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title: Electrocinétique
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   - slug: electrocinetique
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!!!! *COURS EN CONSTRUCTION :* <br>
!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com. Ce cours est *en construction*, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade. <br>
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.

<!--MétaDonnée : INS-2°année-->
<!-- Cours préparatoire à la magnétostatique-->



### Qu'est-ce qu'un milieu conducteur électrique ?

Un milieu est électriquement **conducteur** si il contient des *charges 
libres de se déplacer* à travers le milieu *sous l'influence d'un champ électrique*
aussi faible soit-il.

![](conduction-1-2-L1200-new.gif)

* Dans les **conducteurs solides**, les charges libres sont des *électrons*.
* Dans les **conducteurs liquides (électrolytes)**, les charges libres sont des *ions
positifs et des ions négatifs*.
* Dans les **conducteurs gazeux (plasma)**, les porteurs de charges sont des *électrons et
des ions positifs*.

### Qu'est-ce qu'un courant électrique ?

#### Courant électrique, et intensité du courant électrique

* **Courant électrique** : tout mouvement de porteurs de charge électrique.

* **Intensité $`I`$** du courant électrique :   

  * L'intensité $`I`$ d'un courant électrique *quantifie la charge électrique qui traverse une surface donnée par unité de temps*.
  * Si une **charge $`\Delta Q`$** traverse une **surface $`S`$** entre les **instants $`t-\Delta t`$ et $`t`$**, $`t`$ étant un instant quelconque, alors l'**intensité** du courant électrique à traverse la surface $`S`$ à l'instant $`t`$ s'exprime comme la *rapport de la charge électrique $`\Delta Q`$ par l'intervalle de temps $`\Delta t`$* :   
<br>
**$`\mathbf{\large I=\left. \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} \right|_S}`$**   
   
<!------------------------------------------------
  * Lorsque **$`\mathbf{I}`$ ne dépend pas du temps**, le courant est dit *stationnaire* ou *continu*.
  * Lorsque **$`\mathbf{I}`$ change de valeur au cours du temps**, le courant est dit *variable*, et se note *$`\mathbf{I(t)}`$*.
  * Lorsque pour un courant variable voit le **sens du mouvement** d'ensemble des porteurs de charge **s'inverse au cours du temps**, le courant est dit *alternatif*.
------------------------------------------------>

* **Unité SI** de l'intensité $`I`$  : *Ampère*, de symbole *$`A`$*.   
<br>
Un courant d'intensité d'**un ampère ($`1\,A`$)** en valeur absolue correspond à une charge électrique qui traverse une surface donnée à un taux de *1 Coulomb ($`1\,C`$) par seconde ($`1\,s`$)*.  
<br>
**$`\mathbf{I=\,1\,A\quad\Longleftrightarrow\quad I=\left. \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} \right|_S=\left. \dfrac{1\,C}{1\, s}\right|_S}`$**

! *Note :*   
! L'*Ampère* est une *unité de base du système international* d'unités parmi les sept unités de base qu'il contient et qui sont le mètre, le kilogramme, la seconde, l'ampère, le kelvin, la mole et la candela.<br>
! Toutes les autres unités, nommées unités dérivées, s'expriment en fonction des sept unités de base à partir d'une analyse dimensionnel.


### Quelle différence entre intensité instantanée et intensité moyenne ?

*  Par définition, l'intensité du courant électrique à l'instant $`t`$ est la charge électrique $`\Delta Q`$ qui traverse une surface $`S`$ donnée entre les instants $`t-\Delta t`$ et $`t`$, divisé par l'**intervalle de temps $`\Delta t`$**.<br>
<br>
$`I=\left. \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} \right|_S`$

* L'**intensité instantanée $`I(t)`$** correspond au cas où l'intervalle de temps ne peut être résolu, c'est à dire que  *$`\Delta t`$ est le plus petit intervalle de temps discernable* par l'appareil de mesure de l'intensité. C'est le cas où $`\Delta t`$ apparaît comme ponctuel sur l'axe du temps, et cela se traduit mathématiquement par le fait que  $`\Delta t`$ tend vers zéro, et s'écrit $`dt`$ : <br>
<br>
**$`\mathbf{I(t)=\left. \dfrac{dQ}{dt} \right|_S}`$**

* L'**intensité moyenne $`\langle\, I(t) \,\rangle_{\Delta t}`$** mesurée, ou calculée ultérieurement, sur une période $`\Delta t`$ correspond au cas où l'intervalle de temps $`\Delta t`$ n'est pas la limite de résolution temporelle* de l'appareil de mesure. Dans ce cas, l'intensité moyenne est la charge $`\Delta Q`$ qui a traversé une surface donnée $`S`$ entre les instants $`t-\Delta t`$ et $`t`$, divisée par $`\Delta t`$ :<br>
<br>
**$`\mathbf{\langle\, I(t) \,\rangle_{\Delta t} =\left. \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} \right|_S}`$**<br>
<br>
Comme $`\Delta Q`$ est l'intensité instantanée intégrée entre les instants $`t-\Delta t`$ et $`t`$,<br>
$`\displaystyle\Delta Q=\int_{t-\Delta t}^{t} dq `$$`\quad=\int_{t-\Delta t}^{t} \dfrac{dq}{dt}\cdot dt = \int_{t-\Delta t}^{t} I(t)\cdot dt`$, <br>
alors nous en déduisons :<br>
<br>
**$`\displaystyle\mathbf{ \langle\, I(t) \,\rangle_{\Delta t} =\dfrac{1}{\Delta t}\int_{t-\Delta t}^{t} I(t)\cdot dt}`$** <br>

<!------------------------------
ou, écriture beaucoup plus lisible, non? <br>
<br>
**$`\displaystyle\mathbf{ \lt I(t) \gt_{\Delta t} =\dfrac{1}{\Delta t}\int_{t-\Delta t}^{t} I(t)\cdot dt}`$**

### Quelle différence entre intensité moyenne et intensité efficace ?

à faire
===================================================-->


### Quelles différences entre un courant stationnaire, variable, alternatif, périodique, et sinusoïdal ?

* Un courant est **stationnaire**, ou **continu** si son intensité instantanée *$`I(t)`$ reste constante au cours du temps*. 
 
