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title: 'Application of the Fermat''s principle,<br>associated optical laws and phenomena M'
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#####chemin stationnaire dans un milieu homogène

Par définition, dans un <strong>milieu homogène</strong> l'<ins>indice de réfraction à la même valeur en tout point</ins>, donc je peux écrire :<br>
$\tau\;=\;\frac{1}{c}\cdot\int_{S_{AB}}n\;ds\;=\;\frac{n}{c}\cdot\int_{S_{AB}}ds$

Comme $n$ et $c$ sont des constantes, lors le <strong>temps de parcours $\tau$ </strong><ins>est proportionnel à la simple longueur euclidienne $s= \int_{S_{AB}}ds$ du chemin suivi </ins>entre A et B.

Il existe une infinité de chemins possibles entre A et B, dont les longueurs s'étendent depuis une longueur minimum jusqu'à l'infini. Le seul chemin sur lequel le temps de parcours de la lumière est stationnaire est ici le chemin de longueur minimum entre ces deux points, soit le segment de droite [AB]. Le principe de Fermat postule donc que la lumière suivra le segment de droite qui joint ces deux points A et B.
 <strong>Dans un milieu homogène</strong>,<ins> les rayons lumineux sont des droites </ins>

#####chemin optique stationnaire lors d'une réflexion

Soit un <strong>miroir plan</strong>.

<!--A  REPRENDRE !!! >
Inutile et nuisble de préciser que c'est un miroir, ni que la surface sur laquelle s'éffectue la réflexion soit plane. On peut refaire toute la démonstration sans l'hypothèse que le dioptre est plan !, et il faut le faire. En effet, le principe de Fermat ne nécessite que de connaître trois points : un point A placé sur le trajet du rayon de lumière avant interaction avec la surface du dioptre, un point B placé sur le trajet de la lumière après interaction avec la surface du dioptre, et le point d'impact du rayon de lumière à la surface du dioptre. La loi de la réfraction se déduit seulement de ces 3 points et s'exprime par deux angles i1 et i2 dont la référence est la normale à la surface au point d'impact. Cette normale est définie mathématiquement par rapport au plan tangent à la surface au point I. Il suffit donc que la surface soit une surface continue (mathématiquement, c'est ca?). Elle peut être plane ou courbe, aussi compliquée soit la courbure. -->

Pour simplifier les calculs, je choisi un système d'axes $(O,x, y, z)$ orthonormé direct tel que la surface du miroir soit dans le plan $(O,x,y)$.
Soit <strong>A et B </strong><ins>deux points situés d'un même côté du miroir</ins>, et <ins>par lesquels passe un même rayon lumineux</ins>. Le rayon lumineux passe d'abord par le point A, se réfléchit sur le miroir en un point I avant de passer par le point B.
Pour simplifier les calculs, je peux choisir les axes $Ox$ et $Oy$ tels que les points A et B soient situés dans le plan $(O,x,z)$.
 Soient $(x_A,0,z_A)$, $(x_B,0,z_B)$ les cordonnées fixées des deux points A et B dans le système d'axe choisi, et  $(x_I,y_I,0)$ les cordonnées variables du point I dans le plan du miroir.
Le <strong>trajet du rayon lumineux</strong> se fait en <ins>deux parties</ins>, du point A au point I, puis après réflexion du point I au point B, toutes deux <ins>situées dans un même milieu homogène</ins> d'indice de réfraction $n$. Le chemin suivi par la lumière est donc constitué des deux segments de droite [AI] et [IB], de longueurs respectives notées d(A,I) et d(I,B). Le <strong>chemin optique</strong> s'écrit alors :

$\delta=\int_{S_{AI}}n\;ds\;+\int_{S_{IB}}n\;ds$
$\hspace{0.2cm}=n\cdot \big( d(A,I)+d(I,B) \big)$

 En fonction des coordonnées des points A et B et des variables coordonnées du point I, il se réécrit :
<ins>
$\delta(x_I,y_I)=n\cdot\Big(\sqrt{(x_I-x_A)^2+y_i^2+z_A^2}$
$\hspace{0.8cm}+\sqrt{(x_I-x_B)^2+y_i^2+z_B^2}\;\Big)$
</ins>

Tout couple de coordonnées ($x_I,y_I) \in \mathbb{R}^2$ représente un parcours entre A et B susceptible d'être emprunté par la lumière. Par ailleurs tout parcours susceptible d'être emprunté par la lumière peut être identifié par un couple ($x_I,y_I) \in \mathbb{R}^2$ .

