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title: Géométrie et coordonnées - proposition 2
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#### Géométrie et coordonnées niveau 3 : main

---------------------------------------------

!!!! *Attention : COURS EN CONSTRUCTION :*    
!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
!!!!  Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.   
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.

<!--MétaDonnée : ... -->

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<!--====================================================-->

<!--Idée : mettre les coordonnées cartésiennes, sphériques et cylindriques dans 3 blocs différents
pour pouvoir les faire afficher en parallèle.-->



!   
! *SYSTEMES  DE  COORDONNEES*   
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
! <!--(autre type de titre possible : " ... ")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! <br>
! </details>

Un temps unidimensionnel et un espace tridimensionnel.

Système de coordonnée temporel :   
\- une unité de mesure des durées.   
\- une origine (ou un évènement origine) des temps.   

Système de coordonnées spatiales :   
\- 1 origine, 3 coordonnées  
\- vecteur naturel associé à chaque coordonnée,   
base naturelle et repère naturel associés :   
(on ne s'en sert pas souvent, on peut le mettre dans un apparté au-delà).
\- vecteur normé associé à chaque coordonnée,   
base normée et repère normé associés.

Système de coordonnées orthonormées  
\- (système de coordonnées orthogonales, normées, orthonormées)   
\- vecteur naturel associé à chaque coordonnée   
\- vecteur unitaire associé à chaque coordonnée.   
\- base et repère orthonormés associés aux coordonnées.   
\- intérêt des systèmes de coordonnées orthonormées pour l'expression du produit scalaire.   
\- exemples à venir de coordonnées orthonormées (cartésiennes, cylindriques, sphériques, Frenet)

Systèmes de coordonnées orthonormées direct ou indirect   
\- règle d'orientation de l'espace.   
\- base et repère associés, direct ou indirect   
\- intérêt des systèmes de coordonnées orthonormées pour l'expression du produit vectoriel

Système de coordonnées cartésiennes $`(O,x,y,z)`$    
\- propriété qui les distingue des autres systèmes de coordonnées orthonormées      
Pour tout couple de points dont les coordonnées cartésiennes diffèrent de $`(\Delta x,\Delta y,\Delta z)`$, la distance $`\Delta l`$ entre les deux points, qui est un invariant (hors du champ de la relativité d'Einstein), s'exprime simplement par $`\Delta l=\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}`$   
 _Attention, lui est souvent aussi attribuée une deuxième propriété qui est d'être fixe dans le référentiel d'étude. Si possible éviter, pour niveau 4)._

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<!--====================================================-->

!   
! *RÉFÉRENTIELS*   
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
! <!--(autre type de titre possible : " ... ")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! <br>
! </details>

Notion de Référentiel $`\mathcal{R}`$
Défini par le choix d'un système de coordonnée temporel (unité et origine) et d'un système de coordonnées de coordonnées cartésiennes qui est fixe dans le référentiel.   
Il est noté $`\mathcal{R}(x,y,z,t)`$ (ou $`\mathcal{R}(t,x,y,z,)`$ ?).    
_Attention encore ici, sur la défintion des coordonnées cartésiennes_

d'autres choses à dire, mais dans des appartés ou autre. 

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<!--====================================================-->

<!--Idée : mettre les coordonnées cartésiennes, sphériques et cylindriques dans 3 blocs différents
pour pouvoir les faire afficher en parallèle.-->

!   
! *SYSTÈME  DE  COORDONNÉES  CARTÉSIENNES*   
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
! <!--(autre type de titre possible : " ... ")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! <br>
! </details>

-------------------------------------------------

<!--==========================================-->

!   
! *SYSTÈME  DE  COORDONNÉES  CYLINDRIQUES*   
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
! <!--(autre type de titre possible : " ... ")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! <br>
! </details>


-------------------------------------------------

<!--==========================================-->

!   
! *SYSTÈME  DE  COORDONNÉES  SPHÉRIQUES*   
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
! <!--(autre type de titre possible : " ... ")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! <br>
! </details>

-------------------------------------------------

<!--==========================================-->

!   
! *GÉNÉRALISATION  AUX  COORDONNÉES  CURVILIGNES  ORTHOGONALES*   
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
! <!--(autre type de titre possible : " ... ")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! Introduire,<br>
! Faire le lien avec cartésiennes, cylindriques, sphériques,<br>
! et surtout retrouver d'une façon générale les expressions de la divergence et du rotationnel en coordonnées cylindriques et sphériques (avec affichage dans un monde parallèle de la définition de la divergence et du rotationnel, avec la démonstration de leurs expressions en cartésiennes).<br>
! Autre?<br>
! <br>
! </details>


