---
title: Coordenadas cilíndricas
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!!!! *CURSO EN CONSTRUCCIÓN :* <br>
!!!! Publicado pero invisible: no aparece en la estructura de árbol del sitio m3p2.com. Este curso está *en construcción*, *no está aprobado por el equipo pedagógico* en esta etapa. <br>
!!!! Documento de trabajo destinado únicamente al equipo pedagógico.

<!--MetaDato : INS 1°année -->

<!-- Partie principale $`\longleftarrow`$ Coordonnées cylindriques N3 -->

---------------------------------

<!--travail commun :
https://gitlab.m3p2.com/m3p2/courses/blob/master/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/20.reference-frames-coordinate-systems/textbook.es.md
-->


! *Método propuesto :*
!
!Cada uno en su propio idioma adapta con sus propias palabras, sus propias frases, 
! el contenido de los pequeños elementos numerados de las lecciones desarrolladas en conjunto.
! Así que no es una traducción palabra por palabra, pero los elementos del curso son pequeños 
! y hay una gran correspondencia en el contenido. Realmente podemos mostrar los cursos en paralelo 
! en 2 o los 3 idiomas, realmente tiene sentido para el estudiante.
! Si usamos diferentes notaciones matemáticas en los 3 idiomas, cada idioma mantiene 
! su notación. La visualización del curso en modo "intercambio" permite al alumno comparar 
! vocabulario y notaciones matemáticas.
!
! Para esta parte "principal" del curso, esto da, por ejemplo:


### Las coordenadas cilíndricas

#### Definición de las coordenadas y dominios de definición

! Por ejemplo, este elemento del curso denota CS300 :

* *CS300* :  

Marco de referencia: sistema de coordenadas cartesianas  $`(O,x,y,z)`$

\- 1 punto $`O`$ origen del espacio.<br>
\- 3 ejes llamados $`Ox,Oy,Oz`$, que se cruzan en $`O`$, ortogonales 2 a 2.<br>
\- 1 unidad de longitud.<br>

! puede dar :

Las coordenadas cilíndricas se ordenan y anotan $`(\rho, \varphi, z)`$.

Para cualquier punto $`M`$ en el espacio:

\- La $`\rho_M`$ coordenada del punto $`M`$ es la distancia no algebraica $`Om_ {xy}`$
entre el punto $`O`$ y el punto $`m_ {xy}`$. <br>
\- La coordenada $`\varphi_M`$ del punto $`M`$ es el ángulo no algebraico $`\widehat{xOm_{xy}}`$
entre el eje $`Ox`$ y la media línea $`Om_{xy}`$,
la dirección de rotación es tal que el trihedro $`(Ox,Om_{xy},Oz)`$ es un trihedro directo.<br>
\- La coordenada $`z_M`$ del punto $`M`$ es la distancia algebraica $`\overline{Om_z}`$ entre
el punto $`O`$ y el punto $`m_z`$.

El mismo punto $`M`$ ubicado en $`z_M`$ sobre el eje $`Oz`$ puede ser representado 
por cualquier triplete $`(z_M,0,\varphi)`$ donde $`\varphi`$ puede tomar todos
los valores posibles. Por convención, el valor $`\varphi`$ se establece en 0, y las 
coordenadas cilíndricas de cualquier punto $`M`$ ubicado
en $`z_M`$ en el $`Oz`$ eje será $`(z_M,0,0)`$.

! y continuamos con la secuencia de elementos del curso decidida conjuntamente:

---------------------

* *CS310* :  

Coordenadas cilíndricas $`(\rho,\varphi,z)`$ :

\- Cualquier punto $`M`$ en el espacio se proyecta ortogonalmente sobre el plano $`xOy`$ que conduce al punto $`m_{xy}`$,
y en el eje $`Oz`$ que conduce al punto $`m_z`$.

