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title: Collecte éléments de Logique
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!!!! *COURS EN CONSTRUCTION :* <br>
!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com. Ce cours est *en construction*, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade. <br>
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.

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### Collecte d'éléments de mathématiques, niveau 3.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
#### Lógica y teoría matemática / Logique et théorie mathématique / Logic and mathematical theory
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

*[Math_Logic-10]  Aserción / Assertion / ...*

[ES]<br>
[FR] La logique mathématique utilise des **assertions** qui peuvent être *vraies ou fausses*.<br>
[EN]  _assertion is a genaral term, and statement = assertion that may be true or false ?_

[ES] (¡ auto-transl !) **aserción** = *afirmación, frase, oración, proposición*. <br>
[FR] **assertion** = *phrase, énoncé, proposition*. <br>
[EN] 

[ES] (¡ auto-transl !) La lógica matemática representa las **aserciones** mediante *letras mayúsculas*.<br>
[FR] En logique mathématiques, les **assertions** sont représentées par des *lettres majuscules*.<br>
[EN] 

**valor de verdad** / **valeur de vérité** / ...

[ES] <br>
[FR] Une proposition $`P`$ peut prendre 2 valeurs de vérité possibles : vrai, ou faux.<br>
[EN] 

[ES] <br>
[FR] La valeur de vérité d'une proposition $`P`$ s'écrit $`v(P)`$.
[EN] 

[ES]  (¡ auto-transl !) Notaciones :
* el valor **verdadero** está representado por la letra *V* o el número *1*.
* el valor **falso** está representado por la letra *F* o el número *0*.
[FR] Notations :
* la valeur **vrai** se représente par la lettre *V* ou le nombre *1*.
* la valeur **faux** se représente par la lettre *F* ou le nombre *0*.
[EN] 

-----------------------

*[Math_logic-15] Proposiciones indecidibles? Propositions indécidables?*

[ES] ¿Que decir?<br>
[FR] Que dire ?<br>
[EN] What to say?<br>

[ES] (¡ auto-transl !)  La paradoja del mentiroso que dice "En esta oración presente, estoy mintiendo.".<br>
[FR] Le paradoxe du menteur qui dit "Dans cette phrase présente, je mens.".<br>
[EN] 

------------------------

*[Math_Logic-20]  Lógica / logique / logic*

[ES] (¡ auto-transl !) Así como el álgebra estudia las propiedades de las operaciones y ecuaciones realizadas con sus combinaciones, sin preocuparse por los valores de los números involucrados, <br>
_ejemplo : el álgebra establece que $`a\times (b+c) = a\times b + a\times c`$_<br>
la **lógica** estudia las *propiedades de los operadores lógicos y equivalencias entre expresiones lógicas* realizadas con sus combinaciones, sin preocuparse por el significado de las aserciones involucradas.<br>
Los **operadores lógicos** son la *negación* ($`\neg`$), la *equivalencia* ($`\Longleftrightarrow`$), la *conjunción* ($`\land`$), la *disyunción* ($`\lor`$), la *implicación* ($`\Longrightarrow`$) y la *incompatibilidad* ($`|`$).<br>
_ejemplo : la lógica establece que  $`\neg(\,P \land Q\,)  \Longleftrightarrow  \neg P  \lor \neg Q`$._

[FR] De même que l'algèbre étudie les propriétés des opérations et des équations réalisées avec leurs combinaisons, sans se soucier des valeurs des nombres mis en jeu,<br>
_exemple : l'algèbre établit que $`a\times (b+c) = a\times b + a\times c`$_<br>
la **logique** étudie les *propriétés des opérateurs logiques et des équivalences entre expressions logiques* réalisées avec leurs combinaisons, sans se soucier du sens des assertions mises en jeu,<br>
Les **opérateurs logiques** sont la *négation* ($`\neg`$), l'*équivalence* ($`\Longleftrightarrow`$), la *conjonction* ($`\land`$),la *disjonction*($`\lor`$), l'*implication*  ($`\Longrightarrow`$) et l'*incompatibilité* ($`|`$).<br>
_ejemplo : la lógica establece que  $`\neg(\,P \land Q\,) \Longleftrightarrow \neg P  \lor \neg Q`$._

[EN] 

-------------------------

*[Math_Logic-30]  axiomas y teoremas / axiomes et théorèmes / axioms and theorems*

[ES] (¡ auto-transl !) Un **axioma** es una *aserción* que se declara y se considera *verdadera, sin demonstración*. <br>
Un **teorema** es una *aserción* cuyo *valor verdadero se demuestra mediante un razonamiento lógico a partir de otras afirmaciones (axiomas o teoremas).