-------------------------------------------------

<!--==========================================-->

!   
! *LE  REPÈRE  DE  FRENET*   
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
! <!--(autre type de titre possible : " ... ")-->
! <details>
! <summary>
! Plutôt ici? ou en mécanique? Lignes directrices
! </summary>
! Peut-être défini mathématiquement d'une façon assez lourde.<br>
! Sans être au programme de niveau 2, peut apparaitre dans le monde panorama, une explication assez intuitive de ce qu'il représente et de son utilité, dans la fenêtre correspondant au niveau 2.
! <br>
! </details>


-----------------------------------------------------------

<!--====================================================-->

Ici, Aux moins trois chapitres qui s'imbriquent.   
Comment faire? Un seul chapitre ou plusieurs, dans quel ordre?

Je vois :

*INVARIANCES ET SYMÉTRIES*

qui est lié aussi lié avec 

*CAUSES  ET  EFFETS*

et avec  

*VECTEURS POLAIRES ET AXIAUX*   
(et aussi scalaires, et au niveau 4, tenseurs polaires et axiaux)

vecteurs qui peuvent être les vecteurs d'un champ, ou pas, d'ou

*LES CHAMPS EN PHYSIQUE*   
avec les champs scalaires et vectoriels.

ce qui pose la question des propriétés des champs :   
- macroscopique : variation, circulation, flux, propagation
- locales : gradient, divergence, rotationnel,   

On sort ici de ce grand thème pour en aborder un autre...

Besoin de réfléchir à plusieurs...


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<!--====================================================-->




@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

!!!!
!!!! *Elements de cours correspondants :*
!!!!

! *aux coordonnées cylindriques*
!

### Les Coordonnées cylindriques

#### Définition des coordonnées et domaines de définition

!!! Par exemple, cet élément de cours noté *CS300* :

* *C0OSYS-300* :  

Cadre de référence : système cartésien de coordonnées  $`(O, x, y, z)`$
\- **1 point $`O`$ origine** de l'espace.<br>
\- **3 axes** nommés **$`Ox , Oy , Oz`$**, se coupant en $`O`$, **orthogonaux 2 à 2**.<br>
\- **1 unité de longueur**.<br>

!!! peut donner :

Les coordonnées cylindriques sont définies à partir d'un système de coordonnées cartésiennes, soit 
\- 1 point $`O`$ origine de l'espace.<br>
\- 3 axes nommés $`Ox , Oy , Oz`$, se coupant en $`O`$, orthogonaux 2 à 2.<br>
\- 1 unité de longueur.<br>

!!! L'élément suivant *CS310* :

* *C0OSYS-310* :  

Coordonnées cylindriques $`(\rho , \varphi , z)`$ :

\- Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ conduisant au point $`m_{xy}`$,
et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$.

\- La **coordonnée $`\rho_M`$** du point $`M`$ est la *distance non algébrique $`Om_{xy}`$* entre le point $`O`$ et le point $`m_{xy}`$.<br>
\- La **coordonnée $`\varphi_M`$** du point $`M`$ est l'*angle non algébrique $`\widehat{xOm_{xy}}`$* entre l'axe $`Ox`$ et la demi-droite $`Om_{xy}`$, 
le sens de rotation étant tel que le trièdre *$`(Ox , Om_{xy}, Oz)`$* est un *trièdre direct*.<br>
\- La **coordonnée $`z_M`$** du point $`M`$ est la *distance algébrique $`\overline{Om_z}`$* entre le point $`O`$ et le point $`m_z`$.

**$`\rho_M=\overline{Om_{xy}}`$ , $`\varphi_M=\widehat{xOm_y}`$ , $`z_M=Om_z`$**

! peut donner :

Les coordonnées cylindriques sont ordonnées et notés $`(\rho, \varphi, z)`$. 

Pour tout point $`M`$ quelconque de l'espace :

\- La coordonnée $`\rho_M`$ du point $`M`$ est la distance non algébrique $`Om_{xy}`$ 
entre le point $`O`$ et le point $`m_{xy}`$.<br>
\- La coordonnée $`\varphi_M`$ du point $`M`$ est l'angle non algébrique $`\widehat{xOm_{xy}}`$
entre l'axe $`Ox`$ et la demi-droite $`Om_{xy}`$, 
le sens de rotation étant tel que le trièdre $`(Ox , Om_{xy}, Oz)`$ est un trièdre direct.<br>
\- La coordonnée $`z_M`$ du point $`M`$ est la distance algébrique $`\overline{Om_z}`$ entre 
le point $`O`$ et le point $`m_z`$.

