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title: 'nouveau cours : synthèse'
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### Le miroir

#### Qu'est-ce qu'un miroir ?

##### Objectif

* premier : **réfléchir** la lumière, **focaliser ou disperser la lumière**.
* ultime : **réaliser des aimges**, seul ou comme composant d'un système optique.

##### Principe physique

* utilise le **phénomène de réflexion**, décrit par la loi de la réflexion.

##### Constitution

* **surface** plane ou courbe (sphérique pour les plus simples à réaliser, 
parabolique ou elliptique) **polie** finement de façon qu'en chaque point de sa surface,
son état de surface ne dévie de sa forme théorique que d'une distance inférieure à 
$`\lambda/10`$ ($`\lambda`$ étant la longueur d'onde dans le vide de la lumière devant 
être réfléchie). Pour accroître fortement sa réflectivité (pourcentage d'intensité lumineuse 
réflechie par rapport à l'intensité lumineuse totale incidente), la surface est 
**le plus souvent métallisée**.


##### Intérêt en optique

* **L'un des plus importants composants optiques simples**, utilisé *seul ou
combiné en série* avec d'autres composants optiques dans des d'instruments optiques : 
certains objectifs d'appareils photographiques, télescopes.


#### Pourquoi étudier les miroirs plans et sphériques ?

* Les **miroirs plans et sphériques** sont *techniquement les plus simples à réaliser*, 
aussi sont-ils les *plus communs et moins chers*.
* En optique paraxial, les propriétés optiques d'un **miroir plan** sont celles
d'un *miroir sphérique dont le rayon de courbure tend vers l'infini*.


##### Miroir plan, miroirs sphériques concaves et convexes

![](plane-concave-convex-mirrors.png)<br>
Fig. 1.  Miroir   a) plan    b) concave    c) convexe


#### Les miroirs plans et sphériques sont-ils stigmatiques ?

##### Stigmatisme rigoureux dun miroir plan

* Un miroir plan est **rigoureusement stigmatique*.
* Objet et image sont symétriques de chaque côté de la surface du miroir plan<br>
$`\Longrightarrow`$ Un objet réel donne une image virtuelle.<br> 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Un objet virtuel donne une image réelle.

##### Non stigmatisme du miroir sphérique

* En chaque point d'un miroir sphérique, la loi de la réflexion s'applique.
* Un miroir sphérique est non stigmatique : tous les rayons (ou leurs prolongements) 
issus d'un point objet, après réflexion ne convergent généralement pas vers un point image
(voir Fig. 2.)
* Un miroir sphérique à angle d'ouverture limité (angle $`\alpha`$ sur Fig. 3.) et utilisé de telle façon que les angles d'incidence restent petits
en tout point de sa surface (voir Fig. 4.) réalise les conditions de stigmatisme approché.

![](spherical-mirror-rays-stigmatism-1000-1.jpg)<br>
Fig. 2. Non stigmatisme du miroir sphérique

![](spherical-mirror-rays-stigmatism-1000-2.jpg)<br>
Fig. 3. Mais quand nous diminuons l'angles d'ouverture du miroir (valeur de $`\alpha`$ en rad)

![](spherical-mirror-rays-stigmatism-1000-3.jpg)<br>
Fig. 4 . et limitons l'utilisation du miroir de telle façon que les angles d'incidence restent 
petits, alors un point image peut-être presque déterminé : le miroir devient quasi-stigmatique.


##### Conditions de Gauss / approximation paraxiale et stigmatisme approché

* Quand un miroir sphérique est utilisé dans les conditions suivantes, dites **conditions de Gauss** :<br>
\- Les *angles d'incidence restent petits*<br>
(les rayons incidents sont faiblement inclinés par rapport à l'axe optique, et interceptent la surface
sphérique du miroir au voisinage de l'axe optique),<br>
alors le miroir sphérique peut être considéré comme *quasi- stigmatique*, et ainsi
*peut être utilisé pour construire des images optiques*.

* Mathematiquement, quand un angle $`\alpha`$ est petit ($`\alpha < or \approx 10 ^\circ`$),
les approximations suivantes peuvent être faites :<br>
$`sin(\alpha) \approx  tg (\alpha) \approx \alpha`$ (rad), et $`cos(\alpha) \approx 1`$.

* L'optique géométrique limitée aux conditions de Gauss s'appelle l'**optique gaussienne** ou **optique paraxiale**.
 
#### Le miroir sphérique mince (optique paraxiale)

* Nous appelons **miroir sphérique mince** un *miroir sphérique utilisé dans les conditions de Gauss*.