* Un courant est **variable** si son intensité instantanée *$`I(t)`$  varie au cours du temps*. 
 
* Un courant **alternatif** est un courant *variable* dont le *sens du mouvement* d'ensemble des porteurs de charge *s'inverse au cours du temps*, donc si son *intensité* instantanée exprimée en valeur algébrique *change de signe* au cours du temps.

* Un courant **périodique** est un courant *variable, alternatif ou non*, si la variation temporelle $`I(t)`$ de son *intensité* peut se décomposer en la *répétition jointive* dans le temps d'un *motif unique $`I_P(t)`$*.<br>
 La **période $`T`$** du courant périodique est la durée de ce motif.

* Un courant **sinusoïdal**, ou **harmonique** est un courant *alternatif* dont l'*intensité  $`I(t)`$* est une *fonction sinusoïdale* du temps, d'écritures mathématiques :<br>
  * **$`\mathbf{I(t)=I_0 \sin(\omega t + \varphi_0)}`$**<br>
avec :<br>
$`\quad I(t)`$ : intensité instantanée, d'unité SI $`A`$.<br>
$`\quad I_0`$ : amplitude de l'intensité, d'unité SI $`A`$.<br>
$`\quad \omega`$ : pulsation, d'unité SI $`rad.s^{-1}`$.<br>
$`\quad \varphi(t)=\omega t + \varphi_0`$ : phase du courant à l'instant $`t`$, d'unité SI $`rad`$.<br>
$`\quad \varphi_0`$ : phase à l'origine ($`t=0`$), d'unité SI $`rad`$.<br>
<br>
  * ou **$`\mathbf{I(t)=I_0 \cos(\omega t + \varphi'_0)}`$**,<br>
  en se souvenant que la fonction cosinus est une fonction sinus déphasée de $`-\pi/2`$ :<br>
  $`\cos(\omega t +\varphi'_0)=\sin\left(\omega t +\varphi'_0-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin(\omega t +\varphi_0)`$$`\quad \Longrightarrow\quad\Delta\varphi = \varphi'_0 - \varphi_0 = -\dfrac{\pi}{2}`$
  
  * Lorsque l'**effet** observé ou recherché **ne dépend pas de la phase** du courant, ou de la différence de phase entre deux courants, alors *la phase à l'origine $`\varphi_0`$ peut être négligée* dans l'écriture mathématique :<br>
**$`\mathbf{I(t)=I_0 \sin(\omega t)\quad}`$** ou **$`\quad\mathbf{I(t)=I_0 \cos(\omega t)}`$**
  
<!--==========================================
!! *Pour aller plus loin* : 
!!
!! L'*intérêt de la fonction harmonique* (au-delà de son application à la stricte intensité d'un courant électrique, vient du *théorème de Fourier* qui stipule que :<br>
!! * toute fonction arbitraire du temps peut se décomposer en une superposition (somme ou intégrale) de fonctions harmoniques du temps, de différentes amplitudes, pulsations et phases à l'origine,
!!
!! *appliqué aux systèmes linéaires*, c'est à dire dont :
!! * la réponse à une fonction arbitraire temporelle $`f(t)`$ est la superposition (somme ou intégrale) des réponses du système à chacune des composantes harmoniques de $`f(t)`$.
!!
!! *Dans ce cas*, les *calculs* seront *fortement simplifiés voire uniquement possibles* en utilisant la *notation complexe* $`\underline{f(t)}`$ de la fonction harmonique $`f(t)`$.
!!
!! La *notation en cosinus $`f(t)=f_0\cdot \cos(\omega t + \varphi'_0)`$* est alors *à privilégier*, parce que le lien avec la notation complexe est simple. Le signal décrit par la fonction harmonique réelle $`f(t)`$ s'exprime alors comme la partie réelle $`f(t)=\mathcal{R}[\underline{f(t)}]`$ de la fonction harmonique complexe $`\underline{f(t)}`$ qui s'écrit :<br>
!! $`\underline{f(t)}=f_0\cdot e^{\,i\,(\omega t + \varphi_0)}`$$`\;=f_0\cdot e^{\,i\,\varphi_0}\cdot e^{\,i\,\omega t}`$$`\;=\underline{f_0}\cdot e^{\,i\,\omega t}`$,<br>
!! où $`\;\underline{f_0}=f_0\cdot e^{\,i\,\varphi_0}`$ désigne l'amplitude complexe de $`\underline{f(t)}`$.
!!
!! Nous utiliserons pour cela l'implication :<br>
!! $`e^{\,i\,\varphi(t)}=\cos \varphi(t) + i \cdot \sin \varphi(t)`$$`\quad\Longrightarrow\quad f(t)=\mathcal{R}[\underline{f(t)}]`$.
==============================================-->

<!--========pas au point=====================================

### Quelle est la différence entre les conducteurs et les semi-conducteurs solides ?

 
![](semiconductors-charge-current-transport-2_L600.jpg)

* Le saut de lacune en lacune d'un même électron,

![](semiconductors-charge-current-transport-3_L600.jpg)

$`\quad`$ est équivalent à une charge positive qui se déplace en sens inverse

![](semiconductors-charge-current-transport-3_L600.jpg)

===========================================================-->


### Quel sens attribuer au courant électrique ?

#### Sens conventionnel d'un courant électrique stationnaire ou variable mais non alternatif : 

* Les **charges positives et négatives se déplacent en sens opposés** sous l'action d'un même champ électrique :
il est nécessaire de *définir un sens conventionnel* au courant électrique.