[FR] Un **axiome** est une *assertion* qui est posée et considérée comme *vraie, sans démonstration*.<br>
Un **théorème** est une *assertion* dont *la valeur vraie est démontrée* par un raisonnement logique à partir d'autres assertions (axiomes ou théorèmes).

[EN]  (auto-transl !) 

--------------------------

*[Math_Logic-40] théorie mathématique*

[ES] ? <br>
[FR] ? <br>
[EN] ?

--------------------------

*[Math_Logic-50]*<br>
[ES] (¡ auto-transl !)   <br>
[FR] *Théorie contradictoire ou cohérente* <br>
[EN] (¡ auto-transl !)

[ES] (¡ auto-transl !)  <br>
[FR] Une théorie est **contradictoire** si *une assertion est à la fois vraie et fausse* car dans ce cas *toutes les assertions sont à la fois vraies et fausses*.<br>
[EN] (auto-transl !)

[ES] (¡ auto-transl !)  <br>
[FR] Une théorie est **cohérente** si elle n'est *pas contradictoire*.<br>
[EN] (auto-transl !)

--------------------------------------

*[Math_Logic-60]  Tabla de verdad / Table de vérité / Truth table

[ES] (¡ auto-transl !)
[FR] Donne la valeur de vérité d'une assertion composée<br>
[EN] (auto-transl !)

-------------------------------------------------------------------------------------------
#### Los operadores lógicos / Les opérateurs logiques / The logical operators 
-------------------------------------------------------------------------------------------

*[Math_Logic-70]  Négation*

[ES] (¡ auto-transl !)    

[FR] Soit $`P`$ une assertion.<br>
La **négation de $`P`$** est une nouvelle assertion qui s'écrit **$`\mathbf{\text{NON}(P)}`$** ou **$`\mathbf{\neg P}`$**, et dont la valeur est *définie par* :
* **$`\mathbf{\\neg P}`$ est vraie si $`\mathbf{P}`$ est fausse**.
* **$`\mathbf{\\neg P}`$ est fausse si $`\mathbf{P}`$ est vraie**.

[EN] (auto-transl !)

[ES][FR]

| $`\quad P\quad`$   |  $`\quad\neg P\quad`$ |
| :-------------------: | :-------------------: |
| V | F |
| F | V |

[EN] 

| $`\quad P\quad`$   |  $`\quad\neg P\quad`$ |
| :-------------------: | :-------------------: |
| T | F |
| F | T |

o / ou / or [ES][FR][EN]

| $`\quad P\quad`$   |  $`\quad\neg P\quad`$ |
| :-------------------: | :-------------------: |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |

!!! *Ejemplos / exemples / examples* :
!!!  * $`\neg (3\lt 5)`$ es una aserción falsa /est une assertion fausse / is a false statement
!!!  * $`\neg (3 = 5)`$ es una aserción verdarera / est une assertion vraie / is a true statement

-----------------------------------------

*[Math_Logic-80]  	Equivalencia / équivalence*

Símbolo / symbole / symbol : **$`\mathbf{\Longleftrightarrow}`$**

[ES] (¡ auto-transl !)

[FR] Soient $`P`$ et $`Q`$ deux assertions.

L'assertion **$`\mathbf{P \Longleftrightarrow Q}`$** :
  * se lit *$`P`$ est équivalent à $`Q`$*.
  * est **vraie si et seulement si** les valeurs de vérité de $`P`$ et $`Q`$ sont égales : **$`\mathbf{v(P)=v(Q)}`$**,<br>
donc si les assertions $`P`$ et $`Q`$ sont vraies ou fausses en même temps.

