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title: Coordonnées sphériques
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!!!! *LESSON  UNDER  CONSTRUCTION :* <br>
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<!-- Partie principale $`\longleftarrow`$ Coordonnées cylindriques N3 -->

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<!--travail commun :
https://gitlab.m3p2.com/m3p2/courses/blob/master/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/20.reference-frames-coordinate-systems/textbook.es.md
-->


### Les coordonnées sphériques

#### Définition des coordonnées et domaines de définition

* *CS550* 

Les coordonnées sphériques s'écrivent $`(r, \theta, \varphi)`$,

avec :

$`r\in [0;\infty[`$ ,  $`\theta\in[0,\pi]`$ et $`\varphi\in [0;2\pi[`$.

**$`\mathbf{ r\in [0;\infty[}`$  ,  $`\mathbf{\theta\in[0,\pi]}`$  ,  $`\mathbf{\varphi\in [0;2\pi[ }`$**

Coordonnées sphériques d'un point $`M`$ :

$`(r_M, \theta_M, \varphi_M)`$ :

on écrit :

$`M(r_M, \theta_M, \varphi_M)`$

Si le point est un point quelconque, on simplifie

$`M(r, \theta, \varphi)`$ , **$`\mathbf{M=M(\rho, \theta, \varphi)}`$**


#### Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée

* *CS560* 

[FR] élément scalaire de longueur :

$`dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}`$ ,
**$`\mathbf{dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}}`$**

--------------------------

* *CS570*

Vecteur position d'un point $`M(r,\theta,\varphi)`$ en coordonnées sphériques :

<br>$`\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}}`$**

-----------------------------

* *CS580* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**

Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées sphériques :

$`d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi}`$**.

---------------------------

* *CS590* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**

Lorsque seule la coordonnées $`r`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon 
continue entre les valeurs $`r`$ et $`r+\Delta r`$, le point $`M`$ parcourt un sègment
de droite de longueur $`\Delta l_r=\Delta r`$. Lorsque $`\Delta r`$ tend vers $`0`$,
la longueur infinitésimale $`dl_r`$ parcourue pour le point $`M`$ est :

$`\displaystyle dr=\lim_{\Delta r\rightarrow 0 \\ \Delta r>0} \Delta r`$
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_r=dr`$ , **$`\mathbf{dl_r=dr}`$**

Lorsque seule la coordonnées $`\theta`$ d'un point  $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon 
continue entre les valeurs $`\theta`$ et $`\theta +\Delta \theta`$, le point $`M`$ parcourt un 
arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\theta}=r\;\Delta \theta`$. Lorsque $`\Delta \theta`$ tend vers $`0`$,
la longueur infinitésimale $`dl_{\theta}`$ parcourue pour le point $`M`$ est :

$`\displaystyle d\theta=\lim_{\Delta \theta\rightarrow 0 \\ \Delta \theta>0} \Delta\theta`$
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\theta}=r\,d\theta`$ , **$`\mathbf{dl_{\theta}=r\,d\theta}`$**   

Lorsque seule la coordonnées $`\varphi`$ d'un point  $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon 
continue entre les valeurs $`\varphi`$ et $`\varphi +\Delta \varphi`$, le point $`M`$ parcourt un 
arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\varphi}=r \;sin\,\theta\;\Delta \varphi`$. Lorsque $`\Delta \varphi`$ tend vers $`0`$,
la longueur infinitésimale $`dl_{\varphi}`$ parcourue pour le point $`M`$ est :

$`\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi`$
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi}`$** 

---------------------------

* *CS600* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**

Les vecteurs $`\overrightarrow{e_r}`$, $`\overrightarrow{e_{\theta}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
forment une **base orthonormée** de l'espace. La base $`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ 
est la base associée aux coordonnées sphériques.
En coordonnées sphériques, les vecteurs de base associés 
changent de direction lorsque le point $`M`$ se déplace.

$`||\overrightarrow{e_r}||=||\overrightarrow{e_{\theta}}||=||\overrightarrow{e_{\varphi}}||=1`$

$`\overrightarrow{e_r}\perp\overrightarrow{e_{\theta}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\theta}}\perp\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}\perp\overrightarrow{e_r}`$

$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartesiana *directa* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base esférica asociada *directa*.
<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartésienne *directe* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base sphérique associée *directe*.
<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* Cartesian base $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ *direct* associated spherical base.

$`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$<br>
<br>$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$<br>
<br>$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$<br>

---------------------------

* *CS610* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>

Méthode 1 pour le calcul de $`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ 

$`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ 
base ortogonal dependiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale dépendante
de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$.<br>
<br>$`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow{e_r} = \overrightarrow{e_r}(t) \\
\overrightarrow{e_{\theta}}  = \overrightarrow{e_{\theta}}(t) \\
\overrightarrow{e_{\varphi}}  = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\
\end{array} \right.`$

$`\overrightarrow{e_r}(t)=sin\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}`$<br>
<br>$`\overrightarrow{e_{\theta}}(t)=cos\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}`$<br>
<br>$`\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=- sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$

dans la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ :

$`\overrightarrow{e_r}(t)=
\left| \begin{array}{l}
sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\
sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\
cos\,\theta(t) \\
\end{array} \right.\quad`$ , 
$`\quad\overrightarrow{e_{\theta}}(t)=
\left|\begin{array}{l}
cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\
cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\
-\,sin\,\theta(t) \\
\end{array}\right.\quad`$ , 
$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=
\left|\begin{array}{l}
-\,sin\,\varphi(t) \\
cos\,\varphi(t) \\
0 \\
\end{array}\right.`$