* **Par convention**, les charges sont supposées positives, et le sens attribué au courant électrique 
est le sens de déplacement de ces charges sous l'action du champ électrique qui induit leur mouvement. 
*Le sens du courant électrique est donc le sens du champ électrique*.   
   
* Dans un circuit électrique constitué d'un générateur relié par deux bornes au circuit électrique 
extérieur, en tout point du circuit extérieur le champ électrique est orienté dans le sens des potentiels 
décroissants. La convention précédente implique donc que par convention, **le courant électrique 
circule** dans le circuit électrique hors générateur *de la borne de potentiel positif vers la borne 
de potentiel négatif*.

* Dans un **schéma** du circuit électrique, le *sens du courant électrique* sera indiqué par un *fléchage du circuit extérieur*.

<!--figure à faire-->

#### Sens d'un courant électrique alternatif

* Si dans un circuit électrique le mouvement d'ensemble des porteurs de charges change de sens au cours du 
temps, le courant électrique dans le circuit changerait au cours du temps de sens (en termes 
de sens conventionnel précédemment défini).

* Nous choisirons alors d'**orienter le circuit**, c'est à dire de *choisir arbitrairement un sens* 
de parcours du circuit que nous qualifierons de *positif*. 
<br>
Dès lors, nous compterons l'**intensité positive ($`\mathbf{I>0}`$)** si :   
   * les *charges positives se déplacent dans le sens positif*.
   * les *charges négatives se déplacent dans le sens négatif*.
 
* L'**intensité $`\mathbf{I(t)}`$** du courant électrique sera toujours *exprimée en notation algébrique*. 
Cela signifie que le signe de la valeur numérique de l'intensité indiquera le sens 
de parcours du courant électrique.

* Dans un **schéma** du circuit électrique, le sens positif du courant électrique ($`I>0`$) sera 
indiqué par un *fléchage du circuit extérieur*.


<!-------------------------------------------------------
#### Valeur absolue et valeur algébrique de l'intensité

*  Pour une surface donnée (d'aire) $`S`$, la charge électrique qui la traverse peut être positive ou négative, et elle peut traverser la surface dans un sens ou dans l'autre. Ces différentes possibilités sont quantifiées par une **valeur de l'intensité** qui peut être *positive ou négative*.

*  Par définition, l'intensité $`I`$ en valeur algébrique du courant électrique **à travers une surface orientée $`S`$** est égale à la *charge électrique $`\Delta Q`$ qui traverse cette surface $`S`$ dans le sens positif de la surface pendant la durée $`\Delta t`$.*<br>


* En toute rigueur, il faudrait noter $`\overline{I}`$ l'intensité exprimée en valeur algébrique.

!!! * Pour une *surface fermée* (ce qui signifie qu'elle délimite un volume, et qu'elle permet donc de définir un intérieur et un extérieur à ce volume) le *sens du courant* est le sens de déplacement d'une *charge positive qui traverse* par unité de temps *la surface de l'intérieur vers l'extérieur* (ou, équivalent, d'une charge nagétive qui traverse par unité de temps la surface de l'extérieur vers l'intérieur).
!!!!
!!!! * Pour une *surface ouverte*, les notions d'intérieur et d'extérieur ne peuvent être définie par la surface. Un sens positif de traversée de la surface doit alors être choisi arbitrairement. Le sens du courant est alors le sens de déplacement d'une *charge positive qui traverse* par unité de temps *la surface dans son sens positif* (ou, équivalent, d'une charge nagétive qui traverse par unité de temps la surface dans son sens négatif).

* Le **signe** de l'intensité $`I`$ d'un courant électrique en notation algébrique **dépend du signe de la charge** électrique qui traverse la surface $`S`$ dans son sens positif. 

![current-intensity-definition-2_v1_L1200](current-intensity-definition-1-3_v1_L1200.gif)

* Le **signe** de l'intensité $`I`$ d'un courant électrique en notation algébrique à travers une surface ouverte $`S`$ **dépend du sens positif choisi** *pour cette surface.

![current-intensity-definition-2_v1_L1200](current-intensity-definition-1-2_v1_L1200.gif)<br>
_Attention : Il faut corriger le signe des charges sur l'une des deux images du gif._

* L'expression de l'**intensité en valeur absolue** peut être utilisé lorsque l'*effet* de ce courant auquel nous nous intéressons *ne dépend pas du sens* du courant électrique.<br>
C'est le cas lorsque nous intéressons à l'*effet Joule*, qui permet de connaître la puissance dissipée du courant dans une résistance.

* L'expression de l'**intensité en valeur algébrique** est nécessaire lorsque l'*effet* de ce courant *dépend du sens du courant* électrique. C'est en particulier le cas lorsque :<br>
  * le circuit comprend une *diode*.
  * on s'intéresse aux *effets electromagnétiques induits* par les courants. 


#### Intensité de $`1\,A`$ et nombre de porteurs de charge

* Dans le cas le plus général, les intensités de courants électriques correspondants à des mêmes charges traversant deux surfaces d'aires différentes peuvent être égales. Cependant, cette possibilité théoriquement possible ne peut exister que pour des surfaces et des densités volumiques de charges extrêmement petites. 