Les assertions **$`\mathbf{P \Longleftrightarrow Q}`$** et **$`\mathbf{Q \Longleftrightarrow P}`$** ont la *même définition*,<br>
sont *deux écritures différentes de la même* **équivalence de $`\mathbf{P}`$ et $`\mathbf{Q}`$**.

[EN] (auto-transl !)

[ES] (¡ auto-transl !) Tabla de verdad de equivalencia :<br>
[FR] Table de vérité de l'équivalence :<br>
[EN] (auto-transl !) Truth table of the equivalence :

| $`\quad P\quad`$   |  $`\quad Q \quad`$ | $`\quad P \Longleftrightarrow Q \quad`$ |
| :--------------------: | :--------------------: | :---------------------------------------------: |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |

([EN] same, excepted that V becomes T)

o / ou / or

| $`\quad P\quad`$   |  $`\quad Q \quad`$ | $`\quad P \Longleftrightarrow Q \quad`$ |
| :--------------------: | :--------------------: | :---------------------------------------------: |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |

!!! *Ejemplos / exemples / examples* :<br>
!!! [ES] (¡ auto-transl !) "Juan es el hijo de José" $`\quad \Longleftrightarrow \quad`$" José es el padre de Juan ".
!!! [FR] "Jean est le fils de Jacques" $`\quad \Longleftrightarrow \quad`$ "Jacques est le père de Jean".<br>
!!! [EN] (auto-transl !) "Oliver is Daniel's son" $`\quad \Longleftrightarrow \quad`$" Daniel is Oliver's father".

-----------------------

*[Math_Logic-90]  ... / conjonction / ..*

[ES] Símbolo : <br>
[FR] Symbole : **ET** ou **$`\mathbf{\land}`$** <br>
[EN] Symbol :

[ES]  <br>
[FR] Soient $`P`$ et $`Q`$ deux assertions.<br>
[EN]

L'assertion **$`\mathbf{P \land Q}`$** :
  * se lit *conjonction de $`P`$ et de $`Q`$*.
  * est **vraie si et seulement si** les assertions *$`\mathbf{P}`$ et $`\mathbf{Q}`$ sont vraies toutes les deux*,<br>
donc si et seulement si **$`\mathbf{v(P)=v(Q)=1}`$**.
  * donc est fausse dès que l'une au moins des deux assertions $`P`$ et $`Q`$ est fausse.

[ES] <br>
[FR] Table de vérité de la conjonction :<br>
[EN] 

 $`\quad P\quad`$   |  $`\quad Q \quad`$ | $`\quad P \land Q \quad`$ |
| :--------------------: | :--------------------: | :---------------------------------------------: |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |

ou

| $`\quad P\quad`$   |  $`\quad Q \quad`$ | $`\quad P \land Q \quad`$ |
| :--------------------: | :--------------------: | :---------------------------------------------: |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |

-----------------------

*[Math_Logic-100]  ... / disjonction / ..*

[ES] Símbolo : <br>
[FR] Symbole : **OU** ou **$`\mathbf{\lor}`$** <br>
[EN] Symbol :

[ES]  <br>
[FR] Soient $`P`$ et $`Q`$ deux assertions.<br>
[EN]

L'assertion **$`\mathbf{P \lor Q}`$** :
  * se lit *disjonction de $`P`$ et de $`Q`$*.
  * est **fausse si et seulement si** les assertions *$`P`$ et $`Q`$ sont fausses toutes les deux*,<br>
donc $`v(P \lor Q)=1`$ si et seulement si **$`\mathbf{v(P)=v(Q)=0}`$**.
  * donc $`P \lor Q)`$ est vraie dès que l'une au moins des deux assertions $`P`$ et $`Q`$ est vraie.

[ES] <br>
[FR] Table de vérité de la disjonction :<br>
[EN] 

 $`\quad P\quad`$   |  $`\quad Q \quad`$ | $`\quad P \lor Q \quad`$ |
| :--------------------: | :--------------------: | :---------------------------------------------: |
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |

ou

| $`\quad P\quad`$   |  $`\quad Q \quad`$ | $`\quad P \lor Q \quad`$ |
| :--------------------: | :--------------------: | :---------------------------------------------: |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |

-----------------------

*[Math_Logic-101]  ... / disjonction / ..*

[ES] ?

