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title : The curl vector
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## EN CONSTRUCTION !

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## Le rotationnel

### Opérateur, vecteur, champ rotationnel

### Intérêt du vecteur rotationnel

La visualisation des lignes d'un champ vectoriel montre parfois qu'au voisinage 
de certains points de l'espace, les lignes semblent tourner autour de ce point 
dans un plan donné.

Exemple : Visualisation du champ vectoriel créé par trois fils rectilignes infinis
parallèles parcourus par des courant stationnaires (stationnaire est l'adjectif 
qui précise "indépendant du temps"), dans un plan perpendiculaires à la direction 
commune de ces trois fils : l'humain repère de suite les 3 points autour desquels
les lignes de champ s'enroulent.

Parfois cette observation d'un mouvement de rotation des lignes de champ autour 
de certains points est peu visible. En effet le champ vectoriel peut être complexe.
Il peut par exemple être la somme de trois champs. Au voisinage d'un point M de 
l'espace, les lignes du premier champ peuvent garder une direction constante,
celles du second champ converger ou diverger à partir de ce point, et celles du 
troisième tourner dans un sens ou dans l'autre autour de ce point dans un plan 
donné passant par M. 

L'extraction et la quantification de l'information "rotation" des lignes d'un champ
vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ au voisinage d'un point M est importante, et sera 
donné par le vecteur $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}`$, $`\overrightarrow{X_M}`$
étant le vecteur particulier au point M du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$.

L'ensemble des vecteurs $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}`$ étendu
à tous les points M de l'espace définit le champ rotationnel
$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ . 

### Définition du vecteur rotationnel

Un champ vectoriel, par définition, s'étend dans les trois directions de l'espace. 
A priori, sauf dans des cas spécifiques très simples, la direction autour de 
laquelle une composante tournante du champ vectoriel est non visible et inconnue.
Je ne peux donc que tester la composante rotation du champ vectoriel 
$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ en un point M 
et autour d'un axe arbitraire représenté par un vecteur unitaire . 

Je considère, dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{n}`$ au point P, 
un contour fermé C entourant le point M. Je choisi comme sens positif de circulation 
sur ce contour C le sens positif conventionnel donné par la règle de la main droite :
si mon pouce tendu indique la direction du vecteur $`\overrightarrow{n}`$, alors
l'orientation de les quatre autres doigts indique le sens positif de rotation. 
La circulation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ le long du contour C s'écrit 

$`\displaystyle\oint_{C} \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}`$

Ce contour C inscrit dans un plan délimite une surface plane d'aire S

$`\displaystyle S = \iint_{S \leftrightarrow C} dS`$

Je diminue maintenant la taille de ce contour entourant le point M, de ce fait la
longueur l du contour C et l'aire S de la surface plane délimitée par C tendent 
toutes deux vers zéro. Par définition, la limite lorsque C tend vers zéro du rapport
"circulation de $`\overrightarrow{X}`$ le long du contour C" par "l'aire S de la 
surface plane délimitée par C" donne la composante dans la direction $`\overrightarrow{n}`$
d'un vecteur appelé rotationnel du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ au point M.
L'écriture mathématique de cette définition est beaucoup plus simple :

$`\displaystyle \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{n}
=\lim_{C \to 0} \: \dfrac{\oint_C \overrightarrow{X} \cdot 
\overrightarrow{dl}}{\iint_{S \leftrightarrow C} dS}\hspace{1 cm}`$ (1)

! *POINT DE DETAIL* :<br>
! Dire qu'un contour C tend vers zéro signifie que le rayon du cercle dans lequel
! s'inscrit du contour C tend vers zéro, la forme du contour restant inchangée.

Ainsi, si le plan dans lequel s'effectue la rotation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$
au voisinage de M est bien le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{n}`$, alors 
le vecteur $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} indique bien la direction 
et le sens de l'axe de rotation au point M. 