![current-intensity-definition-2_v1_L1200](current-intensity-definition-5_v1_L1200.jpg)

* Dans les matériaux conducteurs solides, les charges libres de se déplacer sont des électrons. Un électron porte une charge négative $`q_e=-1,6\cdot e^{-19}\,C`$. Ainsi, une surface $`S`$ traversée par un courant infime d'intensité $`I=1\,nA=10^{-9}\,A`$ est une surface déjà traversée chaque seconde par le nombre considérable de $`n=...`$.

* Lorsque la **surface** à travers laquelle est mesurée l'intensité d'un courant électrique est **traversée par un très grand nombre de porteurs** de charge individuels, et que leurs trajectoires traversent la surface en des points **distribués de façon homogène** sur toute la surface, alors aux fluctuations statistiques près :<br>
  1. L'**intensité** du courant électrique est *proportionnel à la surface* à travers laquelle il est évalué.
  2. L'**intensité** *dépend de l'inclinaison entre la surface* traversée *et* la *direction moyenne des trajectoires* des porteurs.

(manque une ou deux des images précédentes, en remplaçant les 3 charges ponctuelles par un nuage de point... à mettre au point).

<!--------------------------
* Un centimètre cube ($`1\,cm^3`$ de matière contient approximativement $`10^{22}`$ atomes. Les métaux sont de très bons conducteurs solides. En moyenne, chaque atome dans un métal libère un électron, ce qui implique qu'il y a environ  $`10^{22}`$ électrons libres dans un centimètre cube de métal. 
---------------------------->

<!---Inintéressant, sauf si on s'intéresse au courant que mesure réellement un anpèremètre, et auquel cas tout modifier ---------------------------->

### Que sont la vitesse de dérive et la mobilité ?

#### Vitesse de dérive d'un type de porteur de charge 

* Dans un **plasma peu dense**, chaque *particule libre* de charge $`q`$ et de masse $`m`$
au repos est relativement libre de se déplacer. Sous l'effet de la force électrique 
$`\overrightarrow{F_E}=q \cdot \overrightarrow{E}`$,
elle est accélérée $`\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F_E}/m`$, 
et sa *vitesse augmente constamment* et peut atteindre des vitesses relativistes.

* Dans un matériau dense comme un **conducteur solide**, au cours de sa trajectoire 
chaque *particule libre* de charge $`q`$ subit *plein de "chocs"* (expression classique)
avec notamment les atomes du réseau matériel, qui 
*relaxent sa quantité de mouvement et son énergie cinétique*.<br><br> 
$`\Longrightarrow`$ *mouvement désordonné sans direction privilégiée*, donc qui
n'*induit pas de courant électrique* à travers une surface : c'est le 
**mouvement d'agitation thermique**.<br><br>
$`\Longrightarrow`$ à ce mouvement d'agitation thermique se superpose un 
*lent mouvement de dérive en direction du champ électrique* (matériaux isotropes) qui 
réaccélère la particule entre deux chocs : c'est un **mouvement de dérive**.

* Dans un volume mésoscopique de matériau conducteur et dans une description classique 
des forces moyennes qui agissent sur les particules libres chargées au sein de ce 
volume, les **chocs** agissent comme une *force de frottement* *$`\overrightarrow{F_{frot}}`$* 
*qui s'oppose à la force électrique* *$`\overrightarrow{F_E}`$*. 

* Lorsque ces deux forces sont égales en modules et de sens opposés 
*$`(\;\overrightarrow{F_{frot}}=-\overrightarrow{F_E}\;)`$*
, la *force résultante s'annule*, donc l'accélération moyenne s'annule et la population 
de particules chargées libres d'un même type se déplacent globalement d'un vecteur 
vitesse appelé **vecteur vitesse de dérive $`\overrightarrow{v_{d}}`$**.<br><br>
$`\Longrightarrow`$ de vitesse moyenne faible, mais de direction stable, le
**mouvement de dérive** induit un *courant électrique dans le matériau*.

![](conduction-1-2-L1200-new.gif)

<!--Remarque : au niveau 4, cela va vers les semi-conducteurs, puis les phénomènes de transport.-->

#### Mobilité d'un type de porteur de charge.

* Pour des valeurs de champ électrique pas "trop fort" (régime ohmique), la 
**vitesse de dérive $`\overrightarrow{v_d}`$** est 
*proportionnelle au champ électrique appliqué $`\overrightarrow{E}`$*. 

* La **mobilité électrique $`\mathbf{\mu}`$** est le *rapport de proportionnalité* entre le vecteur vitesse de dérive $`\overrightarrow{v_d}`$ et le champ électrique $`\overrightarrow{E}`$  :    
<br>
**$`\mathbf{\large\overrightarrow{v_d}=\mu \cdot\overrightarrow{E}}`$**

* La mobilité varie avec le type de porteur de charge et le matériau.
 
* Comme la force électrique à l'origine du transport des porteurs de charge est $`\overrightarrow{F_E}=q\cdot\overrightarrow{E}`$ :   
   * les porteurs de **charge négative** ont une mobilité **$`\mathbf{\mu}<0`$**.
   * les porteurs de **charge positive** ont une mobilité **$`\mathbf{\mu}>0`$**.

* **Unité SI** : *ampère par mètre carré par volt seconde : $`\mathbf{m^2\,V^{-1}\,s^{-1}}`$*

! *Note 1* : Dans l'électrotechnique, la taille des composants étant plutôt de l'ordre du centimètre que du mètre, l'usage est d'utiliser l'unité $`cm^2\,V^{-1}\,s^{-1}`$ pour la mobilité.