!!!! [FR] *Attention :*
!!!!
!!!! *Dans la langue française*, le "ou" dans l'expression *P ou Q* est un *"ou" exclusif*. Cela signifie que si la proposition *(P ou Q)* est vraie*, alors soit *P est vraie à l'exclusion de Q*, soit *Q est vraie à l'exclusion de P,* mais donc P et Q ne peuvent être vraies ensemble.
!!!!
!!!! _Par exemple, si dans un restaurant un menu indique que vous avez droit au "fromage ou déssert", cela signifie que vous avez le droit de commander soit le fromage, soit le déssert, mais pas les deux en même temps._
!!!!
!!!! *En mathématique*, le *OU* est *inclusif*. Cela signifie que la proposition $`(P OU Q)`$ est vraie, si $`P`$ est vraie, si $`Q`$ est vraie, et si $`P`$ et $`Q`$ sont toutes les deux vraies.

[EN] ?

-----------------------

*[Math_Logic-110]  ... / implication / ..*

[ES] Símbolo : <br>
[FR] Symbole : **$`\mathbf{\Longrightarrow}`$** <br>
[EN] Symbol :


[ES]  <br>
[FR] Soient $`P`$ et $`Q`$ deux assertions.
[EN] 

L'assertion **$`\mathbf{P \Longrightarrow Q}`$** :
  * se lit *$`P`$ implique $`Q`$*.
  * est **fausse si et seulement si** la première assertion *$`\mathbf{P}`$ est vraie* et la suivante *$`\mathbf{Q}`$ est fausse*,<br>
donc si et seulement si **$`\mathbf{v(P)=1}`$ et $`\mathbf{v(Q)=0}`$**.

[ES] <br>
[FR] Table de vérité de l'implication :<br>
[EN] 

 $`\quad P\quad`$   |  $`\quad Q \quad`$ | $`\quad P \Longrightarrow Q \quad`$ |
| :--------------------: | :--------------------: | :---------------------------------------------: |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |

ou

| $`\quad P\quad`$   |  $`\quad Q \quad`$ | $`\quad P \Longrightarrow Q \quad`$ |
| :--------------------: | :--------------------: | :---------------------------------------------: |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |

-----------------------


*[Math_Logic-110.1]  ... / implication / ..*

[ES]

[FR]
! *Remarque :*
!
! L'implication *$`P \Longrightarrow Q`$* sera *seulement utilisée dans le cas où* :
! * les deux assertions *$`P`$ et $`Q`$ sont vraies*, ce qui conduit à *$`P \Longrightarrow Q`$ vraie*.
! * *$`P`$ est vraie et $`Q`$ est fausse*, ce qui conduit à *$`P \Longrightarrow Q`$ fausse*.
! 
! Ainsi nous évitons le paradoxe apparent que $`P \Longrightarrow Q`$ est toujours vrai dès que $`P`$ est fausse.

[EN]

-----------------------

*[Math_Logic-120]  ... / incompatibilité / ..*

[ES] Símbolo : <br>
[FR] Symbole : **$`|`$** <br>
[EN] Symbol :


[ES]  <br>
[FR] Soient $`P`$ et $`Q`$ deux assertions.
[EN] 

L'assertion **$`\mathbf{P\, | \, Q}`$** :
  * se lit *$`P`$ est incompatible avec $`Q`$*.
  * est **fausse si et seulement si** Les assertions *$`P`$ et $`Q`$ sont vraies ensemble*,<br>
donc $`v(P | Q)=0`$ si et seulement si **$`\mathbf{v(P)=1}`$ et $`\mathbf{v(Q)=1}`$**

Les assertions **$`\mathbf{P\, | \,Q}`$** et **$`\mathbf{Q\, | \, P}`$** ont la *même définition*,<br>
sont *deux écritures différentes de la même* **incompatibilité de $`\mathbf{P}`$ et $`\mathbf{Q}`$**.<br>

[ES] <br>
[FR] Table de vérité de l'implication :<br>
[EN] 