Un même point $`M`$ situé en $`z_M`$ sur l'axe $`Oz`$ peut être représenté par tout triplet
$`(z_M, 0, \varphi)`$ où $`\varphi`$ peut prendre toutes les valeurs possibles. Par convention,
la valeur $`\varphi`$ est fixée à 0, et les coordonnées cylindriques de tout point $`M`$ situé 
en $`z_M`$ sur l'axe $`Oz`$ seront $`(z_M, 0, 0)`$.

! et on continue sur l'enchaînement des éléments de cours décidé en commun :

* *C0OSYS-320*

*Remarque :* Les deux premières coordonnées cylindriques d'un point $`M`$ sont les coordonnées polaires du point $`m_{xy}`$ dans le plan $`xOy`$ (plan $`z=0`$). Ce sont aussi les coordonnées polaires du point $`M`$ dans le plan $`z=z_M`$.

\- Les coordonnées **$`\rho`$ **et **$`z`$** sont des *longueurs*, dont l'*unité S.I.* est le mètre, de symbole *$`m`$*.<br>
\- La coordonnée **$`\varphi`$** est un angle, dont  l'*unité S.I.* est le radian, de symbole *$`rad`$*.

**Unités S.I. : $`\rho\;(m)`$ , $`\varphi\;(rad)`$ , $`z\;(m)`$**

--------------------

* *C0OSYS-330*

\- Tout point $`M`$ de l'espace, excepté le point origine $`O`$,  est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cylindriques.<br>
\- Au point origine $`O`$ est attribué les coordonnées cylindriques $`(0 , 0 , 0)`$.

\- Escribimos / on écrit / we write : $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$

\- Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify :

$`M(\rho , \varphi , z)`$, **$`\mathbf{M(\rho , \varphi , z)}`$**

------------------

* *C0OSYS-340*

\- **Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cylindriques variant indépendamment 
dans les domaines $`\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[ `$  ,  
$`\varphi\in[0,2\pi[`$ et $`z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[`$.

**$`\mathbf{\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[}`$ , $`\mathbf{ \varphi\in[0,2\pi[ }`$ ,  $`\mathbf{ z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty[ } `$**


--------------

* *C0OSYS-350*

! <details markdown=1>
! <summary>
! Notations sur les ensembles de nombres réels 
! </summary>
! * le symbole $`\infty`$ désigne l'infini.
! * $`\mathbb{R}`$ : ensemble des nombres réels :
! $`\mathbb{R}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\}\;=\;]-\infty , +\infty\,[`$.
! * $`\mathbb{R}^{*}`$ : ensemble des nombres réels non nuls : 
! $`\mathbb{R}^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x\ne 0\}\; = \; ]-\infty , 0\,[ \;\cup\; ]\,0 , + \infty\,[`$.
! * $`\mathbb{R}_+`$ : ensemble des nombres réels positifs : 
! $`\mathbb{R}_+\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \ge 0\}\; = \; [\,0 , + \infty\,[`$.
! * $`\mathbb{R}_+`$ : ensemble des nombres réels négatifs : 
! $`\mathbb{R}_+\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \ge 0\}\; = \; ]-\infty , 0\,]`$.
! * $`\mathbb{R}_+^{*}`$ : ensemble des nombres réels positifs non nuls : 
! $`\mathbb{R}_+^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \le 0\}\; = \; ]\,0 , + \infty\,[ `$.
! * $`\mathbb{R}_{-}^{*}`$ : ensemble des nombres réels négatifs non nuls : 
! $`\mathbb{R}_{-}^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x > 0\,]\;= \; ]-\infty , 0\,[ `$.
!
!    --------
! * {...} indique un ensemble d'éléments.
! *  la liste, le texte ou l'expression logique ... précise les éléments de l'ensemble.
! *  on peut donner un nom à l'ensemble : exemple : A={...}.
! *  le symbole " $`|`$ " signifie "tel que". Exemple :<br>
!    $`\{x\in\mathbb{R} | x \lt 0\}`$ désigne lensemble des nombre réels x, tels que $`x \lt 0`$.
!
!   -------
!  Les intervalles par l'exemple :
! * $` [2 , 3] `$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 et 3 étant inclus.
! * $` ]2 , 3[ `$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 et 3 étant exclus.
! * $` [2 , 3[ `$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 étant inclus et 3 exclus.
! * $` ]2 , 3 ]`$ : intervalle des nombres réels compris entre 2 et 3, 2 étant exclus et 3 inclus.
! * fait appel à la notion mathématique de limite.
! * L'infini est toujours exclu, on ne peut jamais l'atteindre, il ne peut pas être inclus :<br>
! $`]-\infty`$ et pas $`\require{cancel}\xcancel{[-\infty}`$ , $`+\infty[`$ et pas $`\require{cancel}\xcancel{+\infty]}`$
!
! </details>

