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title: Définir les outils mathématiques de niveau 3 : proposition 1
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    - slug: define-234-mathematical-tools-p1
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<!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
$`\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}`$

#### Proposition 1

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#### Définir les outils mathématiques requis au niveau 3

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Pour l'instant, juste une **liste de besoins dans une première classification** pour ordonner un peu le brainstorming (numération, géométrie, etc).
Elle **ne présage pas des titres de chapitres*.

Ne présage pas du programme de mathématique, mais **permettra de définir un programme "outils mathématiques et concepts physiques"**, qui sera construit avec les mathématiciens.

Ce thème "Outils mathématiques" sera nécessaire, puisqu'il sera *commun à tous les thèmes des sciences expérimentales*. Lorsqu'un outil ou concept sera utilisé dans le cours d'un thème particulier, il sera toujours possible d'afficher des éléments d'"Outils mathématiques" dans un mode parallèle.

N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.

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Les *outils mathématiques de niveaux 1 et 2* **$`+`$** :

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  NUMERATION, OPERATIONS ET FONCTIONS USUELLES
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! *Numération, opérations et fonction usuelles*

(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation

* nombre imaginaire **$`i`$**   
  Ensemble des nombres imaginaires purs *$`\mathbb{I}`$* : **$`c=i\,b`$**    
  Ensemble des nombres complexes $`\mathbb{C}`$ :    
  **$`c=a+i\,b= |c|\,e^{\,i\,\theta}`$**,   
   avec **$`|c|=\sqrt{a^2 + b^2}`$** et **$`\theta\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)`$**     
  **$`c=a+i\,b= \mathcal{Re}(c)+i\,\mathcal{Im}(c)`$**

* fonction puissance $`y^x`$ 
* fonction exponentielle **$`e^x`$**    
  Euler **$`e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta`$**       
  **$`\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}`$**     
  **$`\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}`$**
  <br>    
  et fonctions hyperboliques    
  **$`\cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{\,- x}}{2}`$**   
  **$`\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{\,- x}}{2}`$**

* **$`e^0=1 \quad , \quad`$**
**$`e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad`$**
**$`e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad`$**, ...

* fonction logatithme **$`log_p\,x`$**   
  propriétés fonction log, dont transformation produit en somme : **$`log_p\,xy`=log_p\,x+log_p\,y$** 
  fonction logatithme **$`log_{10}\,x`$** en relation à la fonction puissance $`10^x`$   
  fonction logatithme népérien **$`Log\,x=ln\,x`$** en relation à la fonction puissance $`exp(x)=e^x`$  

* notations réelle et notation complexe : 
**$`\overrightarrow{U}=U_0\,\cos(k\,x-\omega t+\varphi)\overrightarrow{e}`$**   
**$`\overrightarrow{\underline{U}}=U_0\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t+\varphi)}\overrightarrow{e}`$**
**$`\;=\underline{U_0}\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t)}\overrightarrow{e}`$**       
**$`\overrightarrow{U}=\mathcal{Re}(\overrightarrow{\underline{U}})`$**

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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  ENSEMBLES  ET  LOGIQUE
------------------------------------------------------------------------------->
! *Ensembles et logique*

à faire

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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<!------------------------------------------------------------------------------
  GÉOMÉTRIE  ET  COORDONNÉES
------------------------------------------------------------------------------->
! *Géométrie et coordonnées*

(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation


* Règle d'*orientation de l'espace*   
  Systèmes de coordonnées, bases et repères *directs ou indirect*

* *Coordonnées, bases vectorielles et repères* associées   
  bases et repères *orthogonaux, normés, orthonormés, directs et indirects*

* *Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques*   
  * avec *repères et bases associés*    
  * *éléments infinitésimaux* de longueur, de surface, de volume    
  * expressions des *opérateurs* **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** et **$`\overrightarrow{rot}`$**
  
* *matrice changement de base orthonormée directe* :   
  * $`\overrightarrow{e_i}\longrightarrow \overrightarrow{e_j}'`$ : $`(a)`$
  * $`\overrightarrow{e_j}'\longrightarrow \overrightarrow{e_i}'`$ : **$`(a')=(a)^t = (a)^{-1}`$**

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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  VECTEURS, OPERATEURS ET ANALYSE VECTORIELLE
------------------------------------------------------------------------------->
! *Vecteurs et opérateurs, analyse vectorielle*

(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation

*Dans une base euclidienne (3D)*:   