\- La coordenada $`\rho_M`$ del punto $`M`$ es la distancia no algebraica $`Om_{xy}`$
entre el punto $`O`$ y el punto $`m_{xy}`$. <br>
\- La coordenada $`\varphi_M`$ del punto $`M`$ es el ángulo no algebraico $`\widehat{xOm_ {xy}}`$
entre el eje $`Ox`$ y el media línea $`Om_{xy}`$,
la dirección de rotación es tal que el trihedro $`(Ox,Om_{xy},Oz)`$ es un trihedro directo. <br>
\- La coordenada $`z_M`$ del punto $`M`$ es la distancia algebraica $`\overline{Om_z}`$ entre el punto $`O`$ y el punto $`m_z`$.


*$`\rho_M=\overline{Om_{xy}}`$ , $`\varphi_M=\widehat{xOm_y}`$ , $`z_M=Om_z`$*

--------------------

* *CS320*

*Nota :* Las dos primeras coordenadas cilíndricas de un punto $`M`$ son las coordenadas polares del punto $`m_ {xy}`$
en el plano $`xOy`$ ($`z = 0`$ plano). También son las coordenadas polares del punto $`M`$ en el plano $`z = z_M`$.

\- Las coordenadas $`\rho`$ y $`z`$ son longitudes, cuya unidad SI es el metro, con el símbolo $`m`$. <Br >
\- La coordenada $`\varphi`$ es un ángulo, cuya unidad S.I. es el radianes, del símbolo $`rad`$.

*Unidades S.I. : $`\rho\;(m)`$ , $`\varphi\;(rad)`$ , $`z\;(m)`$*

--------------------

* *CS330*

\- Cualquier punto $`M`$ en el espacio, excepto el punto de origen $`O`$, se identifica unívocamente 
por un y solo un triplete formado por sus 3 coordenadas cilíndricas. <br>
\- En el punto de origen $`O`$ se asignan las coordenadas cilíndricas $`(0, 0, 0)`$.

\- Escribimos $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$

\- Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify :

$`M(\rho,\varphi,z)`$, **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z)}`$**

------------------

* *CS340*

\- Todo el espacio está cubierto por las coordenadas cilíndricas que varían de forma independiente en los dominios
$`\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[`$, $`\varphi\in[0,2\pi[`$ et $`z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[`$.

*$`\mathbf{\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[}`$, $`\mathbf{ \varphi\in[0,2\pi[}`$, $`\mathbf{ z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty[}`$*


--------------

* *CS350*

! <details markdown=1>
! <summary>
! Notaciones sobre los conjuntos de los números reales
! </summary>
! * el símbolo $`\infty`$ designa el infinito.
! * $`\mathbb{R}`$ : conjunto de los números reales :
! $`\mathbb{R}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\}\;=\;]-\infty , +\infty\,[`$.
! * $`\mathbb{R}^{*}`$ : conjunto de los números reales distintos de cero : 
! $`\mathbb{R}^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x\ne 0\}\; = \; ]-\infty , 0\,[ \;\cup\; ]\,0 , + \infty\,[`$.
! * $`\mathbb{R}_+`$ : conjunto de los números reales positivos : 
! $`\mathbb{R}_+\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \ge 0\}\; = \; [\,0 , + \infty\,[`$.
! * $`\mathbb{R}_+`$ : conjunto de los números reales negativos : 
! $`\mathbb{R}_+\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \ge 0\}\; = \; ]-\infty , 0\,]`$.
! * $`\mathbb{R}_+^{*}`$ : conjunto de los números reales positivos distintos de cero : 
! $`\mathbb{R}_+^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x \le 0\}\; = \; ]\,0 , + \infty\,[ `$.
! * $`\mathbb{R}_{-}^{*}`$ : conjunto de los números reales negativos distintos de cero : 
! $`\mathbb{R}_{-}^{*}\; = \; \{x\in\mathbb{R}\,|\,x > 0\,]\;= \; ]-\infty , 0\,[ `$.
!
!    --------
! * {...} indica un conjunto de elementos.
! * la lista, texto o expresión lógica ... especifica los elementos del conjunto.
! * podemos darle un nombre al conjunto: ejemplo: A = {...}.
! * el símbolo " $`|`$ " significa "tal que". Ejemplo :<br>
!    $`\{x\in\mathbb{R} | x \lt 0\}`$ designa el conjunto de los números reales x, tales que $`x \lt 0`$.
!
!   -------
!  Los intervalos por el ejemplo :
! * $` [2 , 3] `$ : rango de los números reales entre 2 y 3, incluyéndose 2 y 3.
! * $` ]2 , 3[ `$ : rango de los números reales entre 2 y 3, excluyéndose 2 y 3.
! * $` [2 , 3[ `$ : rango de los números reales entre 2 y 3, se incluye 2 y 3 se excluye.
! * $` ]2 , 3 ]`$ : rango de números reales entre 2 y 3, se excluye 2 y se incluye 3.
! * utiliza la noción matemática de límite.
! * El infinito siempre está excluido, nunca podemos alcanzarlo, no se puede incluir :<br>
! $`]-\infty`$ y no $`\require{cancel}\xcancel{[-\infty}`$ , $`+\infty[`$ y no $`\require{cancel}\xcancel{+\infty]}`$
!
! </details>