<!--
Las coordenadas cilíndricas se escriben / les coordonnées cylindriques s'écrivent / The cylindrical coordinates write :

$`(\rho, \varphi, z)`$ , **$`\mathbf{(\rho, \varphi, z)}`$**

con / avec /with :

$`\rho\in [0;\infty[`$,  $`\varphi\in [0;2\pi[`$ et $`z \in [-\infty;\infty[`$ , 

**$`\mathbf{ \rho\in [0;\infty[}`$  ,  $`\mathbf{\varphi\in [0;2\pi[}`$  ,  $`\mathbf{z \in [-\infty;\infty[ }`$** 

Coordenadas cilíndricas de un punto $`M`$ /coordonnées cylindriques  d'un point $`M`$ / cylindrical  coordinates of a point $`M`$ :

$`(\rho_M, \varphi_M, z_M)`$,

Escribimos / on écrit / we write :

$`M(\rho_M, \varphi_M, z_M)`$

Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify :

$`M(\rho, \varphi, z)`$ , **$`\mathbf{M(\rho, \varphi, z)}`$** -->


#### Base vectorielle cylindrique et repère de l'espace associés

##### Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée

* *C0OSYS-360* 

[ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ varía
continuamente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+\Delta \rho`$, el punto $`M`$ recorre un segmento
de longitud $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Cuando $`\Delta \rho`$ 
tiende a $`0`$, la longitud infinitesimal $`dl_{\rho}`$ recorrida para el punto $`M`$ 
es :

[FR] Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ varie de façon 
continue entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+\Delta \rho`$, le point $`M`$ parcourt un sègment
de droite de longueur $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Lorsque $`\Delta \rho`$ tend vers $`0`$,
la longueur infinitésimale $`dl_{\rho}`$ parcourue pour le point $`M`$ est :

[EN] When only the $`\rho`$ coordinate of a point $`M(\rho, \varphi, z)`$ varies
continuously between the values $`\rho`$ and $`\rho+\Delta \rho`$, the point $`M`$ covers
a line segment of length $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. When $`\Delta \rho`$ tends
towards $`0`$, the infinitesimal length $`dl_{\rho}`$ covered by the point $`M`$ is :

$`\displaystyle d\rho=\lim_{\Delta \rho\rightarrow 0 \\ \Delta \rho>0} \Delta \rho`$
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\rho}=d\rho`$, **$`\mathbf{dl_{\rho}=d\rho}`$**.

tambien / de même / similarly : $`dl_z=dz`$ , , **$`\mathbf{dl_z=dz}`$**.

[ES] Cuando solo la coordenada $`\varphi`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ varía
continuamente entre los valores $`\varphi`$ y $`\varphi +\Delta \varphi`$, el punto $`M`$ 
recorre un arco de circulo
de longitud $`\Delta l_{\varphi}=\rho\:\Delta \varphi`$. Cuando $`\Delta \varphi`$ 
tiende a $`0`$, la longitud infinitesimal $`dl_{\varphi}`$ recorrida para el punto $`M`$ 
es :

[FR] Lorsque seule la coordonnées $`\varphi`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ varie de façon 
continue entre les valeurs $`\varphi`$ et $`\varphi +\Delta \varphi`$, le point $`M`$ parcourt un 
arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\varphi}=\rho\;\Delta \varphi`$. Lorsque $`\Delta \varphi`$ tend vers $`0`$,
la longueur infinitésimale $`dl_{\varphi}`$ parcourue pour le point $`M`$ est :

[EN] When only the $`\varphi`$ coordinate of a point $`M(\rho, \varphi, z)`$ varies
continuously between the values $`\varphi`$ and $`\varphi+\Delta \varphi`$, the point $`M`$ covers
an arc of circle of length $`\Delta l_{\varphi}=\rho\,\Delta \varphi`$. When $`\Delta \varphi`$ tends
towards $`0`$, the infinitesimal length $`dl_{\varphi}`$ covered by the point $`M`$ is :

$`\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi`$
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi`$ , , **$`\mathbf{dl_{\varphi}=\rho\,d\varphi}`$**.