 $`\quad P\quad`$   |  $`\quad Q \quad`$ | $`\quad P \Longrightarrow Q \quad`$ |
| :--------------------: | :--------------------: | :---------------------------------------------: |
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | V |

ou

| $`\quad P\quad`$   |  $`\quad Q \quad`$ | $`\quad P \Longrightarrow Q \quad`$ |
| :--------------------: | :--------------------: | :---------------------------------------------: |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |

----------------------------------------------------------------------------------------------------
#### Las equivalencias simples / Les équivalences simples / The simple equivalences
----------------------------------------------------------------------------------------------------

*[Math_Logic-130.1]  ... / Lois de Morgan / ..*

[ES]  <br>
[FR] **Théorème (Lois de Morgan)** :<br>
Pour deux assertions $`P`$ et $`Q`$, les équivalences suivantes sont vraies :

**$`\mathbf{\text{NON}(P\;ET\;Q) \Longleftrightarrow \big{(}\text{NON}(\,P\,)\,OU\,\text{NON}(\,Q\,)\big{)}}`$**<br>
**$`\mathbf{\text{NON}(P\;OU\;Q) \Longleftrightarrow \big{(}\text{NON}(\,P\,)\,ET 
\,\text{NON}(\,Q\,)\big{)}}`$**

[EN]

[ES][FR][EN] :<br>
**$`\mathbf{\neg(\,P \land Q\,) \quad \Longleftrightarrow \quad \neg P  \lor \neg Q}`$**<br>
**$`\mathbf{\neg(\,P \lor Q\,) \quad \Longleftrightarrow \quad \neg P \land \neg Q}`$**

-----------------

*[Math_Logic-130.2]  ... / Démonstation : Morgan*

[ES]

[EN] 

[FR] Démontrer que $`\text{NON}(P\;ET\;Q) \Longleftrightarrow \big{(}\text{NON}(\,P\,)\;OU\;\text{NON}(\,Q\,)\big{)}`$, c'est montrer que $`\text{NON}(\,P\;ET\;Q\,)`$ et 
$`\big{(}\,\text{NON}(\,P\,)\;OU\;\text{NON}(\,Q\,)\big{)}`$ partagent la même table de vérité.

Avant d'écrire la table de vérité de ces propositions, allégeons le tableau en notant :<br>
$`A= \text{NON}(\,P\;\;ET\;\;Q\,) \quad`$  ,
$`\quad \text{C}=\big{(}\,\text{NON}(\,P\,)\;\;OU\;\;\text{NON}(\,Q\,)\,\big{)}`$<br>
$`B= \text{NON}(\,P\;\;OU\;\;Q\,) \quad`$ , 
$`\quad \text{D}=\big{(}\,\text{NON}(\,P\,)\;\;ET\;\;\text{NON}(\,Q\,)\,\big{)}`$<br>

Etablissons les tables de vérité des expressions $`A`$ et $`C`$ et vérifions leur identité :

| $`\;P\;`$ | $`\;Q\;`$ | $`\;A\;`$ || $`\text{NON}(\,A\,)`$ | $`\text{NON}(\,B\,)`$ | $`\;C\;`$ |  
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| V | V | F |  | F | F | F |
| V | F | V |  | F | V | V |
| F | V | V |  | V | F | V |
| F | F | V |  | V | V | V |

Ce qui prouve la première loi de Morgan.

De même :

| $`\;P\;`$ | $`\;Q\;`$ | $`\;B\;`$ || $`\text{NON}(\,A\,)`$ | $`\text{NON}(\,B\,)`$ | $`\;D\;`$ |  
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| V | V | F |  | F | F | F |
| V | F | F |  | F | V | F |
| F | V | F |  | V | F | F |
| F | F | V |  | V | V | V |

Ce qui prouve la deuxième loi de Morgan.

------------

*[Math_Logic-130.3]  ... / Démonstation : Morgan*

[ES] En notación matemática (internacionale) <br>
[FR] En notation mathématique (internationale) <br>
[EN] In mathematical notation (international) 

[ES] Las propiedades de una aserción $`F`$ vienen dadas por su tabla de verdad. <br>
Sean dos aserciones $`F_1`$ y $`F_2`$ compuestas de dos aserciones $`P`$ y $`Q`$ :<br>
$`F_1=F_1(P,Q)`$ y $`F_2=F_2(P,Q)`$ 
Demostrar que $`F_1(P,Q)`$ y $`F_2(P,Q)`$ son iguales ($`F_1(P,Q) = F_2(P,Q)`$), es mostrar que $`F_1`$ y $`F_2`$ comparten la misma tabla de verdad. 