<!--
Las coordenadas cilíndricas se escriben / les coordonnées cylindriques s'écrivent / The cylindrical coordinates write :

$`(\rho, \varphi, z)`$ , **$`\mathbf{(\rho, \varphi, z)}`$**

con / avec /with :

$`\rho\in [0;\infty[`$,  $`\varphi\in [0;2\pi[`$ et $`z \in [-\infty;\infty[`$ , 

**$`\mathbf{ \rho\in [0;\infty[}`$  ,  $`\mathbf{\varphi\in [0;2\pi[}`$  ,  $`\mathbf{z \in [-\infty;\infty[ }`$** 

Coordenadas cilíndricas de un punto $`M`$ /coordonnées cylindriques  d'un point $`M`$ / cylindrical  coordinates of a point $`M`$ :

$`(\rho_M, \varphi_M, z_M)`$,

Escribimos / on écrit / we write :

$`M(\rho_M, \varphi_M, z_M)`$

Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify :

$`M(\rho, \varphi, z)`$ , **$`\mathbf{M(\rho, \varphi, z)}`$** -->


#### Base vectorial cilíndrica y referencia espacial asociada

##### Variación de una coordenada y la longitud del camino asociado

* *CS360* 

[ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ varía
continuamente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+\Delta \rho`$, el punto $`M`$ recorre un segmento
de longitud $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Cuando $`\Delta \rho`$ 
tiende a $`0`$, la longitud infinitesimal $`dl_{\rho}`$ recorrida para el punto $`M`$ 
es :

[FR] Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ varie de façon 
continue entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+\Delta \rho`$, le point $`M`$ parcourt un sègment
de droite de longueur $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Lorsque $`\Delta \rho`$ tend vers $`0`$,
la longueur infinitésimale $`dl_{\rho}`$ parcourue pour le point $`M`$ est :

[EN] When only the $`\rho`$ coordinate of a point $`M(\rho, \varphi, z)`$ varies
continuously between the values $`\rho`$ and $`\rho+\Delta \rho`$, the point $`M`$ covers
a line segment of length $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. When $`\Delta \rho`$ tends
towards $`0`$, the infinitesimal length $`dl_{\rho}`$ covered by the point $`M`$ is :

$`\displaystyle d\rho=\lim_{\Delta \rho\rightarrow 0 \\ \Delta \rho>0} \Delta \rho`$
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\rho}=d\rho`$, **$`\mathbf{dl_{\rho}=d\rho}`$**.

tambien / de même / similarly : $`dl_z=dz`$ , , **$`\mathbf{dl_z=dz}`$**.