! *Note 2* : souvent le signe de la mobilité n'est pas indiqué, puisque l'on réfère en général au type de porteur de charge, et que le signe de sa charge est connu.   
! Exemple : on parle de mobilité électronique dans tel matériau, sachant que les électrons ont une charge négative.

<!--======================================================
* La **mobilité** électrique est le *rapport de proportionnalité* entre les normes $`||\overrightarrow{v_d}||`$ et $`||\overrightarrow{E}||`$ des vecteurs vitesse de dérive et champ électrique :<br><br>
**$`\mathbf{\large ||\,\overrightarrow{v_d}\,||=\mu \cdot ||\,\overrightarrow{E}}\,||`$**
=======================================================-->

<!--=================================================================
! *Note 2* : Un matériau dont les porteurs de charges ont une *grande mobilité* pour ses électrons libres par exemple, plus la vitesse de dérive des électrons sera importante pour un même champ électrique appliqué, plus le courant électrique sera important pour une même densité volumique en électrons libres. Par ailleurs, plus le matériau répondra en fréquence.

!! *Pour aller plus loin* : 
!! parler du fait que dans un matériau semi-conducteur donné, la mobilité des trous (libres) et en général plus faible que la mobilité des électrons libres. Donner l'exemple de la vitesse d'une voiture unique sur une rocade vide, et de la vitesse d'une "place libre" dans un rocade complètement bloquée par des voitures immobiles à touche-touche...
==================================================================-->

### Qu'est-ce que le vecteur densité de courant volumique ?

#### Avec un seul type de porteur de charge

Soit un matériau solide conducteur soumis à un champ électrique extérieur $`\overrightarrow{E}`$.

* En un temps $`dt`$, en moyenne un porteur de charge libre parcourt un vecteur
distance $`\overrightarrow{dl}`$ telle que :   
**$`\large\mathbf{\overrightarrow{dl}= \overrightarrow{v_d} \cdot dt}`$** 

![](conducteur-3-L1200-new-ok.jpg)

Soit une petite surface mésoscopique $`\overrightarrow{dS}`$ orientée en direction
et sens du courant électrique.

* Les porteurs qui traverseront en ce temps $`dt`$ la surface $`\overrightarrow{dS}`$ 
 sont ceux situés dans le parallélépipède rectangle de section $`dS`$ et de longueur $`d`$,
donc de volume mésoscopique $`d\tau`$ tel que :<br> 
$`d\tau = dl \cdot dS = ||\overrightarrow{v_d}|| \cdot dt\cdot dS`$.

* La charge totale $`dQ_{dS}`$ qui traverse dans le temps $`dt`$ est donc la charge 
* totale $`dQ_{d\tau}`$ des porteurs de charge libres contenus dans le volume $`d\tau`$.

![](conducteur-5-L1200-new-ok.jpg)

* La charge totale $`dQ_{dS}`$ qui traverse  dans le temps  est donc la charge totale  $`dQ_{d\tau}`$ des porteurs de charge libres contenus dans le volume . Cette charge totale  $`dQ_{dS}=dQ_{d\tau} \;(C)`$ est donc le produit de la densité volumique de charges libres  $`\rho \;(C\,m^{-3})`$ dans le matériau multipliée par le volume $`d\tau \; (m^{-3})`$.

![](conducteur-4-L1200-new-ok.jpg)

* Nous appelons **vecteur densité volumique de courant (de conduction) $`\overrightarrow{j_{cond}}`$**  le *produit* de la *densité volumique de charges libres $`\rho_{lib}`$* par le *vecteur vitesse de dérive $`\overrightarrow{v_{d}}`$* des porteurs libres de ces charges :<br>
<br>
**$`\large\mathbf{\overrightarrow{j_{cond}} = \rho_{lib} \cdot \overrightarrow{v_d}}`$**

* Équation aux dimensions et unité SI du vecteur densité de courant volumique :<br>
<br>
$`[j_{cond}] = [rho_{lib}] \cdot [{v_d}]= [Q] \cdot L^{-3} \cdot L \cdot T^{-1}`$
$`\;= [Q] \cdot T^{-1} \cdot L^{-2}= I \cdot L^{-2}`$<br>
<br>
**Unité SI** : *ampère par mètre carré : $`\mathbf{Am^{-2}}`$*

!!!! *ATTENTION* :  *Point de confusion*
!!!!
!!!! La *dimension* du vecteur densité de courant volumique est une *intensité divisée par une aire*.   
!!!! 
!!!! Dès lors, *ne devrions-nous pas utiliser le mot "surfacique"* au lieu de "volumique", puisqu'il faut multiplier $`j_{cond}`$ par une aire $`dS`$ pour obtenir l'intensité $`I`$ *?*
!!!!
!!!! La phénomène physique est le flux d'une charge électrique à travers une surface, du à un transport de charge dans tout le volume du conducteur solide. *Il s'agit bien de courants volumiques*.
!!!!
!!!! *Une dénomination correcte serait "vecteur densité surfacique de courant volumique".*
!!!!
!!!! Cependant cette dénomination est trop longue, elle est rarement utilisée.
!!!!
!!!! Vous pourrez trouver pour désigner $`j_{cond}`$ les termes "densité surfacique de courant", "densité volumique de courant".
!!!!
!!!! L'essentiel est de *bien concevoir ce dont nous parlons*, et d'avoir bien *conscience des unités qui s"y réfèrent*.
!!!!