[FR] Les propriétés d'une assertion $`F`$ sont données par sa table de vérité.<br>
Soient deux assertion $`F_1`$ et $`F_2`$ composée à partir de deux mêmes assertions $`P`$ et $`Q`$.
Démontrer que $`F_1`$ et $`F_2`$ sont égales ($`F_1=F_2`$), c'est montrer que $`F_1`$ et $`F_2`$ partagent une même table de vérité.

[EN] 

[ES] Demostración de : <br>
[FR] Démonstration de :<br>
[EN] Demonstration of : <br>
 $`\neg(\,P \land Q\,) \quad \Longleftrightarrow \quad \neg P  \lor \neg Q`$ :

| $`\;P\;`$ | $`\;Q\;`$ | $`\;\neg P \land \neg Q\;`$ || $`\;\neg P\;`$ | $`\;\neg Q\;`$ | $`\;\neg P \lor \neg Q\;`$ 
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| V | V | F |  | F | F | F |
| V | F | V |  | F | V | V |
| F | V | V |  | V | F | V |
| F | F | V |  | V | V | V |

([EN] same, excepted that V becomes T. 
([ES] Aún mejor, use 1 para V y 0 para F.
[FR] Encore mieux : utiliser 1 pour V et 0 pour F.
[EN] Even better, use 1 for V, and 0 for F.

<br>
[ES] Demostración de : <br>
[FR] Démonstration de :<br>
[EN] Demonstration of : <br>
$`\neg(\,P \lor Q\,) \quad \Longleftrightarrow \quad \neg P \land \neg Q`$ :

| $`\;P\;`$ | $`\;Q\;`$ | $`\neg(\,P \lor Q\,)`$ || $`\;\neg P\;`$ | $`\;\neg Q\;`$ | $`\;\neg P \land \neg Q\;`$  
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| V | V | F |  | F | F | F |
| V | F | F |  | F | V | F |
| F | V | F |  | V | F | F |
| F | F | V |  | V | V | V |

-------------------------

*[Math_Logic-140]  La doble negación / La double négation / The double negation*

[ES] (¡ auto-transl !) Para cualquier aserción lógica $`P`$ :<br>
**$`\mathbf{\text{NO}\big{(}\text{NO}(\,P\,)\big{)} \Longleftrightarrow  P}`$** 

[FR] Pour toute assertion logique $`P`$ :<br>
**$`\mathbf{\text{NON}\big{(}\text{NON}(\,P\,)\big{)} \Longleftrightarrow  P}`$**

[EN] (auto-transl !) For any logical statement $`P`$ :<br>
**$`\mathbf{\text{NO}\big{(}\text{NO}(\,P\,)\big{)} \Longleftrightarrow  P}`$**

| $`\; P\;`$   |  $`\; \text{NO}(\,P\,) \;`$ | $`\; \text{NO}\big{(}\text{NO}(\,P\,)\big{)}  \;`$ |
| :---: | :---: | :---: | 
| V | F | V | 
| F | V | F | 

donc

| $`\; P\;`$   |  $`\; \text{NO}\big{(}\text{NO}(\,P\,)\big{)}  \;`$ | $`\text{NO}\big{(}\text{NO}(\,P\,)\big{)} \Longleftrightarrow  P`$ |
| :---: | :---: | :---: | 
| V |  V | V |
| F |  F | V |

<br>
[ES][FR][EN] **$`\mathbf{\neg \neg P \Longleftrightarrow  P}`$**

| $`\quad P\quad`$   |  $`\quad \neg P \quad`$ | $`\quad \neg\neg P \quad`$ | $`\neg \neg P \Longleftrightarrow  P`$ |
| :---: | :---: | :---: |  :---: |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |

-------------------------

*[Math_Logic-150]  Verdadero Y falso / vrai ET faux / True AND false*

[ES] (¡ auto-transl !) Para cualquier aserción lógica $`P`$ :<br>
**$`\mathbf{\big{(}\,P\;\;\text{Y}\;\;\text{NO}(\,P\,)\,\big{)}}`$ es falsa**.