------------

* *C0OSYS-370* : 

[ES] elemento escalar de línea :<br>
[FR] élément scalaire de longueur :<br>
[EN] scalar line element :

<br>$`dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}`$ , **$`\mathbf{dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}}`$**

##### Base vectorielle cylindrique et repère de l'espace associés

* *C0OSYS-380*

[ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ aumenta
infinitesimalmente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$)
para llegar al punto $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, el vector de desplazamiento
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ del punto $`M`$ es el vector 
tangente a la trayectoria en el punto $`M`$, dirigido en la dirección del movimiento,
que se escribe :

[FR] Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ s'accroît de façon 
infinitésimale entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$)
pour atteindre le point $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, le vecteur déplacement 
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ du point $`M`$ est le vecteur
tangent à la trajectoire au point $`M`$, dirigé dans le sens du mouvement, qui s'écrit :

[EN] When only the $`\rho`$ coordinate of a point $`M(x,y,z)`$ increases infinitesimally between
the values $`\rho`$ and $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) to reach the point
$`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, the displacement vector
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ of the point $`M`$ is the 
tangent vector to the trajectory at point $`M`$ oriented in the direction of the movement. It writes :

$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot d\rho`$

[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria  $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (que indica la dirección y el sentido
de desplazamiento del punto $`M`$ cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada $`\rho`$ se escribe:

[FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (qui indique la direction et le sens 
de déplacement du point $`M`$ lorsque seule la coordonnée $`\rho`$ croît de façon infinitésimale) s'écrit :

[EN] The unit vector tangent to the trajectory  $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$  (which indicates the direction of displacement 
of the point $`M`$ when only the coordinate $`\rho`$ increases in an infinitesimal way) writes :

$`\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}||}`$

tambien / de même / similarly :

$`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \varphi}\cdot d\varphi`$,
$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}||}`$<br>
$`d\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$,
$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$

--------------------

* *C0OSYS-390*

[ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
se escribe :

[FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ s'écrit :

[EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ writes :

$`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}
=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**

tambien / de même / similarly :

$`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ ,
**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}}`$**

[ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ 
es el elemento escalar de linea $`dl_{\varphi}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ 
se escribe :

[FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ 
est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit :

[EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$ 
is the scalar line element $`dl_{\varphi}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ writes :

$`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}
=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ , 
**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\varphi}}=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**

-------------------------

* *C0OSYS-400*

[ES] El **elemento vectorial de línea** o ?? $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en coordenadas cilíndricas es
el vector de desplazamiento del punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ al punto $`M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)`$ cuando 
las coordenadas varían infinitesimalmente de $`d\rho`$, $`d\varphi`$ y $`dz`$, y se escribe :

[FR] L'**élément vectoriel d'arc** ou vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en 
coordonnées cylindriques est le vecteur déplacement du point $`M(\rho, \varphi, z)`$ au point
$`M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)`$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des quantités
$`d\rho`$, $`d\varphi`$ et $`dz`$, et il s'écrit :

[EN] The **vector line element** or vector path element $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ 
in Cylindrical coordinates is the displacement vector from point $`M(\rho, \varphi, z)`$ to point 
$`M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)`$ when the coordinates vary infinitesimally in quantities 
$`d\rho`$, $`d\varphi`$ and $`dz`$,
and it writes :

$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$
$`=d\overrightarrow{OM}_{\rho}+d\overrightarrow{OM}_{\varphi}+d\overrightarrow{OM}_z`$
$`=\overrightarrow{dl_{\rho}}+\overrightarrow{dl_{\varphi}}+\overrightarrow{dl_z}`$
$`=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$
$`=d\rho\;\overrightarrow{e_x}+\rho\;d\varphi\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$

**$`\mathbf{d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dl}}`$**
**$`\mathbf{=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}}`$**
**$`\mathbf{=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}+\rho\;dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dz\;\overrightarrow{e_z}}`$**

[ES] y su norma es el elemento scalar de linea :<br>
[FR] et sa norme el l'élément de longueur :<br>
[EN] y its norm (or length) is thescalar line element :

$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{dl_x^2+dl_y^2+dl_z^2}=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$

$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{\overrightarrow{dl}\cdot\overrightarrow{dl}}`$
$`=\left[(dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\cdot
(dl_x\;\overrightarrow{e_x}\right.`$
$`\left.+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$
$`=\left[(dl_x)^2\;(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_x})\right.`$
$`+(dl_y)^2\;(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_y})`$
$`+(dl_z)^2\;(\overrightarrow{e_z}\cdot\overrightarrow{e_z})`$
$`+(2\,dl_x\,dl_y)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_y})`$
$`+(2\,dl_x\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_z})`$
$`\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$
$`=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}`$
$`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$

-------------------------------

* *C0OSYS-410*
 
[ES] Los vectores $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
forman una **base ortonormal** del espacio. La base
$`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ 
es la base asociada a las coordenadas cilíndricas. En coordenadas cilíndricas, los vectores
de base asociadas cambian de direcciónes cuando el punto $`M`$ se mueve.