Dans le référentiel $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ est fixe, donc tel que l'origine $`O`$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient 

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=0`$ :

en se rappelant : $`(fg)'=f'g+fg'`$  

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=
\left| \begin{array}{l}
\dfrac{d}{dt} [\,sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\
\\
\dfrac{d}{dt} [\, sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\
\\
\dfrac{d}{dt} [\,  cos\,\theta(t)\, ] \\
\end{array} \right.\quad`$
$`\quad =
\left| \begin{array}{l}
\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\
\\
\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\
\\
\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt} \\
\end{array} \right.\quad`$

et en se rappelant  : $`(f \circ g)'=(f' \circ g)\,g'`$ , 

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=
\left| \begin{array}{l}
cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; sin\,\theta\cdot sin\,\varphi  \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\
\\
cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; sin\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\
\\
-\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\
\end{array} \right.\quad`$

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=
\dfrac{d\theta}{dt}\cdot 
\left| \begin{array}{l}
cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
-\,sin\,\theta \\
\end{array} \right.`$
$`\;+\;
sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot 
\left| \begin{array}{l}
-\,sin\,\varphi \\
cos\,\varphi \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$

**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**

de même :

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_\theta}}{dt}=
\left| \begin{array}{l}
\dfrac{d}{dt} [\,cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\
\\
\dfrac{d}{dt} [\, cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\
\\
\dfrac{d}{dt} [-\,  sin\,\theta(t)\, ] \\
\end{array} \right.\quad`$
$`\quad =
\left| \begin{array}{l}
\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\
\\
\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\
\\
-\,\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt} \\
\end{array} \right.\quad`$


$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=
\left| \begin{array}{l}
-\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; cos\,\theta\cdot sin\,\varphi  \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\
\\
-\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; cos\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\
\\
-\,cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\
\end{array} \right.\quad`$<br>
<br>
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=
\dfrac{d\theta}{dt}\cdot 
\left| \begin{array}{l}
-\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
-\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
-\,cos\,\theta \\
\end{array} \right.`$
$`\;+\;
cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot 
\left| \begin{array}{l}
-\,sin\,\varphi \\
cos\,\varphi \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$<br>
<br>
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$<br>
<br>
**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br>


$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=
\left| \begin{array}{l}
\dfrac{d\,[-\,sin\,\varphi(t)]}{dt} \\
\dfrac{d\cos\,\varphi(t)}{dt} \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`\quad=
\left| \begin{array}{l}
-\,cos\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\
-\,sin\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$

$`\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$

**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$**<br>

avec $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ vecteur de la base cylindrique :

$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$. 

---------------------------------

* *CS620* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**

Méthode 2 pour le calcul de 
$`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ 

$`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
$`\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$
$`=\overrightarrow{e_r}(\theta, \varphi)`$<br>
$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$
$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$
$`=\overrightarrow{e_{\theta}}(\theta, \varphi)`$<br>
$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$
$`=\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\theta, \varphi)`$

$`d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$ <br>
$`d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$ <br>
$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$

$`\theta=\theta(t)`$ , $`\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad`$ pour un même $`dt`$ infinitésimal, $`\theta`$ et $`\varphi`$ varient de :

$`d\theta=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt`$ et $`d\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$

$`\Longrightarrow\quad`$ pour un même $`dt`$ infinitésimal :

$`d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ <br>
$`d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ <br>
$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ <br>
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ <br>
$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$

$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}=
\left|\begin{array}{l}
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta) \\
\end{array} \right.\quad`$ 
$`=\left|\begin{array}{l}
cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
-\,sin\,\theta \\
\end{array} \right.\quad`$
$`=\overrightarrow{e_{\theta}}`$

$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}=
\left|\begin{array}{l}
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta) \\
\end{array} \right.\quad`$ 
$`=\left|\begin{array}{l}
-\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`=sin\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$

$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}=
\left|\begin{array}{l}
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\theta) \\
\end{array} \right.\quad`$ 
$`=\left|\begin{array}{l}
-\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
-\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
-\,cos\,\theta \\
\end{array} \right.\quad`$
$`=-\,\overrightarrow{e_r}`$

$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}=
\left|\begin{array}{l}
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi)] \\
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\theta) \\
\end{array} \right.\quad`$ 
$`=\left|\begin{array}{l}
-\,cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`=cos\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$

$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}=
\left|\begin{array}{l}
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\varphi) \\
\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\varphi) \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`=
\left|\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`=\overrightarrow{0}`$

$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}=
\left|\begin{array}{l}
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\varphi) \\
\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\varphi) \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`=
\left|\begin{array}{l}
-\,cos\,\varphi \\
-\,sin\,\varphi \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`=-\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$

où $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ est le vecteur de la base cylindrique  :
$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$. 

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\quad`$
$`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\sin\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$
$`=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\cos\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$
$`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{0}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$

------------------

* *CS630*

$`\overrightarrow{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left[\,r(t)\cdot\overrightarrow{e_r}(t)\,\right]`$$`=\dfrac{dr(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r(t)}\;+\;r(t)\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}(t)}{dt}`$
$`=\dfrac{dr}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\;+\;r\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}`$