* L'**intensité $`dI`$** qui traverse en un temps $`dt`$ cette surface $`dS`$ s'exprime donc :<br>
<br>
$`dI = \dfrac{dQ_{dS}}{dt}= \dfrac{dQ_{d\tau}}{dt}
= \rho_{lib} \cdot \overrightarrow{v_d} \cdot dt \cdot \overrightarrow{dS}`$
$`\quad\Longrightarrow\quad`$**$`\large\mathbf{\quad dI =  \overrightarrow{j_{cond}} \cdot \overrightarrow{dS}}`$**

Cette formule s'applique même si la surface n'est orientée ni en sens ni en direction du vecteur de dérive.

![](conducteur-8-L1200-new-ok.jpg)

![](conducteur-9-L1200-new-ok.jpg)

#### Avec plusieurs types de porteurs de charge

* Lorsque *plusieurs types de porteurs de charge libres* existent au sein d'un conducteur donné, **chaque type** de porteur est plus ou moins mobile, est caractérisé par sa propre mobilité, et est donc animé de **son propre vecteur vitesse de dérive** dans un champ extérieur appliqué donné.

![](conducteur-10bis-L1200-new-ok.jpg)

* Nous pouvons alors associé à chaque type de porteurs de charge libres **son propre vecteur densité volumique de courant**.

![](conducteur-11-L1200-new-ok.jpg)

! *Remarque* : Remarque : des porteurs libres de charge négative donneront une densité volumique de charge négative et ont un vecteur vitesse de dérive de sens opposé au vecteur champ électrique. Les vecteur densité volumique de courant sera donc orienté dans le sens du champ électrique, donc dans le sens du courant électrique.<br>
! Un raisonnement analogue pour des porteurs de charge positive soumis au même champ électrique donnerait le même résultat.
!
! $`\Longrightarrow`$ que les *charges* soient *positives ou négatives*, le *vecteur densité volumique de courant* est dirigé *toujours dans le sens du champ électrique*, donc dans le sens du courant électrique.

* Le **vecteur densité volumique de courant total  $`\overrightarrow{j_{cond}}_{TOT}`$** est la *somme des vecteurs densité volumique de courant* de chaque type de porteurs libres présents dans le conducteur.

![](conducteur-12-L1200-new-ok.jpg)

* L'**intensité du courant électrique** s'exprime alors par :<br>
<br>**$`\large\mathbf{dI =  \overrightarrow{j_{cond}}_{TOT} \cdot \overrightarrow{dS}}`$**


### Que représente le vecteur densité superficielle de courant ?

* Le **monde réel** possède **trois dimensions spatiales**, le vecteur densité volumique de courant est défini dans tout le volume d'un conducteur.

* Cependant, *parfois l'une des dimensions spatiale peut être négligée*, soit parce qu'elle apparait d'extension infime par rapport à notre domaine macroscopique d'étude, soit parce que nous ne connaissons pas le profil de variation du vecteur densité volumique de courant le long de cette dimension spatiale. Nous avons alors envie de faire disparaitre cette dimension spatiale de notre étude.

!!! *Exemple* :<br>
!!! Exemple : un rouleau de feuille d'aluminium est déroulé, et sert à conduire le courant dans le sens de sa longueur. Une section de ce papier conducteur perpendiculaire au courant électrique qu'il transporte peut avoir une longueur de 20cm, mais qu'elle est son épaisseur e? Je ne connais pas cette épaisseur, elle est à la limite de ce que je peux discerner à mon échelle, et bien sûr je ne connais pas le distribution du courant le long de cette épaisseur. Je souhaite donc faire disparaître cette variable e de mon étude.

* *Faire disparaître une dimension spatiale* revient à passer d'une **description 3D du monde réel à une modélisation simplifiée 2D** de celui-ci.

![](densite-surfacique-courant-L1200.jpg)

* L'intensité réelle $`dI`$ à travers un vecteur surface élémentaire $`\overrightarrow{dS}`$ rectangulaire d'extension $`dl`$ et $`de`$  selon ses deux côtés, s'exprime en fonction du vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j_{cond}}`$ par :<br>
<br>
$`dI =  \overrightarrow{j_{cond}}_{TOT} \cdot \overrightarrow{dS} = \overrightarrow{j_{cond}}_{TOT} \cdot dS \cdot \overrightarrow{n}`$
$`\quad= \overrightarrow{j_{cond}}_{TOT} \cdot de \cdot dl \cdot\overrightarrow{n}`$

* Pour faire disparaître la dimension d'extension $`de`$ , je l'unie au vecteur densité volumique de courant, définissant ainsi une nouvelle grandeur physique : le **vecteur densité superficiel (ou surfacique) de courant** , définit par :<br>
<br>
$`dI = (\,\overrightarrow{j} \cdot de\;) \cdot dl \cdot\overrightarrow{n} = \overrightarrow{j_S}\cdot dl \cdot\overrightarrow{n} `$

* L'**intensité totale** le long de la ligne de longueur $`L`$, dimension spatiale restante de la section $`S`$ à travers laquelle le courant électrique est mesuré, s'exprime donc :<br> <br>
**$`\displaystyle\mathbf{I= \int_S dI = \int_L ( \overrightarrow{j_S}\cdot  \overrightarrow{n}) \cdot dl}`$**


### Que sont la conductivité et la résistivité ?

* Soumis à un même champ électrique $`\overrightarrow{E}`$, la réponse d'un matériau en terme de vecteur densité de courant induit sera plus ou moins importante.   
<br>On dit que les matériaux sont pluys ou moins conducteurs de l'électricité, ou pour la propriété inverse, moins ou plus résistifs.