##### Etude analytique  (en optique paraxiale)

* **Relation de conjugaison du miroir sphérique mince** :<br><br>
$`\dfrac{1}{\overline{SA_{ima}}}+\dfrac{1}{\overline{SA_{obj}}}=\dfrac{2}{\overline{SC}}`$&nbsp;&nbsp;(equ.1)

* **Expression du grandissement transversal** :<br><br>
$`\overline{\gamma_t}=-\dfrac{\overline{SA_{ima}}}{\overline{SA_{obj}}}`$&nbsp;&nbsp;(equ.2)

Tu connais $`\overline{SA_{obj}}`$, tu calcules $`\overline{SA_{ima}}`$ en utilisant (equ. 1) 
puis $`\overline{\gamma_t}`$ avec (equ.2), et déduis $`\overline{A_{ima}B_{ima}}`$.

! *UTILE 1* :<br>
! La relation de conjugaison et l'expression du grandissement transversal pour un miroir plan 
! s'obtiennent en réécrivant ces deux équations pour un miroir sphérique dans la limite
! $`|\overline{SC}|\longrightarrow\infty`$.
! Tu obtiens alors : $`\overline{SA_{ima}}= - \overline{SA_{obj}}`$ et
! $`\overline{\gamma_t}=+1`$.

! *UTILE 2* :<br>
! *Tu peux retrouver les équations* de conjugaison et du grandissement transverse *pour un miroir sphérique ou plan
 et pour un dioptre plan, directement à partir de celles du dioptre sphérique*, en considérant les analogies suivantes :<br>
! - pour passer du dioptre au miroir : $`n_{eme}=-n_{inc}`$<br>
! (pour mémoriser : milieu d'incidence = milieu d'émergence, donc même vitesse de propagation apparente de la lumière, mais le
sens de propagation est inversé après la réflexion sur le miroir)<br>
! - pour passer du sphérique au plan : $`|\overline{SC}|\longrightarrow\infty`$ <br>
! Tu retrouves bien pour un miroir plan :
! $`\overline{SA_{ima}}= - \overline{SA_{obj}}`$ and $`\overline{M_T}=+1`$ 


##### Etude graphique

*1 - Déterminer les points focaux objet et image*

Les position des points focaux objet F et image F’ se déduisent facilement de la relation de conjugaison (equ. 1).

* Distance focale image $`\overline{OF'}`$ : $`\left(|\overline{OA_{obj}}|\rightarrow\infty\Rightarrow A_{ima}=F'\right)`$<br><br>
(equ.1) $`\Longrightarrow\dfrac{1}{\overline{SF'}}=\dfrac{2}{\overline{SC}}\Longrightarrow\overline{SF'}=\dfrac{\overline{SC}}{2}`$

* Distance focale objet $`\overline{OF}`$ : $`\left(|\overline{OA_{ima}}|\rightarrow\infty\Rightarrow A_{obj}=F\right)`$<br><br>
(equ.2) $`\Longrightarrow\dfrac{1}{\overline{SF}}=\dfrac{2}{\overline{SC}}\Longrightarrow\overline{SF}=\dfrac{\overline{SC}}{2}`$

*2 - Représentation du miroir sphérique mince*

* **Axe optique = axe de symétrie de révolution** du miroir, **orienté** positivement dans le sens de la lumière incidente.

* Représentation du miroir sphérique mince :<br><br>
\-**sègment de droite**, perpendiculaire à l'axe optique, centré sur l'axe avec une *indication symbolique de la courbure de la surface du miroir* sur ses bords, et une *zone sombre ou hachurée du côté de la face non réfléchissante* du miroir.<br><br>
\-**sommet S**, qui indique la position du miroir sur l'axe optique.<br><br>
\-**point nodal C = centre de courbure**.<br><br>
\-**point focal objet F** et **point focal image F’**.

##### Exemples de constructions géométriques, avec résultats analytiques pour t'entraîner.

[Clique ici pour l'animation Geogebra](https://www.geogebra.org/m/jwgy9q7z)

* avec des **objets réels** 

![](Thin-spherical-mirror-InfAC-1000.jpg)<br>
Fig. 5.  Concave mirror with object between infinity and C

![](Thin-spherical-mirror-CAF-1000.jpg)<br>
Fig. 6.  Concave mirror with object between C and F/F’

![](Thin-spherical-mirror-FAS-1000.jpg)<br>
Fig. 7.  Concave mirror with object between F/F’ and S

![](Thin-spherical-mirror-InfAS-1000.jpg)<br>
Fig. 8.  Convex mirror




















