrilataires

Idée : commencer par les quadrilataires, et parmi le rectangle. L'avantage est que l'on peut définir
tout de suite l'aire d'un rectangle et la calculer. On en aura besoin pour calculer l'aire de triangles et autres figures.
Mêême si à ce niveau on donne les équations pour calculer les aires, on pourra faire des figures et animations qui ramènent toutes
à la définition de l'aire d'un rectangle. Et cela sera indispensable aux démonstrations géométriques (visuellement, avec des animations c'est
possible à ce niveau 1) des théorèmes de Thalès et Pytahgores qui sont utiles (parfois sous une forme cachée : règles de 3, coordonnées cartésiennes, ...) toute la vie, et à tout niveau y compris dans la vie quotidienne.

(ou alors commencer par le cercle, projection et fonctions sinus et cosinus?)

définition

dans un point "au-delà" ou un "point remarque" : une structure de quadrilatère, lorsqu'elle n'est pas pleine, se déforme facilement. A éviter pour faire une structure rigide, en architecture.

##### Le rectangle et le carré

définitions
Aire : $`A=a\times b`$, et $`A=a\times a= a^2`$. 

##### Le parallélogramme et le losange

définitions
Aire : $`A=a\times h_a`$  ou $`A=b\times h_b`$. 

##### Le trapèze

##### Le quadrilatère quelconque.


##### Le triangle quelconque


#### Les triangles

quelconques, isocèles, équilatérales, rectangles.    
Formules de calcul des circonférences et des aires (avec les animations pour une compréhension géométrique)

##### Le triangle rectangle


##### Les triangles isocèle et équilatéral (est-ce vraiment utile?)


##### Le triangle quelconque


#### Les polygones

Notamment les polygones réguliers, et vers le cercle.

#### le cercle

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!   
! *GÉOMÉTRIE  ET  RÈGLES  DE  CALCUL*   
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
!  <!--(autre type de titre possible "La géométrie m'aide à calculer")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! un tel bloc "Géométrie et règles de calcul" peut à ce niveau aider ceux qui ont des problèmes avec les règles du calcul numérique.<br>
! <br>
! </details>  


#### Triangles semblables et théorème de Thalès   
(vers la règle de 3, et la proportionnalité)

#### Carrés, rectangles, triangles rectangles et le théorème de Pythagore   
(dans un triangle rectangle, $`a^2+b^2=c^2`$). Cette propriété sera la justification du choix future, dès que c'est possible,
de systèmes de coordonnées (et leurs bases et repères associées) orthonormés, de l'opération de projection sur un axe et la définition
du produit scalaire. Il n'y a qu'au niveau 4, lorsqu'il faudra considérer des bases vectorielles non orthonormées, des géométries non euclidiennes, qu'il faudra s'écarter de cela. Et Cela demandera de bien avoir compris ce qu'il y a avant, le tout découlant directement du théorème de Pytahgore.

#### Carrés, rectangles, et l'égalité $`(a+b)^2=a^2+b^2+2ab`$


#### Introduction aux fonctions sinus et cosinus


#### Le nombre $`\large{\pi}`$

Même si les fonctions sin et cos seront bien mieux maîtrisées dans les niveaux supérieurs, tous ont au moins une calculatrice (ne serait-ce
que dans leur smartphone) qui donne le résultat numérique du sinus ou du cosinus d'un angle (en degré à ce niveau).   
On peut donc exposer une méthode pour le calcul encadré du nombre pi.
Et proposer dans la partie beyond un défi ou exercice : qu'il applique la méthode pour calculer pi avec un certain  niveau de précisions
donné par le dernier digit).
Cela permet :   
\- de dédramatiser le nombre pi. Certes c'est un nombre (ou ses multiples comme tau ;) ) inclus dans la structure de l'espace euclidien,
mais il se calcule, il se découvre (il n'est pas donné "magiquement").   
\- d'introduire dans un apparté "beyond" ou dans la partie "beyond" la notion de limite, qui sera reprise au niveau 2 (ou 3?).   
\- cela permet d'introduire dans un apparté "beyond" ou dans la partie "beyond" la notion de d'incertitude sur la connaissance d'un nombre,
ou du résultat d'une mesure, qui sera reprise au niveau 2, puis développée dans les niveaux 3 et 4.


#### La projection parallèle

(très important ici)
Introduire le concept de projection sur une droite (ou un plan) parallèlement à une autre droite non colinéaire (ou non parallèle au plan).
Parler plutôt de projection parallèle (et non orthogonale) parce que c'est le type de projection qui sera utilisée pour les coordonnées, bases et repères cartésiens dans toute la suite. Et dire "parallèle" et non "orthogonale" parce que c'est bien la projection parallèle et non la projection orthogonale lorsqu'au niveau 4 seront abordés les bases non orthogonales et les composantes contravariantes et covariantes.   
Par ailleurs c'est facile à expliquer de façon très intuitive avec une animation : c'est la projection de l'ombre portée d'un style sur une feuille éclairée en plein soleil. Lorsque l'on commencera à parler de coordonnées orthogonales ou orthonormées (niveaux 2 et supérieurs), cela correspondra au cas où le soleil est au zénith.   
C'est aussi une préparation (sans le dire) au produit scalaire, probablement introduit dès le niveau 2.