[FR] Les vecteurs $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cylindriques.
En coordonnées cylindriques, les vecteurs de base associés 
changent de direction lorsque le point $`M`$ se déplace.

[EN] The vectors $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
form an **orthonormal basis** of space. It is the base associated with cylindrical coordinates.
In cylindrical coordinates, the base vectors change of direction when the point $`M`$ moves.

$`||\overrightarrow{e_{\rho}}||=||\overrightarrow{e_{\varphi}}||=||\overrightarrow{e_z}||=1`$<br>
$`\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}\perp\overrightarrow{e_z}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_z}`$

$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartesiana *directa* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ base cilíndrica asociada *directa*.
<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartésienne *directe* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ base cylindrique associée *directe*.
<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* Cartesian base $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* associated cylindrical base.

$`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ 
base ortogonal dependiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale dépendante
de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$.

##### Vecteur déplacement élémentaire

* *C0OSYS-420*

$`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow{e_{\rho}} = \overrightarrow{e_{\rho}}(t) \\
\overrightarrow{e_{\varphi}}  = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\
\overrightarrow{e_z}  = \overrightarrow{cst} \\
\end{array} \right.`$

-----------------------

* *C0OSYS-430*

Método 1 para el cálculo de / Méthode 1 pour le calcul de / Method 1 for the calculation of :<br>
$`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$. 

$`\overrightarrow{e_z}=\overrightarrow{cst}\Longrightarrow\dfrac{d e_z}{dt}=0`$ 


$`\overrightarrow{e_\rho}(t)=cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$<br>
<br>$`\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=- sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$

en la base cartesiana / dans la base cartésienne / in the Cartesian base
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ :

$`\overrightarrow{e_{\rho}}(t)=
\left| \begin{array}{l}
cos\,\varphi(t) \\
sin\,\varphi(t) \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$ , 
$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=
\left|\begin{array}{l}
-\,sin\,\varphi(t) \\
cos\,\varphi(t) \\
0 \\
\end{array}\right.`$ 

[ES] ? En el marco de referencia $`\mathcal{R}(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ del observador, es decir cuando la origen del espacio $`O`$ es fija y los tres vectores base verifican

[FR] Dans le référentiel $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ est fixe, donc tel que l'origine $`O`$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient 

[EN] In the reference frame $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ of the observer, i.e.when the origin $`O`$ is fixed and the three base vectors satisfy 

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=0`$ :

recordando / en se rappelant / reminding : $`(fg)'=f'g+fg'`$  

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=
\left| \begin{array}{l}
cos\,\varphi(t) \,]\\
sin\,\varphi(t)\, ] \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`\quad =
\left| \begin{array}{l}
\dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\
\\
\dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\
\\
\dfrac{d\,0}{dt} \\
\end{array} \right.\quad`$

y recordando / et en se rappelant / and reminding : $`(f \circ g)'=(f' \circ g)\,g'`$ , 

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=
\left| \begin{array}{l}
-\;sin\,\varphi  \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\
\\
cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\
\\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`=\dfrac{d\varphi}{dt}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$

**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**

tambien / de même / similarly :

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=
\left| \begin{array}{l}
\dfrac{d\,[-\,sin\,\varphi(t)]}{dt} \\
\\
\dfrac{d\cos\,\varphi(t)}{dt} \\
\\
\dfrac{d\;0}{dt} \\
\end{array} \right.\quad`$
$`\quad=
\left| \begin{array}{l}
-\,cos\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\
-\,sin\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$

**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$**<br>

--------------------

* *C0OSYS-440*

Método 2 para el cálculo de / Méthode 2 pour le calcul de / Method 2 for the calculation of :<br>
$`\dfrac{d e_{\rho}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ 

$`\overrightarrow{e_{\rho}}=cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
$`\;+\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;0\;\overrightarrow{e_z}`$
$`=\overrightarrow{e_{\rho}}(\varphi)`$<br>
$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}\;+\;0\;\overrightarrow{e_z}`$
$`=\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\varphi)`$