! En terme mathématiques, je donnerai une description plus précise et plus complète en disant qu'il existe une bijection entre $\mathbb{R}^2$ et l'ensemble des parcours possibles entre les point A et B.

Le <ins>parcours réellement suivi par la lumière</ins> selon le principe de Fermat doit être <strong>stationnaire</strong>. Donc <ins>tout couple de coordonnées ($x_I,y_I$)  qui vérifie</ins>  <strong>
$\delta(x_I,y_I)=\frac{\partial\delta}{\partial x_I}\cdot dx_I\;+\;\frac{\partial\delta}{\partial y_I}\cdot dx_I=0$ pour toutes variations infinitésimales et indépendantes $dx_I$ et $dy_I$</strong>, est un <ins>parcours effectivement choisi par la lumière</ins>.

Cela n'est possible que si chacune des dérivées partiels est nulle, soit :

$(1)\hspace{0.2cm}\frac{\partial\delta}{\partial x_I}=n\cdot\bigg({\small{\frac{x_I-x_A}{\sqrt{(x_I-x_A)^2+y_i^2+z_A^2}}}}$
$\hspace{0cm}+{\small{\frac{x_I-x_b}{\sqrt{(x_I-x_B)^2+y_i^2+z_B^2}}}}\;\bigg)=0$
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;et 
$(2)\hspace{0.2cm}\frac{\partial\delta}{\partial y_I}=n\cdot\bigg({\small{\frac{y_I}{\sqrt{(x_I-x_A)^2+y_i^2+z_A^2}}}}$
$\hspace{0cm}+{\small{\frac{y_I}{\sqrt{(x_I-x_B)^2+y_i^2+z_B^2}}}}\;\bigg)=0$

Comme les points A et B sont ne sont pas dans le plan du miroir ($z_A > 0$ et $z_B > 0$) alors les deux termes en racine carré sont strictement positifs. L'équation $(2)$ n'est donc vérifiée que si implique $y_I=0$ : le principe de Fermat postule ici que les 3 points A, I et B sont dans le même plan $y=0$, appelé plan d'incidence. Ainsi le <strong>rayon réfléchi </strong>est <ins>dans plan d'incidence </ins>défini par le rayon incident et la normale à la surface du miroir. au point I.

Dans ce plan d'incidence $(O,x,z)$, l'équation $(1)$ implique que les coordonnées des points A=($x_A,z_A$) et B=($x_B,z_B$) vérifient :

${\small{\frac{x_I-x_A}{\sqrt{(x_I-x_A)^2+z_A^2}}=\frac{x_I-x_B}{\sqrt{(x_I-x_B)^2+z_B^2}}}}$

Cela implique premièrement, comme une racine carrée est toujours un nombre positif, que $x_I$ est un nombre compris entre $x_A$ et $x_B$. Dans le plan d'incidence, le <strong>rayon réfléchi</strong> est toujours <ins>de l'autre côté de la normale au plan du miroir au point d'impact</ins>, par rapport au rayon incident.
Deuxièmement, en remarquant dans cette même équation (1) que

<ins>${\small{\frac{|\,x_I-x_A\,|}{\sqrt{(x_I-x_A)^2+z_A^2}}}}=\sin(i_i)$
    
${\small{\frac{|\,x_I-x_B\,|}{\sqrt{(x_I-x_B)^2+z_B^2}}}}=\sin(i_r)$</ins>

avec <strong>$i_i$ angle d'incidence</strong><ins> du rayon incident</ins> et <strong>$i_r$ angle de réflexion</strong><ins> du rayon réfléchi</ins> <strong>par rapport à la normale en I</strong><ins> au plan du miroir</ins>.

on en déduit que l'<strong>angle de réflexion</strong> à la surface du miroir est <ins>égal à l'angle d'incidence</ins>.