<!--====================================================-->

!   
!  *INVARIANCES  ET  SYMÉTRIES  EN  GÉOMÉTRIE*  
!  <!--(autre type de titre possible "Je vois des formes symétriques")--> 
!  (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
!  Question : Dès ce niveau 1? ou on démarre au niveau 2?   
!  
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! À faire. symétrie par rapport à un point, à une droite, à un plan...<br>
! <br>
! Ce sujet mériterait un chemin pédagogique sur 4 niveaux à lui tout seul.<br>
! <br>
! Mais déjà cela conduit à mettre en valeur (ou être sûr qu'ils apparaissent dans le chapitre DES FIGURES ET DES VOLUMES, je pense en particulier à l'hexagone) les traingles, parallélogrammes quadrilatères et l'hexagone, car on peut remplir un plan avec chacun d'eux sans laisser d'interstices vides. Permiers pas vers les cristaux. On peut prendre comme exemple très concret les formes possibles pour l'élément de base d'une mosaïque ou d'un dallage (en considérant des joints extrêmement fins).<br>
! <br>
! et peut-êêtre les volumes platoniciens? Pas grande utilité de fait. Peut-êêtre simplement dans une partie "beyond"?<br>
! <br>
! </details> 



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!   
!  *SYSTÈMES  DE  COORDONNÉES*   
!  (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
!  <!--(autre type de titre possible "Je me situesur Terre, je repère des lieux")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! Introduire les systèmes de coordonnées.
! <br>
! </details>  

Espace à 3 dimensions $`\Longrightarrow`$ il faut trois nombres indépendants pour se repérer dans un environnement, ou pour localiser un corps dans l'espace.

3 nombres, peuvent correspondre à des distances ou des angles.

<!-->
#### Je localise un lieu sur le globe terrestre

latitude, longitude, altitude (2 angles et une longueur)    
une première étape sans le dire vers les coordonnées sphériques (même si les définitions des angles et de la longueur changent).   
à partir de google earth ou d'un équivalent.

#### J'identifie des sommets sur une table panoramique

direction, distance, altitude (1 angles et 2 longueurs)
une première étape sans le dire vers les coordonnées polaires et cylindriques (même si les définitions des angles et de la longueur changent).   
à partir d'une table d'orientation panoramique.

#### J'étudie une carte géographique

la carte est plane (échelle petite et moyenne, de façon qu'il n'y ait pas d'effet de projection visible).   
x, y (plan d'une maison)
axes nord-sud et est-oouest, plus éventuellement courbes de niveau (plan d'une région).   
3 longueurs.    
une première étape vers les coordonnées cartésiennes.    
(lien avec la représentation d'une fonction f(x) avec des exemples?)


#### De la planète Terre au lieu où je vis

travail sur le globe terrestre, et une représentation projetée sur un plan.   
les distances entre deux lieux sur le globe ne sont pas conservées,   
la surface d'une sphère ne peut se déplier sur un plan sans déformations, déchirures.
dans une partie "au-delà" (en considérant des longueurs de l'ordre du rayon de la "sphère" terrestre,   
des éléments de géométrie (euclidienne) ne sont pas vrais)


<!--====================================================-->

!   
!  *MODELISER  LES  PHENOMENES  OBSERVÉS*   
!  (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
!  <!--(autre type de titre possible "Je modélise la nature")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! Il s'agit en fait sans le dire d'une première introduction (sans le dire) à la méthode scientifique. A partir des observations sur le temps, l'espace, les corps immobiles et en mouvements et des propriétés géométriques de l'espace et des nombres et des opérations d'introduire  la notion de modélisation physique.<br>  
! <br>
! Et de façon plus concrête, à partir des ces éléments de perceptions et de la mathématique, d'introduire la physique classique et la physique moderne.<br> 
! <br>
! Même si on doit bétonner la physique classique, car c'est celle qui est utile dans la vie de tous les jours, celle qui se "ressent" dans notren expérience du quotidien et qui nous permet de réaliser tout projet à ce niveau 1, il est important d'avoir une connaisance culturelle sur la physique moderne. Et la mise en parallèle de la physique classique, des relativités et quantique permet de mieux comprendre les "bases" de chacune, comment elles façonnent chacune notre vision du monde et se complètent, et de comprendre la notion-même de "modèle".<br>
! <br>
! Donc, a priori, se dirige en ce qui concerne la physique classique, vers la première étape de cinématique (sans dire ce mots), débarrassée des coordonnées. Donc a priori, on partirait des notions de position, de vitesse et d'accélération. Puis (sans le dire) vers des sensations physiques utiles, puis des concepts de dynamique et d'énergétique. <br>
! <br>
! </details>  


<!--====================================================-->

Après, les blocs suivants seront plutôt dans une autre thématique dédiée à la mécanique.
Pour le côté cinématique (sans dire ce mot) :
\- distance "à vol d'oiseau" entre deux villes et distance d'un trajet (itinéraire) joignant ces deux villes.
\- vitesse et accélération
Etc