[ES] Cuando solo la coordenada $`\varphi`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ varía
continuamente entre los valores $`\varphi`$ y $`\varphi +\Delta \varphi`$, el punto $`M`$ 
recorre un arco de circulo
de longitud $`\Delta l_{\varphi}=\rho\:\Delta \varphi`$. Cuando $`\Delta \varphi`$ 
tiende a $`0`$, la longitud infinitesimal $`dl_{\varphi}`$ recorrida para el punto $`M`$ 
es :

[FR] Lorsque seule la coordonnées $`\varphi`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ varie de façon 
continue entre les valeurs $`\varphi`$ et $`\varphi +\Delta \varphi`$, le point $`M`$ parcourt un 
arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\varphi}=\rho\;\Delta \varphi`$. Lorsque $`\Delta \varphi`$ tend vers $`0`$,
la longueur infinitésimale $`dl_{\varphi}`$ parcourue pour le point $`M`$ est :

[EN] When only the $`\varphi`$ coordinate of a point $`M(\rho, \varphi, z)`$ varies
continuously between the values $`\varphi`$ and $`\varphi+\Delta \varphi`$, the point $`M`$ covers
an arc of circle of length $`\Delta l_{\varphi}=\rho\,\Delta \varphi`$. When $`\Delta \varphi`$ tends
towards $`0`$, the infinitesimal length $`dl_{\varphi}`$ covered by the point $`M`$ is :

$`\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi`$
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi`$ , , **$`\mathbf{dl_{\varphi}=\rho\,d\varphi}`$**.

------------

* *CS370* : 

[ES] elemento escalar de línea :<br>
[FR] élément scalaire de longueur :<br>
[EN] scalar line element :

<br>$`dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}`$ , **$`\mathbf{dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}}`$**

##### Base vectorial cilíndrica

* *CS380*

[ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ aumenta
infinitesimalmente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$)
para llegar al punto $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, el vector de desplazamiento
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ del punto $`M`$ es el vector 
tangente a la trayectoria en el punto $`M`$, dirigido en la dirección del movimiento,
que se escribe :

[FR] Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ s'accroît de façon 
infinitésimale entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$)
pour atteindre le point $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, le vecteur déplacement 
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ du point $`M`$ est le vecteur
tangent à la trajectoire au point $`M`$, dirigé dans le sens du mouvement, qui s'écrit :

[EN] When only the $`\rho`$ coordinate of a point $`M(x,y,z)`$ increases infinitesimally between
the values $`\rho`$ and $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) to reach the point
$`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, the displacement vector
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ of the point $`M`$ is the 
tangent vector to the trajectory at point $`M`$ oriented in the direction of the movement. It writes :

$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot d\rho`$

[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria  $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (que indica la dirección y el sentido
de desplazamiento del punto $`M`$ cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada $`\rho`$ se escribe:

[FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (qui indique la direction et le sens 
de déplacement du point $`M`$ lorsque seule la coordonnée $`\rho`$ croît de façon infinitésimale) s'écrit :

[EN] The unit vector tangent to the trajectory  $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$  (which indicates the direction of displacement 
of the point $`M`$ when only the coordinate $`\rho`$ increases in an infinitesimal way) writes :

$`\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}||}`$

tambien / de même / similarly :

$`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \varphi}\cdot d\varphi`$,
$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}||}`$<br>
$`d\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$,
$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$

--------------------

* *CS390*

[ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
se escribe :

[FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ s'écrit :

[EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ writes :

$`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}
=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**

tambien / de même / similarly :

$`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ ,
**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}}`$**

[ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ 
es el elemento escalar de linea $`dl_{\varphi}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ 
se escribe :

[FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ 
est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit :

[EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$ 
is the scalar line element $`dl_{\varphi}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ writes :

$`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}
=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ , 
**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\varphi}}=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**

