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title: Définir les outils mathématiques de niveau 2 : proposition 1
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#### Proposition 1

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#### Définir les outils mathématiques requis au niveau 2

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avec une **première classification pour ordonner un peu** le brainstorming (numération, géométrie, etc).
Elle *ne présage pas des titres de chapitres*.

N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.

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Les *outils mathémétiques de niveau 1* **$`+`$** :

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  NUMERATION, OPERATIONS ET FONCTIONS USUELLES
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! *Numération, opérations et fonction usuelles*

* ensembles numéraires
  * des entiers naturels **$`\mathbb{N}`$** (et $`\mathbb{N}^*`$)
  * des entiers relatifs **$`\mathbb{Z}`$** (et $`\mathbb{Z}^*`$)
  * des nombres réels **$`\mathbb{R}`$** (et $`\mathbb{R}^*,\mathbb{R}_+,\mathbb{R}_-, \mathbb{R}_+^*`$,...)
  * des nombres rationnels et irrationnels ? (pas de liens directs en physique, plutôt programme math N2 ou N3?)

* factorielle d'un nombre entier nature
* fonction exponentielle **$`exp(x)=e^x`$**
* **$`log_p\,n`$, définie comme :   
si $`q=p^n`$, alors $`\log_p(q)=n`$, où $`n,p,q`$ sont des entiers et $`p,q`$ positifs.   
(besoin pour introduire des éléments de physique importants)

* introduction à **$`i`$** tel que **$`i^2=-1`$** (comme artifice de calcul)

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(CME-FR)   Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisme :

* *Fonctions trigonométriques* $`\sin`$ , $`\arcsin`$ , $`\cos`$ , $`\arcsin`$ , $`\tan`$ , $`\arctan`$

* Les *relations de trigonométrie* :   
  * **$`\sin(a+b)=\sin\,a\;\cos\,b + \sin\,b\;\cos\,a`$**
  * **$`\sin(a-b)=\sin\,a\;\cos\,b - \sin\,b\;\cos\,a`$**
  * **$`\cos(a+b)=\cos\,a\;\cos\,b - \sin\,b\;\sin\,a`$**
  * **$`\cos(a-b)=\cos\,a\;\cos\,b + \sin\,b\;\sin\,a`$**   
  et *savoir retrouver les autres*

* L'identité remarquable : **$`(a+b)(a-b)=a^2-b^2`$**

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  ENSEMBLES  ET  LOGIQUE
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! *Ensembles et logique*

* *complémentaire d'un ensemble* $`A`$ dans $`E`$*, noté **$`\mathbf{\complement_E A}`$**

* Utilisation de **$`\forall`$** , **$`\exists`$** , **$`\displaystyle\lim_{x\longrightarrow x_0}`$**


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  GÉOMÉTRIE  ET  COORDONNÉES
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! *Géométrie et coordonnées*

* Règles d'orientation d'un plan : *sens direct* (sens inverse des aiguilles d'une montre) 
et *sens inverse* (sens des aiguilles d'une montre) 

* Coordonnées *cartésiennes (2D et 3D)*
  Repère et base cartésiens (2D)
  composantes vectorielles d'un vecteur (en 2D)   

* Coordonnées *polaires*  : 2D $`(\rho,\varphi)`$  et 3D $`(\rho,\varphi, z)`$
  Savoir positionner un point

* Coordonnées *sphériques* : 2D $`(\theta,\varphi)`$ et 3D $`(r,\theta,\varphi)`$   
  difference avec longitude, latitude, altiture des coordonnées géographiques

* *Projection orthogonale (2D)*, en relation avec les fonctions
 sinus et cosinus et le produit scalaire
  

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  VECTEURS ET ANALYSE VECTORIELLE
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! *Vecteurs et analyse vectorielle*

(CME-FR) 
* *Représentation* intuitive *géométrique des vecteurs* (longueur, direction et sens)   
   ou alors dès le niveau 1?

* *Addition et soustraction géométriques de vecteurs*   
ou alors dès le niveau 1?

* Base vectorielle quelconque, orthogonale, orthonormée composantes d'un vecteur 

* Norme d'un vecteur et expression dans un base orthonormée, en relation avec Pythagore.

* Dans un plan euclidien :   
*produit scalaire de 2 vecteurs* en relation avec l'opération de projection orthogonale sur un axe :    
**$`\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\lVert \overrightarrow{a} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{a} \rVert \cdot \cos\theta`$**


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  ÉTUDE DE  FONCTIONS
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! *Étude de fonctions*

* *Fonction réelle à une variable réelle* **$`f(x)`$**
  * Notion de *dérivée en un point* **$`f'(x_o)`$** en relation avec la notion de tangente.
  * Fonction dérivée **$`f'(x)`$**

* dérivée seconde dès ce niveau ? (méca, équilibre), ou alors seulement dans les parties "au-delà" ?

* notion de primitive et d'intégrale simple dès ce niveau ?, ou alors seulement dans les parties "au-delà" ?

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  ÉQUATIONS
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! *Équations*

* *Équations du second degré :* **$`a\,x^2 + b\,x + c = 0`$**

* Savoir *poser en équations un problème qui relève du système d'équations*      
**$`\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y = c_1 \\ a_2\,x + b_2\,y = c_2  \end{array}\right.`$**   
*et le résoudre* (de façon non matricielle).

* Savoir *poser en équations un problème qui relève du système d'équations*    
**$`\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y + c_1\,z = d_1 \\ a_2\,x + b_2\,y + c_2\,z = d_2 \\ a_3\,x + b_3\,y + c_3\,z = d_3 \end{array}\right.`$**   
et voir que la résolution (de façon non matricielle) est simple mais fastidieuse.




