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title: 'Le principe de Fermat T'
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#####Grandeur physique stationnaire

Soit <strong>$\Gamma_o$</strong> un <ins>chemin continue dans l'espace entre deux points A et B</ins>, chemin entièrement <ins>déterminé par son paramètre </ins><strong>$\lambda_o$</strong>, ou <ins>plusieurs paramètres indépendants </ins><strong>$\lambda_{io}$</strong>.
 
Soit <strong>$f$ </strong>une <ins>grandeur physique caractérisant  ce chemin</ins> $\Gamma$.
<ul class="exemple">
<li>Pour l'application du principe de Fermat, je travaillerai avec le temps de parcours ou le chemin optique entre A et B.</li></ul>


Je considère maintenant $\Gamma$ tout chemin infiniment proche de $\Gamma_o$ et de mêmes extrémités A et B, et caractérisé par son paramètre $\lambda=\lambda_o+d\lambda$ ou ses paramètres $\lambda_i=\lambda_{io}+d\lambda_i$.
 
La grandeur physique <strong>$f$</strong> est <strong>stationnaire sur le chemin $\Gamma_o$</strong> si <ins>sa variation calculée au premier ordre est nulle sur tout chemin $\Gamma$ infiniment proche de $\Gamma_o$</ins> :


<strong>$\mathrm{d}f(\Gamma_o)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\lambda}(\Gamma_o)\cdot\mathrm{d}\lambda=0$</strong>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ou
<strong>$\mathrm{d}f(\Gamma_{o})=\sum_i\frac{\partial f}{\partial\lambda_i}(\Gamma_o)\cdot\mathrm{d}\lambda_i=0$</strong>

<!---We can suppress the following note-->
!!! PARALLÈLE : En mathématiques, pour une fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ (fonction réelle $f$ à variable réelle $x$), un point stationnaire ou point critique correspond à un maximum (au moins local), ou à un minimum (au moins local), ou encore à un point d'inflexion stationnaire. Pour une fonction $f :\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$, il faut rajouter le point col ou point selle (en un point selle la fonction présente un maximum local selon un axe et un minimum local selon un autre axe, ce qui lui donne localement la forme d'une selle de cheval). Il faut aussi noter que tout point d'une fonction constante (de $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ou de $\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$) est un points stationnaire.
<!--Un point stationnaire P s'identifie facilement parce que la <ins>dérivée première de la fonction s'annule en ce point  (fonction d'une seule variable)</ins> ou <ins>chacune des dérivées partielles s'annulent en ce point (fonction de deux variables)</ins> :

<strong>$\frac{d\tau}{dx}(P)=0$</strong>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;ou
<strong>$\frac{\partial\tau}{\partial x}(P)=0\:\:\:\:et\:\:\:\:\frac{\partial\tau}{\partial y}(P)=0$</strong-->



<!--p>Le <strong>type d'un point stationnaire</strong> P s'identifie facilement par l'<ins>étude de la dérivée seconde ou des dérivées partielles secondes en ce point P</ins>.
Pour une <strong>fonction d'une variable</strong>, P est un :
<ul class="list">
<li><strong>maximum</strong> si et seulement si <ins>${\large\frac{d{\large\tau}}{dx}}(P)<0$</ins></li>
<li><strong>minimum</strong> si et seulement si <ins>${\large\frac{d{\large\tau}}{dx}}(P)>0$</ins></li>
</ul>
Pour une <strong>fonction de deux variables</strong>, et en posant :

<ins>$r=\frac{\partial^2{\large\tau}}{\partial x^2} , 
s=\frac{\partial^2{\large\tau}}{\partial x\,\partial y} , 
t=\frac{\partial^2{\large\tau}}{\partial y^2}$</ins>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;P est un :
<ul class="list">
<li><strong>maximum</strong> si et seulement si <ins>$rt-s^2>0$ et $r<0$</ins></li>
<li><strong>minimum</strong> si et seulement si <ins>$rt-s^2>0$ et $r>0$</ins></li>
<li><strong>point selle</strong> si et seulement si <ins>$rt-s^2<0$</ins></li>
</ul></p-->

<!--un couts trans1 sera l'étude des points critiques des fonctions à une ou deux variables -->


#####Enoncé du principe de Fermat

Le <strong>principe de Fermat</strong> peut s'énoncer <ins>à partir du temps de parcours</ins> ou bien <ins>à partir du chemin optique</ins> de la lumière entre deux points de sa trajectoire. Ces deux grandeurs physiques associées sont en effet simplement proportionnelles entre elles, et elles auront donc la propriété de stationnarité sur les mêmes parcours. Les deux énoncés du principe de Fermat sont :

<strong>"Entre deux points de sa trajectoire, la lumière suit tout parcours sur lequel son temps de propagation est stationnaire par rapport à tout autre parcours infiniment voisin."</strong>

<strong>"Entre deux points de sa trajectoire, la lumière suit tout parcours de chemin optique stationnaire par rapport à tout autre parcours infiniment voisin."</strong>