-------------------------

* *CS400*

[ES] El **elemento vectorial de línea** o ?? $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en coordenadas cilíndricas es
el vector de desplazamiento del punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ al punto $`M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)`$ cuando 
las coordenadas varían infinitesimalmente de $`d\rho`$, $`d\varphi`$ y $`dz`$, y se escribe :

[FR] L'**élément vectoriel d'arc** ou vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en 
coordonnées cylindriques est le vecteur déplacement du point $`M(\rho, \varphi, z)`$ au point
$`M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)`$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des quantités
$`d\rho`$, $`d\varphi`$ et $`dz`$, et il s'écrit :

[EN] The **vector line element** or vector path element $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ 
in Cylindrical coordinates is the displacement vector from point $`M(\rho, \varphi, z)`$ to point 
$`M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)`$ when the coordinates vary infinitesimally in quantities 
$`d\rho`$, $`d\varphi`$ and $`dz`$,
and it writes :

$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$
$`=d\overrightarrow{OM}_{\rho}+d\overrightarrow{OM}_{\varphi}+d\overrightarrow{OM}_z`$
$`=\overrightarrow{dl_{\rho}}+\overrightarrow{dl_{\varphi}}+\overrightarrow{dl_z}`$
$`=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$
$`=d\rho\;\overrightarrow{e_x}+\rho\;d\varphi\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$

**$`\mathbf{d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dl}}`$**
**$`\mathbf{=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}}`$**
**$`\mathbf{=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}+\rho\;dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dz\;\overrightarrow{e_z}}`$**

[ES] y su norma es el elemento scalar de linea :<br>
[FR] et sa norme el l'élément de longueur :<br>
[EN] y its norm (or length) is thescalar line element :

$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{dl_x^2+dl_y^2+dl_z^2}=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$

$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{\overrightarrow{dl}\cdot\overrightarrow{dl}}`$
$`=\left[(dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\cdot
(dl_x\;\overrightarrow{e_x}\right.`$
$`\left.+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$
$`=\left[(dl_x)^2\;(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_x})\right.`$
$`+(dl_y)^2\;(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_y})`$
$`+(dl_z)^2\;(\overrightarrow{e_z}\cdot\overrightarrow{e_z})`$
$`+(2\,dl_x\,dl_y)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_y})`$
$`+(2\,dl_x\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_z})`$
$`\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$
$`=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}`$
$`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$

-------------------------------

* *CS410*
 
[ES] Los vectores $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
forman una **base ortonormal** del espacio. La base
$`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ 
es la base asociada a las coordenadas cilíndricas. En coordenadas cilíndricas, los vectores
de base asociadas cambian de direcciónes cuando el punto $`M`$ se mueve.

[FR] Les vecteurs $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cylindriques.
En coordonnées cylindriques, les vecteurs de base associés 
changent de direction lorsque le point $`M`$ se déplace.

[EN] The vectors $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
form an **orthonormal basis** of space. It is the base associated with cylindrical coordinates.
In cylindrical coordinates, the base vectors change of direction when the point $`M`$ moves.

$`||\overrightarrow{e_{\rho}}||=||\overrightarrow{e_{\varphi}}||=||\overrightarrow{e_z}||=1`$<br>
$`\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}\perp\overrightarrow{e_z}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_z}`$

$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartesiana *directa* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ base cilíndrica asociada *directa*.
<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartésienne *directe* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ base cylindrique associée *directe*.
<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* Cartesian base $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* associated cylindrical base.

$`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ 
base ortogonal dependiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale dépendante
de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$.

##### Los elementos vectoriales de línea
[terminología estandarizada](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-02)

* *CS420*

$`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow{e_{\rho}} = \overrightarrow{e_{\rho}}(t) \\
\overrightarrow{e_{\varphi}}  = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\
\overrightarrow{e_z}  = \overrightarrow{cst} \\
\end{array} \right.`$

-----------------------

* *CS430*

Método 1 para el cálculo de / Méthode 1 pour le calcul de / Method 1 for the calculation of :<br>
$`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$. 