$`\overrightarrow{e_{\rho}}=\overrightarrow{e_{\rho}}(\varphi)`$ et 
$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\varphi)`$
$`\quad\Longrightarrow\quad`$ pour une variation  infinitésimale $`d\varphi`$, $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ varient de :

$`d\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\cdot d\varphi`$ <br>
$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\cdot d\varphi`$

con / avec / with

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}=
\left|\begin{array}{l}
\dfrac{d\;cos\,\varphi}{d\varphi} \\
\\
\dfrac{d\;sin\,\varphi}{d\varphi} \\ 
\\
\dfrac{d\;0}{d\varphi} \\
\end{array} \right.\quad`$ 
$`=\left|\begin{array}{l}
-\,sin\,\varphi \\
cos\,\varphi \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`=\overrightarrow{e_{\varphi}}`$

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}=
\left|\begin{array}{l}
\dfrac{d\;(-\,sin\,\varphi}{d\varphi} \\
\\
\dfrac{d\;cos\,\varphi}{d\varphi} \\ 
\\
\dfrac{d\;0}{d\varphi} \\
\end{array} \right.\quad`$ 
$`=\left|\begin{array}{l}
-\,cos\,\varphi \\
-\,sin\,\varphi \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`=-\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$

$`\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad`$ pour unè variation infinitésimale  $`dt`$ , $`\varphi`$ varie de :

$`d\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$

$`\Longrightarrow\quad`$ pour une variation infinitésimale  $`dt`$, $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ varient de :

$`d\overrightarrow{e_{\rho}}\quad=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$$\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot \dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot
\overrightarrow{e_{\varphi}}`$

$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
$\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot \dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\quad=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot
\overrightarrow{e_{\rho}}`$

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot
\overrightarrow{e_{\varphi}}`$

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot
\overrightarrow{e_{\rho}}`$

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=\overrightarrow{0}`$

---------------------

* *C0OSYS-450* 

[ES] En la mecánica clásica, las interacciones entre cuerpos materiales se traducen en términos de fuerza $`\vec{F}`$ y conducen a una aceleración $`\vec{a}`$ de cada cuerpo en interacción proporcional a la inversa de su masa de inercia $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (o $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , ver capítulo mecánico). Como el vector de aceleración es la segunda derivada temporal del vector de posición, es posible que necesitemos conocer la segunda derivada  temporal de los vectores base para el estudio del movimiento.

[FR] En mécanique classique, les interactions entre les corps matériels se traduisent en terme de force $`\vec{F}`$, et conduisent à une accélération $`\vec{a}`$ de chaque corps en interaction proportionnelle à l'inverse de sa masse d'inertie  $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (ou $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , voir chapitre mécanique). Dans l'étude du mouvement, nous aurons besoin d'étendre l'étude à la dérivée seconde des vecteurs de base. Comme le vecteur accélaration est la dérivée seconde du vecteur position, nous pourrions avoir besoin de connaître la dérivée seconde par rapport au temps des vecteurs de base pour l'étude du mouvement.

[EN] In classical mechanics, the interactions between material bodies are expressed in terms of force $`\vec{F}`$ , and lead to an acceleration of each interacting body proportional to the inverse of its mass of inertia  $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (or $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , see mechanical chapter). As the acceleration vector is the second time derivative of the position vector, when studying the motion we might need to know the second time derivative of the base vectors.

$`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt^2}\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}\right)\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\right)`$
$`\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\varphi}{dt}\right)\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\,
+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\dfrac{d}{dt}\left(\overrightarrow{e_{\varphi}}\right)`$

$`\quad=\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot
\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}`$$`\quad=\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \left( -\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot e_{\rho}\right) `$
$`\quad=\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\rho}`$

**$`\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt^2}=-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\rho}\,+\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**

[ES] ¡Atención! No confunda $`\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}`$ y $`\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 `$ (dar un ejemplo).

[FR] Attention ! Ne pas confondre $`\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}`$ et $`\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 `$ (donner un exemple).

[EN] Look out ! Do not confuse $`\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}`$ and $`\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 `$ (give an example).