* Produit scalaire **$`\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}`$** 
* Produit vectoriel **$`\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}`$** (notation $`\wedge`$ ou $`\times`$ )
* Produit mixte **$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})`$**

* Opérateurs **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** et **$`\overrightarrow{rot}`$** (notation $`\overrightarrow{rot}`$ ou $`\overrightarrow{curl}`$ )
  et notation avec nabla (coordonnées cartésiennes) :
  **$`\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y}
  \overrightarrow{e_y}\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{e_z}`$**

* Opérateurs Laplacien scalaire (coordonnées cartésiennes)
 **$`\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$** 
 **$`\;=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}`$**

* Opérateur d'Alembertien scalaire (coordonnées cartésiennes)
*  **$`\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}`$** (pour les ondes)

* **$`\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\,V)=0`$**, lien avec    
  $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=0\quad\Longrightarrow\quad \exists V\;,\;\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V`$

* **$`div\,(\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A}) =0`$**, lien avec    
  $`div\,\overrightarrow{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \exists \overrightarrow{A}\;,\;\overrightarrow{B}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}`$


RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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MATRICES
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! *Matrices*

(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation

* Matrices $`(n,m)`$ : **$`\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}`$**
* Somme de matrice **$`(n,m) + (n,m)`$**
* Produit matriciel **$`(n,m)\cdot (m,p) dot`$**
* Matrice transposée d'une matrice carrée
* Calcul matriciel
* Déterminant d'une matrice carrée : 
  **$`\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}`$**  

  RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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  FONCTIONS - CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL
------------------------------------------------------------------------------->
! *Fonctions - Calcul différentiel et intégral*

(CME-FR) 

* Passage de la notation $`f'(x_0)`$ à **$`\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x_0}`$**    
  Passage de la notation $`f'(x)`$ à **$`\dfrac{df}{dx}`$**   
  ...   
  de $`f^{(n)}(x_0)`$ à **$`\left.\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}\right|_{x_0}`$**   
  de $`f^{(n)}(x)`$ à **$`\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}`$**   

* fonction dérivée et fonction primitive.

* intégrale simple 
  * indéfinie **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$**
  * définie **$`\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx`$**

* intégrale multiple (variables indépendantes)
  *  **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$**
  *  **$`\displaystyle\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz`$**

* différence entre :
  *  **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$** et **$`\oint f(x)\,dx`$**
  *  **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$** et **$`\oiint f(x,y)\,dx\,dy`$**

  RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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  ÉQUATIONS
------------------------------------------------------------------------------->
! *Équations*

(CME-FR) 

* *Résolution de systèmes d'équations linéaires* par la *méthode du déterminant*.

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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  ÉQUATIONS  DIFFERENTIELLES
------------------------------------------------------------------------------->
! *Équations différentielles*

* équations différentielles linéaires d'ordre 1  ( pour concept de constante de temps,charge décharge condensateur)
   * par exemple : $`x(t)`$ est une fonction du temps
**$`a\cdot\dfrac{dx}{dt}+b x=0`$**   
(la ou les notations utilisées ne sont pas définies ici) 
   * puis avec second membre sinusoïdal    
**$`a\cdot\dfrac{dx}{dt}+b x=c`$** 

* équations différentielles linéaires d'ordre 2  (pour étude des oscillateurs mécaniques ou électriques) 
   * par exemple : $`x(t)`$ est une fonction du temps      
**$`a\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}+b\cdot\dfrac{dx}{dt}+b\cdot x=0`$**   
(la ou les notations utilisées ne sont pas définies ici) 
   * puis avec second membre sinusoïdal    
**$`a\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}+b\cdot\dfrac{dx}{dt}+b\cdot x=d \cdot\cos(\omega t)`$**    

* équation d'onde    
**$`\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\dfrac{1}{v}\cdot\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}`$**  

* Système d'ordre 1 et de dimension 2 (une première approche dynamique des populations ou un cours transverse sur les systèmes)
   * **$`\left\{\begin{array}{l} \dfrac{dx}{dt} = f(x,y)\\ \dfrac{dy}{dt}=g(x,y) \end{array}\right.`$** 
       avec par exemple le modèle proies prédateurs de Lotka-Volterra : $`f(x,y)= a\cdot x -b\cdot xy`$ et $`f(x,y)= - c\cdot x +d\cdot xy`$ (à ce niveau 3?) 


* *savoir mettre sous forme d'un système d'équations différentielles* une situation, même si on ne le résoud pas.



RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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AUTRES
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! *Autres*

(XXX-YY)
...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

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