#####chemin optique stationnaire à la traversée d'un dioptre plan

<!--A  REPRENDRE !!! >
On peut refaire toute la démonstration sans l'hypothèse que le dioptre est plan !, et il faut le faire. En effet, le principe de Fermat ne nécessite que de connaître trois points : un point A placé sur le trajet du rayon de lumière avant interaction avec la surface du dioptre, un point B placé sur le trajet de la lumière après interaction avec la surface du dioptre, et le point d'impact du rayon de lumière à la surface du dioptre. La loi de la réfraction se déduit seulement de ces 3 points et s'exprime par deux angles i1 et i2 dont la référence est la normale à la surface au point d'impact. Cette normale est définie mathématiquement par rapport au plan tangent à la surface au point I. Il suffit donc que la surface soit une surface continue (mathématiquement, c'est ca?). Elle peut être plane ou courbe, aussi compliquée soit la courbure. -->

J'appelle dioptre plan toute surface plane séparant deux milieux transparents homogènes d'indices de réfraction différents.

Pour simplifier les calculs, je choisi un système orthonormé direct d'axes $(O,x, y, z)$ tel que le dioptre soit le plan $(O,x,y)$. Le milieu situé côté positif de l'axe $Oz$ a pour indice de réfraction $n_1$ , et le milieu situé côté négatif a pour indice de réfraction $n_2$. 

Soit <strong>A et B </strong><ins>deux points situés de part et d'autres du dioptre</ins>, et <ins>par lesquels passe un même rayon lumineux</ins>. Le rayon lumineux passe d'abord par le point A situé dans le milieu d'indice $n_1$, traverse le dioptre en un point I avant de passer par le point B situé dans le milieu d'indice $n_2$.

Pour simplifier les calculs, je peux choisir l'origine O et les axes $Ox$ et $Oy$ tels que les points A et B soient situés dans le plan $(O,x,z)$.

 Soient $(x_A,0,z_A)$, $(x_B,0,z_B)$ les cordonnées fixées des deux points A et B dans le système d'axe choisi, et  $(x_I,y_I,0)$ les cordonnées variables du point I dans le plan du dioptre

Le <strong>trajet du rayon lumineux</strong> se fait en <ins>deux parties</ins>, du point A au point I dans le milieu d'indice $n_1$, puis après traversée du dioptre, du point I au point B dans le milieu d'indice $n_2$. Le chemin suivi par la lumière est donc constitué des <ins>deux segments de droite</ins> [AI] et [IB], de longueurs respectives notées d(A,I) et d(I,B). Le chemin optique s'écrit alors :

$\delta=\int_{[AI]}n_1\;ds\;+\int_{[IB]}n_2\;ds$

 En fonction des coordonnées des points A et B et des coordonnées variables du point I, le <strong>chemin optique</strong> se réécrit :
 
<ins>
$\delta(x_I,y_I)=n_1\cdot\sqrt{(x_I-x_A)^2+y_I^2+z_A^2}$
$\hspace{0.8cm}+n_2\cdot\sqrt{(x_I-x_B)^2+y_I^2+z_B^2}$
</ins>


Le <ins>parcours réellement suivi par la lumière</ins> selon le principe de Fermat doit être <strong>stationnaire</strong>. 

Donc <ins>tout couple de coordonnées ($x_I,y_I$)  qui vérifie</ins>  
<strong>$\delta(x_I,y_I)=\frac{\partial\delta}{\partial x_I}\cdot dx_I\;+\;\frac{\partial\delta}{\partial y_I}\cdot dx_I=0$  pour toutes variations infinitésimales et indépendantes $dx_I$ et $dy_I$</strong>, est un <ins>parcours effectivement choisi par la lumière</ins>.

Cela n'est possible que si chacune des dérivées partiels est nulle, soit :

$(3)\hspace{0.2cm}\frac{\partial\delta}{\partial x_I}=n_1\cdot{\small{\frac{x_I-x_A}{\sqrt{(x_I-x_A)^2+y_i^2+z_A^2}}}}$
$\hspace{0cm}+n_2\cdot{\small{\frac{x_I-x_B}{\sqrt{(x_I-x_B)^2+y_i^2+z_B^2}}}}\;=0$

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;et 

$(4)\hspace{0.2cm}\frac{\partial\delta}{\partial y_I}=n_1\cdot{\small{\frac{y_I}{\sqrt{(x_I-x_A)^2+y_i^2+z_A^2}}}}$
$\hspace{0cm}+n_2\cdot{\small{\frac{y_I}{\sqrt{(x_I-x_B)^2+y_i^2+z_B^2}}}}\;=0$

Dans l'équation (4), chaque terme en racine carrée est un nombre réel strictement positif dans les cas qui nous intéressent (A et B de part et d'autre du dioptre, donc $z_A>0$ et $z_B>0$). De plus  les indices $n_1$ et $n_2$ sont toujours supérieurs ou égaux à l'unité, donc l'équation ne peut être vérifiée que si 

$y_I\;=\;0$

Je retrouve bien le cas de la réflexion. Tout <strong>rayon réfracté</strong> est <ins>contenu dans le plan d'incidence</ins>.