$`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt^2}\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}\right)\quad=\dfrac{d}{dt}\left(-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}\right)`$
$`\quad=-\,\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right) \cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,- \,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \dfrac{d}{dt} \left( \overrightarrow{e_{\rho}} \right)`$
$`\quad=-\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2} \cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\, \dfrac{d\varphi}{dt} \cdot
\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}`$
$`\quad=-\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2} \cdot \overrightarrow{e_{\rho}}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \left( \dfrac{d\varphi}{dt} \cdot e_{\varphi} \right) `$
$`\quad=-\,\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\varphi}`$

**$`\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt^2}
=-\,\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\varphi}}`$**


$`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2} \quad = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\,\overrightarrow{e_z}}{dt} \right) \quad = \dfrac{d\,\overrightarrow{0}}{dt} \quad = \overrightarrow{0}`$

**$`\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2}=\overrightarrow{0}}`$**

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* *C0OSYS-460*

[ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ 
se escribe :

[FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ s'écrit :

[EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ writes :

$`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}
=\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$

tambien / de même / similarly :

$`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$

[ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ 
es el elemento escalar de linea $`dl_{\varphi}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ 
se escribe :

[FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ 
est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit :

[EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$ 
is the scalar line element $`dl_{\varphi}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ writes :

$`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}
=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$

------------------

* *C0OSYS-470*

[ES] Los 3 vectores $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
$`\quad d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ y
$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ son 2 a 2 ortogonales.

[FR] Les 3 vecteurs $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
$`\quad d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ et
$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2.

[EN] The 3 vectors $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
$`\quad d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ and
$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ are 2 to 2 orthogonal.

$`\Longrightarrow`$ :

[ES] ¡Atención! El área de un elemento de superficie construido por 2 de estos vectores 
no es el producto de sus normas. Tambien el volumen definido 
por estos 3 vectores no será simplemente el producto de sus normas.

[FR] Attention ! L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs n'est'
pas le produit de leurs normes. Et le volume définit par ces 3 vecteurs 
n'est le produit de leurs normes.

[EN] Warning! The area of a surface element constructed by 2 of these vectors is not 
the product of their norms. And the volume defined by these 3 vectors is not the product 
of their norms.

--------------------------

* *C0OSYS-480*

http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-06.

[ES] Según la dirección elegida, los **elementos escalares de superficie $`dA`$** en coordenadas cartesianas son :<br>
[FR] Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dA`$** en coordonnées cartésiennes sont :<br>
[EN] According to the chosen direction, the **scalar surface elements $`dA`$** in Cartesian coordinates are :

$`dA_{\rho\varphi}=dl_{\rho}\;dl\varphi=d\rho\cdot\rho\;d\varphi\quad`$, $`\quad dA_{\rho z}=dl_{\rho}\;dlz=d\rho\;dz\quad`$, $`\quad dA_{\varphi z}=dl_{\varphi}\;dlz=\rho\,d\varphi\;dz`$

http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-07.<br>
[ES] y los **elementos vectoriales de superficie $`\overrightarrow{dA}`$** correspondiente son :<br>
[FR] et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dA}`$** correspondants sont :<br>
[EN] and the corresponding **vector surface elements $`\overrightarrow{dA}`$** are :


$`d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}\land d\overrightarrow{OM}_{\varphi}`$
$`=\overrightarrow{dl_{\rho}}\land\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
$`= (dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})\land(dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})`$
$`=dl_{\rho}\;dl_{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$
$`=d\rho\;\rho\,d{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$<br>
<br>$`d\overrightarrow{A_{\varphi z}}=d\overrightarrow{OM}_{\varphi}\land d\overrightarrow{OM}_z`$
$`=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\land\overrightarrow{dl_z}`$
$`= (dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})\land (dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$
$`=dl_{\varphi}\;dl_z\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$
$`=\rho\,d\varphi\;dz\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$<br>
<br>$`d\overrightarrow{A_{z \rho}}=d\overrightarrow{OM}_z\land d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$
$`=\overrightarrow{dl_z}\land\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
$`=(dl_z\;\overrightarrow{e_z})\land(dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})`$
$`=dl_z\;dl_{\rho}\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})`$.
$`=dz\;d\rho\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})`$.

[ES] :

[FR] Base cartésien de référence $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ directe  $`\Longrightarrow`$  base cylindrique $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ directe $`\Longrightarrow`$ :

[EN] : 

$`\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}}=+\,\overrightarrow{e_z}`$
$`\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=+\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})`$.<br>
$`\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_z}=-\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
$`\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=+\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})`$.<br>


[ES] :<br>
[FR] Base cartésien de référence $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ indirecte  $`\Longrightarrow`$  base cylindrique $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ indirecte $`\Longrightarrow`$ :<br>
[EN] : 

$`\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}}=-\,\overrightarrow{e_z}`$.
$`\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=-\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})`$.



