---
title: Définir les outils mathématiques de niveau 4 : proposition 1
published: true
routable: true
visible: false
lessons:
    - slug: define-234-mathematical-tools-p1
      order: 3
---

#### Proposition 1

--------------------------------------------------------

#### Définir les outils mathématiques requis au niveau 4

--------------------------------------------------------

Pour l'instant, juste une **liste de besoins dans une première classification** pour ordonner un peu le brainstorming (numération, géométrie, etc).
Elle **ne présage pas des titres de chapitres*.

Ne présage pas du programme de mathématique, mais **permettra de définir un programme "outils mathématiques et concepts physiques"**, qui sera construit avec les mathématiciens.

Ce thème "Outils mathématiques" sera nécessaire, puisqu'il sera *commun à tous les thèmes des sciences expérimentales*. Lorsqu'un outil ou concept sera utilisé dans le cours d'un thème particulier, il sera toujours possible d'afficher des éléments d'"Outils mathématiques" dans un mode parallèle.

N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.

-------------------------------------------------------------

<!------------------------------------------------------------------------------
  NUMERATION ET OPERATIONS
------------------------------------------------------------------------------->
! *Numération et opérations*



<!------------------------------------------------------------------------------
  ENSEMBLES
------------------------------------------------------------------------------->
! *Les ensembles*



<!------------------------------------------------------------------------------
  GEOMETRIES ET COORDONNEES
------------------------------------------------------------------------------->
! *Géométries et coordonnées*

(CME-FR) 

* Coordonnées curvilignes généralisées, et 
* coordonnées non orthogonales, non normées
* *base naturelle* (locale) **$`\overrightarrow{a_i}`$** d'un système de coordonnées $`x^i`$    
$`\overrightarrow{a_i}=\displaystyle\lim_{\delta x^i \rightarrow 0} \dfrac{\delta\overrightarrow{s}}{\delta x^i}`$,    
$`\left(\overrightarrow{e_i}=\dfrac{\overrightarrow{a_i}}{\lVert \overrightarrow{a_i} \rVert}\right)`$
* *base duale* **$`\overrightarrow{a_i^{&#42;}}=\overrightarrow{a^i}`$** 
  * $`\longrightarrow`$ espace de Fourier, cristallographie
  * $`\longrightarrow`$ espaces non euclidien ($`\longrightarrow`$ riemannien $`\longrightarrow`$ relativités)
* coordonnées contravariantes **$`u^i`$** et covariantes **$`u_i`$** d'un vecteur **$`\overrightarrow{u}=u^i\,\overrightarrow{a_i} =u_i\,\overrightarrow{a^i}`$**
  * $`\longrightarrow`$ produit scalaire **$`\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u^i\,v_j = u_i\,v^j`$**
* invariant local $`ds`$, métrique locale associée à des coordonnées 

à finir

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

---------------------

(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

------------------


<!------------------------------------------------------------------------------
  SCALAIRES-VECTEURS-TENSEURS ; ANALYSE VECTORIELLE ET TENSORIELLE
------------------------------------------------------------------------------->
! *Scalaires-vecteurs-tenseurs ; analyse vectorielle et tensorielle*

(CME-FR)
Défintion du Laplacien vectoriel    
**$`\Delta\overrightarrow{E}=\overrightarrow{grad}(div\,\overrightarrow{E})-\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E})`$**   
et expression en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)


* Tenseurs $`t`$ d'ordre $`n`$ (besoin jusqu'à ordre 4, pour l'élasticité et la rigidité en mécanique), dans un espace euclidien et en coordonnées cartésiennes.      
 Si **$`\overrightarrow{e_i} \overset{(a)}{\longrightarrow} \overrightarrow{e_j'}`$** avec $`(a)`$ matrice de passage entre deux bases cartésiennes :   
   * ordre 1 : **$`t'=\pm a_i\,t_i\quad`$** ; **$`\quad(t')=(a)(t)`$** (attention à la définition de (a)
   * ordre 2 : **$`t'=\pm a_i\,a_j\,t_{ij}\quad`$** ; **$`\quad(t')=(a)(t)(a)^t`$** (attention à la définition de (a)
   * ordre 3 : **$`t'=\pm a_i\,a_j\,a_k\,\,t_{ijk}`$** 
   * ordre 4 : **$`t'=\pm a_i\,a_j\,a_k\,a_l\,\,t_{ijkl}`$**   
avec signe $`\pm`$ selon tenseur polaire ou axial, et (a) change ou non sens de la base.   
(conventions et écriture mathématique à définir)

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

---------------------

(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

------------------



<!------------------------------------------------------------------------------
MATRICES
------------------------------------------------------------------------------->
! *Matrices*

(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation

* *Calcul d'une matrice inverse*
* *Diagonalisation* d'une matrice carrée
* Calcul des *valeurs et vecteurs propres* d'une matrice carrée
* *Trace* d'une matrice
* *signature* d'une matrice

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

---------------------

(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

------------------


<!------------------------------------------------------------------------------
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
------------------------------------------------------------------------------->

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

---------------------

(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

------------------

<!------------------------------------------------------------------------------
AUTRES
------------------------------------------------------------------------------->

(XXX-YY)
...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

---------------------

(XXX-YY) ...

RÉAGIR :
...  (XXX-YY)

------------------