$`\overrightarrow{e_z}=\overrightarrow{cst}\Longrightarrow\dfrac{d e_z}{dt}=0`$ 


$`\overrightarrow{e_\rho}(t)=cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$<br>
<br>$`\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=- sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$

en la base cartesiana / dans la base cartésienne / in the Cartesian base
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ :

$`\overrightarrow{e_{\rho}}(t)=
\left| \begin{array}{l}
cos\,\varphi(t) \\
sin\,\varphi(t) \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$ , 
$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=
\left|\begin{array}{l}
-\,sin\,\varphi(t) \\
cos\,\varphi(t) \\
0 \\
\end{array}\right.`$ 

[ES] ? En el marco de referencia $`\mathcal{R}(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ del observador, es decir cuando la origen del espacio $`O`$ es fija y los tres vectores base verifican

[FR] Dans le référentiel $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ est fixe, donc tel que l'origine $`O`$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient 

[EN] In the reference frame $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ of the observer, i.e.when the origin $`O`$ is fixed and the three base vectors satisfy 

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=0`$ :

recordando / en se rappelant / reminding : $`(fg)'=f'g+fg'`$  

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=
\left| \begin{array}{l}
cos\,\varphi(t) \,]\\
sin\,\varphi(t)\, ] \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`\quad =
\left| \begin{array}{l}
\dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\
\\
\dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\
\\
\dfrac{d\,0}{dt} \\
\end{array} \right.\quad`$

y recordando / et en se rappelant / and reminding : $`(f \circ g)'=(f' \circ g)\,g'`$ , 

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=
\left| \begin{array}{l}
-\;sin\,\varphi  \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\
\\
cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\
\\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`=\dfrac{d\varphi}{dt}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$

**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**

tambien / de même / similarly :

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=
\left| \begin{array}{l}
\dfrac{d\,[-\,sin\,\varphi(t)]}{dt} \\
\\
\dfrac{d\cos\,\varphi(t)}{dt} \\
\\
\dfrac{d\;0}{dt} \\
\end{array} \right.\quad`$
$`\quad=
\left| \begin{array}{l}
-\,cos\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\
-\,sin\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$

**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$**<br>

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* *CS440*

Método 2 para el cálculo de / Méthode 2 pour le calcul de / Method 2 for the calculation of :<br>
$`\dfrac{d e_{\rho}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ 

$`\overrightarrow{e_{\rho}}=cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
$`\;+\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;0\;\overrightarrow{e_z}`$
$`=\overrightarrow{e_{\rho}}(\varphi)`$<br>
$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}\;+\;0\;\overrightarrow{e_z}`$
$`=\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\varphi)`$

$`\overrightarrow{e_{\rho}}=\overrightarrow{e_{\rho}}(\varphi)`$ et 
$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\varphi)`$
$`\quad\Longrightarrow\quad`$ pour une variation  infinitésimale $`d\varphi`$, $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ varient de :

$`d\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\cdot d\varphi`$ <br>
$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\cdot d\varphi`$

con / avec / with

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}=
\left|\begin{array}{l}
\dfrac{d\;cos\,\varphi}{d\varphi} \\
\\
\dfrac{d\;sin\,\varphi}{d\varphi} \\ 
\\
\dfrac{d\;0}{d\varphi} \\
\end{array} \right.\quad`$ 
$`=\left|\begin{array}{l}
-\,sin\,\varphi \\
cos\,\varphi \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`=\overrightarrow{e_{\varphi}}`$

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}=
\left|\begin{array}{l}
\dfrac{d\;(-\,sin\,\varphi}{d\varphi} \\
\\
\dfrac{d\;cos\,\varphi}{d\varphi} \\ 
\\
\dfrac{d\;0}{d\varphi} \\
\end{array} \right.\quad`$ 
$`=\left|\begin{array}{l}
-\,cos\,\varphi \\
-\,sin\,\varphi \\
0 \\
\end{array} \right.\quad`$
$`=-\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$