En posant

$`\displaystyle d\mathcal{C}_M = \lim_{C \to 0} \: \oint_C \overrightarrow{X}
\cdot \overrightarrow{dl}\hspace{0.5 cm}`$, et $`\displaystyle \hspace{0.5 cm}dS_M = 
\lim_{C \to 0} \: \iint_{S \leftrightarrow C} dS`$    

l'équation (1) se réécrit

$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{n}=
 \dfrac{d\mathcal{C}_M}{dS_M}`$

La circulation infinitésimal autour d'un point M d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$
sur un contour élémentaire orienté perpendiculairement à une direction représentée par un vecteur
unitaire $`\overrightarrow{n}`$ s'écrit

$`d\mathcal{C}_M = (\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}\cdot \overrightarrow{n}
) \ dS_M `$ 

soit encore

$`d\mathcal{C}_M = \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}\cdot \overrightarrow{dS_M}
\hspace{1 cm}`$ (2)

où $`\overrightarrow{dS_M}`$ est le vecteur surface élémentaire, vecteur perpendiculaire
à la surface  élémentaire $`dS_M`$ au point M et de norme égale à l'aire de la surface
élémentaire $`dS_M`$.

Les équations (1) et (2) restant valables en tout point de l'espace, je peux omettre
de préciser le point, et écrire plus simplement 

$`\displaystyle \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{n}
=\lim_{C \to 0} \: \dfrac{\oint_C \overrightarrow{X} \cdot
\overrightarrow{dl}}{\iint_{S \leftrightarrow C} dS}\hspace{1 cm}`$ (3)

$`d\mathcal{C} = \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS}
\hspace{1 cm}`$ (4)

### Expression du vecteur rotationnel en coordonnées cartésiennes

Je repère l'espace avec trois axes orthogonaux $`Ox`$, $`Oy`$ et $`Oz`$ se coupant
en un point origine $`O`$, munie d'une même unité de longueur et décrivant un trièdre
direct. Tout point quelconque M de l'espace est ainsi repéré par ses trois coordonnées
cartésiennes $`(x_M, y_M, z_M)`$ et en M les trois vecteurs unitaires 
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$ associés aux 
coordonnées définissent une base orthonormée directe.

Le vecteur au point quelconque M d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ de 
composantes cartésiennes $`(X_M, Y_M, Z_M)`$  s'écrit

$`\overrightarrow{X_M} = X_M \cdot \overrightarrow{e_x} + Y_M \cdot \overrightarrow{e_y}+
X_M \cdot \overrightarrow{e_z}`$

Je vais tester la circulation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ dans les 
trois directions indiquées par les vecteurs unitaires 
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$. Pour l'étude 
de la composante de $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ selon z (composante 
d'expression mathématique $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{e_z}`$ ),
je choisis dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_z}`$ et passant
par M le contour infinitésimal à l'expression la plus simple : le petit rectangle 
ABCD de côtés parallèles aux vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y}`$,
de centre M et de côtés $`dl_x=dx`$ et $`dl_y=dy`$. J'oriente ce rectangle infinitésimal
ABCD selon la règle de la main droite, le pouce tendu en direction et sens du vecteur
$`\overrightarrow{n}`$. Ainsi, si le vecteur $`\overrightarrow{e_z}`$ pointe vers 
mon oeil, alors le sens d'orientation du rectangle ABCD est le sens trigonométrique
direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).

Je connais l'expression analytique du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$, c'est 
à dire les expressions analytique des composantes. 

Je connais les composantes cartésiennes $`(X_M, Y_M, Z_M)`$ du vecteur $`\overrightarrow{X_M}`$
au point M. Pour établir le champ rotationnel, je dois obtenir une expression analytique
de ce champ en tout point de l'espace. La circulation de  sur ABDC est la somme des circulations
de $`\overrightarrow{X}`$ sur chacune des quatre branches AB, BC, CD et DA. 