De même, l'équation (3) n'est vérifiée que si :
$n_1\cdot (x_I-x_A)\;=- \;n_2\cdot (x_I-x_B)$
et là encore, comme $n_1$ et $n_2$ sont strictement positifs, cela implique que que $x_I$ est un nombre compris entre $x_A$ et $x_B$. Dans le plan d'incidence, le <strong>rayon réfracté</strong> est toujours <ins>de l'autre côté de la normale au plan du dioptre au point d'impact</ins>, par rapport au rayon incident.

Enfin si je remarque dans cette même équation (3) que

<ins>${\small{\frac{|\,x_I-x_A\,|}{\sqrt{(x_I-x_A)^2+z_A^2}}}}=\sin(i_1)$
    
${\small{\frac{|\,x_I-x_B\,|}{\sqrt{(x_I-x_B)^2+z_B^2}}}}=\sin(i_2)$</ins>

avec <strong>$i_1$ angle d'incidence</strong><ins> du rayon incident</ins> et <strong>$i_2$ angle de réflexion</strong><ins>du rayon réfléchi</ins> <strong>par rapport à la normale en I</strong><ins> au plan du miroir</ins>.</li></ul>

j'en déduis que la <strong>relation entre l'angle d'incidence $i_1$ et l'angle de réfraction $i_2$</strong> à la surface du miroir est <ins>$n_1\cdot \sin(i_1)=n_2\cdot\sin(i_2)$</ins>.


#####Etude de cas :  réflexion sur un miroir elliptique

#####Etude de cas :  réflexion sur un miroir sphérique concave




<!--ul class="list">
<li>Ce dernier point est important. Si je me déplace en voiture sur un trajet entre deux villes, pour un même itinéraire, le temps de parcours dépendra de ma conduite. Je suis à chaque instant maître de la vitesse de ma voiture (dans ses limites, et dans les limites de sécurité), et donc le temps de parcours n'est pas une caractéristique du chemin lui-même.</li>
<li>Un temps de parcours qui ne dépendrait que du chemin lui même peut-être calculé en considérant que la voiture atteint, sur chaque portion de route caractérisée par une vitesse limite autorisée, une vitesse moyenne représentant 90% (par exemple de cette vitesse limite.</li></ul-->



#####Le principe dérivé du "retour inverse de la lumière"
Je regarde la trajectoire d'un rayon lumineux dans l'espace. Sur cette trajectoire, je sélectionne deux points distincts quelconques sur cette trajectoire, mais tels que le sens de propagation de la lumière soit de A vers B. Quelques soient les systèmes optiques placés sur cette trajectoire entre ces deux points A et B, la trajectoire suivie par la lumière entre ces deux points suit le principe de Fermat : entre l'infinité de trajectoires possibles entre ces deux points, la lumière "choisit" celle qui minimise ou maximise le temps de parcours.
Si maintenant je considère une situation où la lumière doit se propager depuis le point B vers le point A, quelle serait la trajectoire de la lumière pour ce sens de parcours? Dans son énoncé, le principe de Fermat ne mentionne nullement un sens de propagation (de A vers B, ou de B vers A). Il est ainsi évident que la trajectoire déterminée par le principe de Fermat est identique, que la lumière se propage de A vers B ou de B vers A. Ce principe est connu sous le nom de "<strong>principe du retour inverse de la lumière</strong> et je peux l'énoncer de la façon suivante :
<strong>Le trajet suivi par la lumière est indépendant du sens de propagation.</strong>
Application : en optique géométrique, <ins>pour résoudre certains problèmes</ins>, il peut être <ins>parfois plus facile</ins> pour moi <ins>de considérer que la lumière se propage en sens inverse de son sens de propagation réel</ins>.