$`\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad`$ pour unè variation infinitésimale  $`dt`$ , $`\varphi`$ varie de :

$`d\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$

$`\Longrightarrow\quad`$ pour une variation infinitésimale  $`dt`$, $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ varient de :

$`d\overrightarrow{e_{\rho}}\quad=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$$\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot \dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot
\overrightarrow{e_{\varphi}}`$

$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
$\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot \dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\quad=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot
\overrightarrow{e_{\rho}}`$

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}=\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot
\overrightarrow{e_{\varphi}}`$

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot
\overrightarrow{e_{\rho}}`$

$`\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=\overrightarrow{0}`$

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* *CS450* 

[ES] En la mecánica clásica, las interacciones entre cuerpos materiales se traducen en términos de fuerza $`\vec{F}`$ y conducen a una aceleración $`\vec{a}`$ de cada cuerpo en interacción proporcional a la inversa de su masa de inercia $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (o $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , ver capítulo mecánico). Como el vector de aceleración es la segunda derivada temporal del vector de posición, es posible que necesitemos conocer la segunda derivada  temporal de los vectores base para el estudio del movimiento.

[FR] En mécanique classique, les interactions entre les corps matériels se traduisent en terme de force $`\vec{F}`$, et conduisent à une accélération $`\vec{a}`$ de chaque corps en interaction proportionnelle à l'inverse de sa masse d'inertie  $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (ou $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , voir chapitre mécanique). Dans l'étude du mouvement, nous aurons besoin d'étendre l'étude à la dérivée seconde des vecteurs de base. Comme le vecteur accélaration est la dérivée seconde du vecteur position, nous pourrions avoir besoin de connaître la dérivée seconde par rapport au temps des vecteurs de base pour l'étude du mouvement.

[EN] In classical mechanics, the interactions between material bodies are expressed in terms of force $`\vec{F}`$ , and lead to an acceleration of each interacting body proportional to the inverse of its mass of inertia  $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (or $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , see mechanical chapter). As the acceleration vector is the second time derivative of the position vector, when studying the motion we might need to know the second time derivative of the base vectors.

$`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt^2}\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}\right)\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\right)`$
$`\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\varphi}{dt}\right)\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\,
+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\dfrac{d}{dt}\left(\overrightarrow{e_{\varphi}}\right)`$

$`\quad=\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot
\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}`$$`\quad=\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \left( -\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot e_{\rho}\right) `$
$`\quad=\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\rho}`$

**$`\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt^2}=-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\rho}\,+\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**

[ES] ¡Atención! No confunda $`\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}`$ y $`\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 `$ (dar un ejemplo).

[FR] Attention ! Ne pas confondre $`\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}`$ et $`\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 `$ (donner un exemple).

[EN] Look out ! Do not confuse $`\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}`$ and $`\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 `$ (give an example).


$`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt^2}\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}\right)\quad=\dfrac{d}{dt}\left(-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}\right)`$
$`\quad=-\,\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right) \cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,- \,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \dfrac{d}{dt} \left( \overrightarrow{e_{\rho}} \right)`$
$`\quad=-\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2} \cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\, \dfrac{d\varphi}{dt} \cdot
\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}`$
$`\quad=-\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2} \cdot \overrightarrow{e_{\rho}}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot \left( \dfrac{d\varphi}{dt} \cdot e_{\varphi} \right) `$
$`\quad=-\,\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\varphi}`$

**$`\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt^2}
=-\,\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\rho}} \,-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\varphi}}`$**


$`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2} \quad = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\,\overrightarrow{e_z}}{dt} \right) \quad = \dfrac{d\,\overrightarrow{0}}{dt} \quad = \overrightarrow{0}`$

**$`\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2}=\overrightarrow{0}}`$**

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* *CS460*

[ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ 
se escribe :

[FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ s'écrit :

[EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ 
is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ writes :

$`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}
=\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$

tambien / de même / similarly :

$`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$

[ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ 
es el elemento escalar de linea $`dl_{\varphi}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ 
se escribe :

[FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ 
est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit :

[EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$ 
is the scalar line element $`dl_{\varphi}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ writes :

$`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}
=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$

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* *CS470*

[ES] Los 3 vectores $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
$`\quad d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ y
$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ son 2 a 2 ortogonales.

