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title: Géométrie et coordonnées
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### Géométrie et coordonnées niveau 4 : main

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!!!! *Attention : COURS EN CONSTRUCTION :*    
!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
!!!!  Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.   
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.

<!--MétaDonnée : ... -->

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### Géométrie euclidienne


### Géométries non euclidienne

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*GEOM-NO-EUC-4.100* : variété et coordonnées
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#### Variété et coordonnées.


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*GEOM-NO-EUC-4.100* : Sur la notion d'espace
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<!-- Tenter ici de définir ce qu'est la notion intuitive d'espace
(CME-FR)   
Une première intuition que nous avons de la notion d'espace est l'ensemble des lieux du monde extérieur à notre être. Cette intuition se forge dans le fait que nous observons des corps, inertes ou vinants, autour de nous-mêmes. Ces corps sont observés dans différentes directions, situés plus ou moins loin. Cette perception d'un espace vient aussi du fait que nous pouvons volontairement nous déplacer dans cet espace, nous rapprocher ou nous éloigner de corps observés.

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*GEOM-NO-EUC-4.110* : de l'espace à la variété
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<!--(CME-FR)-->
Nous pouvons calculer des longueurs, surface et volume dans notre espace tridimensionnel intuitif, celui de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique.
Nous pouvons aussi être amené à calculer longueurs et surfaces de formes situées à la surface d'une sphère, ou de tout autre espace bidimensionnel.
Au-delà de la physique classique, la relativité nous apprend que l'espace et le temps ne sont pas indépendants. 
L'espace-temps est l'espace quadridimensionnel où se meuvent les évènements.

La notion intuitive restreinte de notre espace trimdimensionnel se choque avec une signification plus générale du mot "espace", désignant tout ensemble continu de points sur lequel des distances entre points peuvent être déterminés et mesurées.
 Afin de lever toute ambiguïté, ce concept plus général d'espace est désigné par le mot "variété".

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*GEOM-NO-EUC-4.110* : de l'espace à la variété
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<!--(CME-FR)-->

Une variété est ainsi défini comme un ensemble continu de points qui peuvent être individuellement repérés par un même nombre de paramètres appelées coordonnnées. Le nombre minimum de coordonnées nécessaires pour repérer tout point de la variété est nommé dimension de la variété. Le continuité de l'ensemble des points d'une variété de dimension $`n`$ vient du fait que chaque coordonnée est un nombre réel (des coordonnées complexes peuvent aussi être imaginées), et qu'à chaque séquence ordonnée de $`n`$ nombres réels peut être associé un point unique de la variété. Les coordonnées d'un point dune variété de
dimension $`n`$ se notent $`(x^1,x^2, ..., x^n)`$, et de façon abrégée $`x^a`$ en précisant que $`a`$ est un entier qui varie de $`1`$ à $`n`$.

!!! *Exemple* :   
!!! * L'espace euclidien est une variété de dimension 3.
!!! * La surface d'une sphère est une variété de dimension 2.
!!! * Une ligne continue est une variété de dimension 1.
!!! * Les espace-temps de la relativité restreinte ou de la relativité générale sont des variétés de dimension 4.



#### Métrique d'une variété