* La **conductivité électrique $`\sigma(E)`$** est le rapport de proportionnalité entre vecteur densité de courant volumique et champ électrique, pour une valeur de $`E`$ donnée.
<br>
**$`\overrightarrow{j_{cond}}=\sigma(E) \cdot \overrightarrow{E}`$**  
<br>
Son **unité SI** est l' **ohm par mètre $`( \Omega m^{-1} )`$**. 

* La **résistivité électrique $`\rho(E)`$** est l'inverse de la conductivité électrique :
<br>
**$`\overrightarrow{j_{cond}}=\dfrac{1}{\rho(E)} \cdot \overrightarrow{E}`$**   
<br>
Son **unité SI** est le **mètre par ohm $`( \Omega^{-1} m )`$** .


!!!! *Attention :*  ne pas confondre résistivité électrique et densité volumique de charge, représentés par la même lettre. On utilisera préférentiellement la conductivité .

! *Note 1 :* Dans l'électrotechnique, de par la taille des composants, l'usage est d'utiliser les unités :<br>
! * $`( \Omega \; cm^{-1} )`$ pour la conductivité électrique.
! * $`\Omega^{-1}  \; cm`$ pour la conductivité électrique.

! *Note 2* : *En général*, pour des conditions standards d'utilisation, pour des valeurs de champ électrique comme de température pas trop élevées, *la relation entre $`\overrightarrow{j}`$ et $`\overrightarrow{E}`$ est linéaire*.<br>
! Conductivité $`\sigma`$ et résistivité $`\rho`$ sont alors de simples réelles. <br>
! On dit alors que le matériau suit la *loi d'Ohm*, ou qu'il est utilisé en *régime ohmique*.

### Qu'est-ce que la loi d'Ohm?

#### La loi d'Ohm locale

* La **loi d'Ohm locale** dit que en tout point d'un conducteur ohmique, le vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}`$  est simplement proportionnel au champ électrique $`\overrightarrow{E}`$  :<br>
<br>
**$`\mathbf{\large\overrightarrow{j_{cond}}=\sigma \cdot \overrightarrow{E}}`$**

* **En régime ohmique**, *conductivité et résistivité* électrique ne dépendent plus $`\overrightarrow{E}`$, et sont donc quantifiés par de *simples nombres réels qui ne dépendent que du matériau*.

* La **conductivité électrique $`\rho`$**  caractérise les *propriétés de conduction électrique* d'un milieu matériel.

* La **résistivité électrique $`\rho`$** est l'*inverse de la conductivité électrique*.

#### La loi d'Ohm intégrale

![](Ohm-law-L1200.jpg)

* Pour une **résistance** de *section constante $`S`$* et de *longueur $`L`$* réalisée dans un *matériau homogène de conductivité électrique $`\sigma`$* , la loi d'Ohm locale permet de retrouver la loi d'Ohm intégrale :<br>
$`U=R\cdot I`$



### Quelle équation indique la conservation de la charge ?

#### Principe de conservation de la charge électrique

Le **principe de conservation de la charge électrique** stipule qu'il ne peut y avoir *ni création ni annihilation spontanée de charge électrique*. Ce principe de conservation de la charge n'a jamais été pris en défaut.

! *Note :* même dans le domaine des particules élémentaires où de la masse peut-être convertie en énergie (E=m.c2), toute particule élémentaire ne peut être créée ou annihilée que simultanément avec son antiparticule de charge opposée. Ainsi la charge du système reste identique au cours de ce processus. 

* Si la **charge $`Q_{\tau}(t)`$  dans un volume $`\tau`$** (indéformable et immobile) **diminue** (respectivement augmente), c'est qu'une charge positive a quitté le volume, donc a traversé la surface délimitant le volume dans le sens positif (de l'intérieur vers l'extérieur), ou qu'un charge négative est entrée dans le volume, donc a traversé la surface dans le sens négatif. Dans ces deux cas, cela correspond à un *flux positif* (respectivement négatif) *du vecteur densité volumique de courant à travers S*.

#### Equation intégrale de la conservation de la charge électrique

![](charge-conservation-law-L1200.jpg)

* Soit $`Q_{\tau}(t)`$ la charge totale contenue dans le volume  à l'instant.<br>
<br>
$`\displaystyle Q_{\tau}=\iiint_{\tau} \rho \cdot d\tau`$<br>
<br>
Si sur un temps $`dt`$, la charge dans le volume $`\tau`$ varie d'une quantité $`dQ_{\tau}`$ , alors :<br>
<br>
$`dQ_{\tau}=Q_{\tau}(t+dt)-Q_{\tau}(t)`$
$`\displaystyle \quad= \iiint_{\tau} \rho(\overrightarrow{r},t+dt) \cdot d\tau - 
\iiint_{\tau} \rho(\overrightarrow{r},t) \cdot d\tau`$
$`\displaystyle \quad = \iiint_{\tau} [\rho(\overrightarrow{r},t+dt)-\rho(\overrightarrow{r},t)] \cdot d\tau `$
$`\displaystyle \quad = \iiint_{\tau} \dfrac{\partial \rho(\overrightarrow{r},t)}{\partial t} \cdot dt \cdot d\tau`$<br>
<br>
Et le taux de variation $`dQ_{\tau} / dt`$ de la charge $`Q_{\tau}`$ dans le volume s'écrit :<br>
<br>
$`\displaystyle \dfrac{dQ_{\tau}}{dt}=\dfrac{d}{dt}\iiint_{\tau} \rho \cdot d\tau=
\iiint_{\tau} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} \cdot d\tau`$