[FR] Pour toute assertion logique $`P`$ :<br>
**$`\mathbf{\big{(}\,P\;\;\text{ET}\;\;\text{NO}(\,P\,)\,\big{)}}`$ est fausse**.

[EN] (auto-transl !) For any logical statement $`P`$ :<br>
**$`\mathbf{\big{(}\,P\;\;\text{AND}\;\;\text{NO}(\,P\,)\,\big{)}}`$ is false**.

| $`\quad P\quad`$   | $`\quad\text{NO}(\,P\,) \;\quad`$ | $`\quad P\;\;\text{Y}\;\;\text{NO}(\,P\,)\quad`$ | 
| :---: | :---: | :---: | 
| V | F | F | 
| F | V | F | 


<br>
[ES][FR][EN] **$`\mathbf{P \land \neg P} = 0`$**

| $`\quad P\quad`$   |  $`\quad \neg P \quad`$ | $`\quad P \land \neg P\quad`$ |
| :---: | :---: | :---: |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |

-------------------------

*[Math_Logic-160]  Verdadero O falso / vrai OU faux / True OR false*

[ES] (¡ auto-transl !) Para cualquier aserción lógica $`P`$ :<br>
**$`\mathbf{\big{(}\,P\;\;\text{O}\;\;\text{NO}(\,P\,)\,\big{)}}`$ es verdadera**.<br>

[FR] Pour toute assertion logique $`P`$ :<br>
**$`\mathbf{\big{(}\,P\;\;\text{OU}\;\;\text{NO}(\,P\,)\,\big{)}}`$ est vraie**.<br> 

[EN] (auto-transl !) For any logical statement $`P`$ :<br>
**$`\mathbf{\big{(}\,P\;\;\text{OR}\;\;\text{NO}(\,P\,)\,\big{)}}`$ is true**.

| $`\quad P\quad`$   |  $`\quad \text{NO}(\,P\,) \quad`$ | $`\quad P\;\;\text{O}\;\;\text{NO}(\,P\,) \quad`$ |
| :---: | :---: | :---: |
| V | F | V |
| F | V | V |

<br>
[ES][FR][EN] **$`\mathbf{P \lor \neg P} = 1`$**

| $`\quad P\quad`$   |  $`\quad \neg P \quad`$ | $`\quad P \lor \neg P\quad`$ |
| :---: | :---: | :---: |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |

-------------------------

*[Math_Logic-170]  Conmutatividad / commutativité / commutativity*

[ES] (¡ auto-transl !) Conmutatividad de conjunción y disyunción :
[FR] Commutativité de la conjonction et de la disjonction :
[EN] (auto-transl !) Commutativity of the conjunction and disjonction :

[ES] (¡ auto-transl !) Para cualquier aserciones lógicas $`P`$ y $`Q`$, las siguientes equivalencias son verdaderas :<br>
**$`\mathbf{(\,P\;\;Y\;\; Q\,)\; \Longleftrightarrow\; (\, Q \;\; Y \;\; P\,)}`$** <br>
**$`\mathbf{(\,P\;\;O\;\; Q\,)\; \Longleftrightarrow\; (\, Q \;\; O \;\; P\,)}`$** 

[FR] Pour toutes assertions logiques $`P`$ et $`Q`$, les équivalences suivantes sont vraies :<br>
**$`\mathbf{(\,P\;\;ET\;\; Q\,)\; \Longleftrightarrow\; (\, Q \;\; ET \;\; P\,)}`$** <br>
**$`\mathbf{(\,P\;\;OU\;\; Q\,)\; \Longleftrightarrow\; (\, Q \;\; OU \;\; P\,)}`$** 