Soit la branche AB de centre P et dont l'ensemble des points admettent $`x_M-\dfrac{dx}{2}`$ 
comme coordonnée selon x. L'orientation du rectangle élémentaire impose que le déplacement
élémentaire $`\overrightarrow{dl_{AB}}`$ de A vers b s'écrit

$`\overrightarrow{dl_{AB}}=-dy \cdot \overrightarrow{e_y}`$

Au premier ordre, le vecteur $`\overrightarrow{X_P}`$ au point P est le vecteur moyen 
du champ sur la branche AB, et son expression en fonction des composantes de $`\overrightarrow{X_M}`$
et du déplacement élémentaire pour passer de M en P est

$`\displaystyle \overrightarrow{X_P}=\left[X_M +
\left.\dfrac{\partial X}{\partial x}\right|_M \cdot 
\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$
$`+\left[Y_M + \left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot 
\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$
$`+\left[Z_M + \left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M \cdot 
\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$

Le calcul de la circulation élémentaire de $`\overrightarrow{X}`$ sur la branche 
AB me donne

$`\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= 
\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot 
\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot (-dy)`$

La même démarche appliquée à la branche opposée CD de centre R me donne

$`\overrightarrow{dl_{AB}}=+dy \cdot \overrightarrow{e_y}`$

$`\displaystyle \overrightarrow{X_R}=\left[X_M + 
\left.\dfrac{\partial X}{\partial x}\right|_M \cdot 
\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$
$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot 
\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$
$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M \cdot 
\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$

$`\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= 
\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot 
\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot (+dy)`$

La somme des circulations élémentaires sur les branches AB et CD se simplifie

$`\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ 
\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= 
dx \cdot dy \cdot \left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \hspace{1 cm}`$ (5)

Le travail équivalent sur les branches BC de centre Q, et DA de centre S donne

$`\overrightarrow{dl_{BC}}=+dx \cdot \overrightarrow{e_x}`$ ,           

$`\displaystyle \overrightarrow{X_Q}=\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot 
\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$
$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial y}\right|_M \cdot 
\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$
$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M \cdot 
\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$ ,

$`\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_Q}= 
\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot 
\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot (+dx)`$ ,

$`\overrightarrow{dl_{DA}}=-dx \cdot \overrightarrow{e_x}`$ ,

$`\displaystyle \overrightarrow{X_S}=
\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot 
\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$
$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial y}\right|_M \cdot 
\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$
$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M \cdot 
\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$

ce qui conduit à

$`\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_Q}+ 
\overrightarrow{dl_{DA}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_S}= - dx \cdot dy \cdot 
\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M\hspace{1 cm}`$(6)

J'obtiens maintenant, en additionnant les deux équations (5) et (6) membre à membre,
l'expression de la circulation élémentaire du champ vectoriel  sur le rectangle ABCD
perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_z}`$ :

$`\displaystyle d\mathcal{C}_M = \lim_{ABCD \to 0} \: \oint_{ABCD} \overrightarrow{X}
\cdot \overrightarrow{dl}`$
$`=\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ 
\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ 
\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ 
\overrightarrow{dl_{DA}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}`$
$`= \left(\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M -
\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M\right)\cdot dxdy `$


La surface élémentaire de ce rectangle ABCD élémentaire étant simplement $`dxdy`$,
je peux maintenant calculer la composante selon  du vecteur rotationnel du champ 
vectoriel au point M. En reprenant la définition (1), j'obtiens

 

$`\displaystyle \overrightarrow{rot} \; \overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_z} = 
\lim_{C \to 0} \; \dfrac{\oint_{ABCD} \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}}{\iint_{ABCD} dS}`$
$`=\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M -\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M`$

 
Je peux reprendre la totalité du raisonnement précédent appliqué à des rectangles
élémentaires perpendiculaires respectivement aux vecteurs  et , et j'obtiendrai
 
$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_x}=
\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M -\left.\dfrac{\partial Y}{\partial z}\right|_M`$

$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_y}=
\left.\dfrac{\partial X}{\partial z}\right|_M -\left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M`$