[FR] Les 3 vecteurs $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
$`\quad d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ et
$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2.

[EN] The 3 vectors $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
$`\quad d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ and
$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ are 2 to 2 orthogonal.

$`\Longrightarrow`$ :

[ES] ¡Atención! El área de un elemento de superficie construido por 2 de estos vectores 
no es el producto de sus normas. Tambien el volumen definido 
por estos 3 vectores no será simplemente el producto de sus normas.

[FR] Attention ! L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs n'est'
pas le produit de leurs normes. Et le volume définit par ces 3 vecteurs 
n'est le produit de leurs normes.

[EN] Warning! The area of a surface element constructed by 2 of these vectors is not 
the product of their norms. And the volume defined by these 3 vectors is not the product 
of their norms.

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* *CS480*

http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-06.

[ES] Según la dirección elegida, los **elementos escalares de superficie $`dA`$** en coordenadas cartesianas son :<br>
[FR] Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dA`$** en coordonnées cartésiennes sont :<br>
[EN] According to the chosen direction, the **scalar surface elements $`dA`$** in Cartesian coordinates are :

$`dA_{\rho\varphi}=dl_{\rho}\;dl\varphi=d\rho\cdot\rho\;d\varphi\quad`$, $`\quad dA_{\rho z}=dl_{\rho}\;dlz=d\rho\;dz\quad`$, $`\quad dA_{\varphi z}=dl_{\varphi}\;dlz=\rho\,d\varphi\;dz`$

http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-07.<br>
[ES] y los **elementos vectoriales de superficie $`\overrightarrow{dA}`$** correspondiente son :<br>
[FR] et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dA}`$** correspondants sont :<br>
[EN] and the corresponding **vector surface elements $`\overrightarrow{dA}`$** are :


$`d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}\land d\overrightarrow{OM}_{\varphi}`$
$`=\overrightarrow{dl_{\rho}}\land\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
$`= (dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})\land(dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})`$
$`=dl_{\rho}\;dl_{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$
$`=d\rho\;\rho\,d{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$<br>
<br>$`d\overrightarrow{A_{\varphi z}}=d\overrightarrow{OM}_{\varphi}\land d\overrightarrow{OM}_z`$
$`=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\land\overrightarrow{dl_z}`$
$`= (dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})\land (dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$
$`=dl_{\varphi}\;dl_z\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$
$`=\rho\,d\varphi\;dz\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$<br>
<br>$`d\overrightarrow{A_{z \rho}}=d\overrightarrow{OM}_z\land d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$
$`=\overrightarrow{dl_z}\land\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
$`=(dl_z\;\overrightarrow{e_z})\land(dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})`$
$`=dl_z\;dl_{\rho}\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})`$.
$`=dz\;d\rho\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})`$.

[ES] :

[FR] Base cartésien de référence $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ directe  $`\Longrightarrow`$  base cylindrique $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ directe $`\Longrightarrow`$ :

[EN] : 

$`\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}}=+\,\overrightarrow{e_z}`$
$`\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=+\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})`$.<br>
$`\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_z}=-\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
$`\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=+\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})`$.<br>


[ES] :<br>
[FR] Base cartésien de référence $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ indirecte  $`\Longrightarrow`$  base cylindrique $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ indirecte $`\Longrightarrow`$ :<br>
[EN] : 

$`\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}}=-\,\overrightarrow{e_z}`$.
$`\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=-\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,\overrightarrow{e_z})`$.