[EN] (auto-transl !) For any logical statements $`P`$ and $`Q`$, the following equivalences are true :<br>
**$`\mathbf{(\,P\;\;AND\;\; Q\,)\; \Longleftrightarrow\; (\, Q \;\; AND \;\; P\,)}`$** <br>
**$`\mathbf{(\,P\;\;OR\;\; Q\,)\; \Longleftrightarrow\; (\, Q \;\; OR \;\; P\,)}`$** 

| $`\quad P\quad `$ | $`\quad Q\quad `$ | $`\quad P\;AND\;Q\quad `$ | $`\quad Q\;AND\;P\quad`$ | 
| :---: | :---: | :---: | :---: | 
| V | V | V | V | 
| V | F | F | F | 
| F | V | F | F | 
| F | F | F | F | 

<br>

| $`\quad Q\quad `$ | $`\quad P\quad `$ | $`\quad P\;OR\;Q\quad `$ | $`\quad Q\;OR\;P\quad`$ | 
| :---: | :---: | :---: | :---: | 
| V | V | V | V | 
| V | F | V | V | 
| F | V | V | V | 
| F | F | F | F | 

<br>
[ES] [FR] [EN] <br>
**$`\mathbf{P \lor Q \;\Longleftrightarrow\; Q \lor P}`$**<br>
**$`\mathbf{P \lor Q \;\Longleftrightarrow\; Q \lor P}`$**

| $`\; P\; `$ | $`\; Q\; `$ | $`\; P\land Q\; `$ | $`\; Q\land P\; `$ | $`\; P\lor Q\; `$ | $`\; Q\lor P\; `$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

-------------------------

*[Math_Logic-180]  Asociatividad / associativité / associativity*

[ES] (¡ auto-transl !) Asociatividad de conjunción y disyunción :
[FR] Associativité de la conjonction et de la disjonction :
[EN] (auto-transl !) Associativity of the conjunction and disjonction :

[ES] (¡ auto-transl !) Para cualquier aserciones lógicas $`P`$ , $`Q`$ y $`R`$, las siguientes equivalencias son verdaderas :<br>
**$`\mathbf{P\;\;¿?\;(\,Q\;¿?\;R\,) \Longleftrightarrow  (\,P\;¿?\;Q\,)\;¿?\;R}`$** <br>
et on écrit ??????<br>
<br>
**$`\mathbf{P\;¿?\;(\,Q\;¿?\;R\,) \Longleftrightarrow  (\,P\;¿?\;Q\,)\;¿?\;R}`$** <br>
et on écrit ??????<br>

[FR] Pour toutes assertions logiques $`P`$ , $`Q`$ et $`R`$, les équivalences suivantes sont vraies :<br>
**$`\mathbf{P\;\;ET\,(\,Q\;\;ET\;\;R\,) \Longleftrightarrow  (\,P\;\;ET\;\;Q\,)\,ET\;\; R}`$** <br>
et on écrit :<br>
*$`\mathbf{P\;\;ET\;\;Q\;\;ET\;\;R}`$*<br>
<br>
**$`\mathbf{P\;\;OU\,(\,Q\;\;OU\;\;R\,) \Longleftrightarrow  (\,P\;\;OU\;\;Q\,)\,OU\;\; R}`$** <br>
et on écrit :<br>
*$`\mathbf{P\;\;OU\;\;Q\;\;OU\;\;R}`$*<br>

[EN] (auto-transl !) For any logical statements $`P`$ , $`Q`$ and $`R`$, the following equivalences are true :<br>
**$`\mathbf{P\;AND\,(\,Q\;AND\;R\,) \Longleftrightarrow  (\,P\;AND\;Q\,)\,AND\;R}`$** <br>
and we write :<br>
*$`\mathbf{P\;\;AND\;\;Q\;\;AND\;\;R}`$*<br>
<br>
**$`\mathbf{P\;OR\,(\,Q\;OR\;R\,) \Longleftrightarrow  (\,P\;OR\;Q\,)\,OR\; R}`$** <br>
an we write :<br>
*$`\mathbf{P\;\;OR\;\;Q\;\;OR\;\;R}`$*<br>

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*[Math_Logic-190]  Distributividad / distributivité / distributivity*

[ES] (¡ auto-transl !) Para cualquier aserción lógica $`P`$ :<br>
[FR] Pour toute assertion logique $`P`$ :<br>
[EN] (auto-transl !) For any logical statement $`P`$ :<br>