* La charge $`dQ_{\tau}`$ ayant quitté (étant entrée dans) ne pouvant ni s'annihiler ni se créer spontanément au sein d'un volume, elle est égale à la charge $`dQ_S`$ ayant traversé dans le sens positif (dans le sens négatif) la surface $`S`$ délimitant $`\tau`$. Cette variation de charge $`dQ_S`$ à travers $`S`$ en un temps $`dt`$ est égale au courant $`dI`$ à travers la surface $`S`$, soit au flux du vecteur densité volumique de courant à travers $`S`$ :<br>
<br>
$`\displaystyle \dfrac{dQ_S}{dt}= dI_S= \oint_S \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{dS}`$<br>
<br>
Variations charges $`|dQ_{\tau}|`$ et $`|dQ_S|`$ étant égales en valeur absolue, mais étant comptées avec des signes opposés (parce que est par convention orienté de l'intérieur vers l'extérieur),<br>
<br>
$`-\dfrac{dQ_{\tau}}{dt}=\dfrac{dQ_S}{dt}`$<br>
<br>
alors l'**équation intégrale de conservation de la charge** électrique s'écrit :<br>
<br>
**$`\displaystyle\mathbf{\large\iiint_{\tau} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} \cdot d\tau+\oint_S \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{dS} =0\quad}`$**(Eq. cons. charge)

#### Equation locale de la conservation de la charge électrique

Il ya plusieurs façons (équivalentes) de déduire la loi locale (ou différentielle) de conservation de la charge électrique.

* Le **raisonnement précédent** ne fait *aucune référence à une contrainte de taille*. Il **reste valable si le volume $`\tau`$  tend vers 0** autour de chaque point de l'espace (
($`\tau \rightarrow d\tau`$, volume mésoscopique).<br>
<br>
![](charge-conservation-1-L1200.jpg)<br>
<br>
Repartons de l'équation (Eq. cons. charge) <br>
<br>
$`\displaystyle \iiint_{\tau} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} \cdot d\tau+\oint_S \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{dS} =0`$<br>
<br>
Le volume n'étant pas nul :<br>
<br>
$`\displaystyle \dfrac{\iiint_{\tau} \frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot d\tau}{\iiint_{\tau}d\tau }+
\dfrac{\oint_S \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{dS}} {\iiint_{\tau} d\tau}=0`$<br>
<br>
Faisons tendre ce volume vers 0 :<br>
<br>
$`\displaystyle \lim_{\tau \rightarrow 0} \left(\dfrac{\iiint_{\tau} \frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot d\tau}{\iiint_{\tau}d\tau }\right)+\lim_{\tau \rightarrow 0} \left(\dfrac{\oint_S \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{dS}} {\iiint_{\tau} d\tau}\right)=0`$<br>
<br>
Dans le volume infinitésimal centré sur un point M, au premier ordre la densité volumique moyenne de charge dans est la densité volumique de charge au point M. <br>
<br>
$`\displaystyle\lim_{\tau \rightarrow 0} \left(\dfrac{\frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot \iiint_{\tau} d\tau}{\iiint_{\tau}d\tau }\right)+ \lim_{\tau \rightarrow 0} \left(\dfrac{\oint_S \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{dS}} {\iiint_{\tau} d\tau}\right)=0`$<br>
<br>
Et en se souvenant de la définition de la divergence d'un champ vectoriel appliquée au champ du vecteur densité volumique de courant :<br>
<br>
$`\displaystyle div \; \overrightarrow{j} =
\lim_{\tau \rightarrow 0} \left(\dfrac{
\oint_S \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{dS}} {\iiint_{\tau} d\tau}\right)`$<br>
<br>
donc nous en déduisons l'**équation locale de conservation de la charge** électrique :<br>
<br>
**$`\mathbf{\large div \; \overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \rho}{\partial t} =0\quad}`$**(Eq. cons. charge)

<br>
![](charge-conservation-2bis-L1200.jpg)

* *Autre méthode* (mais équivalente au total) :<br>
<br>
Repartons de l'équation (Eq. cons. charge) en transformant l'intégrale double sur la surface fermée S en intégrale triple sur le volume délimité par S, grâce au théorème de Green-Ostrogradsky :<br>
<br>
$`\displaystyle \iiint_{\tau} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} \cdot d\tau+\iiint_{\tau} div \, \overrightarrow{j} \cdot d\tau=0`$<br>
<br>
Soit,<br>
<br>
$`\displaystyle \iiint_{\tau} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} \cdot d\tau=- \iiint_{\tau} div \, \overrightarrow{j} \cdot d\tau`$<br>
<br>
Cette équation étant vérifiée quelque soit le volume considéré, étant donc indépendante de ce volume, c'est que que l'égalité est vérifiée par les intégrandes eux-mêmes :<br>
<br>
$`\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=- div \; \overrightarrow{j} `$<br>
<br>
que l'on peut écrire sous la forme <br>
<br>
**$`\mathbf{\large div \; \overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \rho}{\partial t} =0\quad}`$**(Eq. cons. charge)

#### L'équation de conservation de la charge en régime stationnaire.

 Lorsque le courant est stationnaire (ou continu), alors :

* la charge électrique entrante dans un volume infinitésimale pendant une durée donnée est égale à la charge sortante.
* $`\Longrightarrow`$ la charge à l'intérieur du volume ne change pas.

![](charge-conservation-law-stationary-current.jpg)

* $`\Longrightarrow`$ la densité volumique de charge ne varie pas avec le temps :    
**$`\mathbf{\large\dfrac{\partial \rho}{\partial t}} =0`$**   
<br>
* $`\Longrightarrow`$ **l'équation locale de conservation de la charge se simplifie** en :  
<br> 
**$`\mathbf{\large div \; \overrightarrow{j} =0\quad}`$**   
   (Eq. cons. charge en régime stationnaire)


  
