---
title: Le principe de Fermat T
published: false
routable: false
visible: false
---

!!!! *COURS EN CONSTRUCTION !*
!!!!
!!!! Très imparfait et non validé par l'équipe pédagogique

------------


##### L'indice de réfraction


 la lumière se propage dans le vide à la vitesse de $c=300 000\;km.s^{-1}=3\cdot10^8\;m.s^{-1}$, et se propage en ligne droite dans tout milieu transparent homogène et isotrope. Cependant, <ins>en passant d'un milieu à un autre, je peux observer que la lumière change de direction à l'interface entre les deux milieux : c'est le phénomène de </ins><strong>réfraction de la lumière </strong> à l'interface entre les deux milieux.
<ul class="list">
<li>Il me suffit de placer une petite cuillère dans un verre d'eau, pour constater que la cuillère semble au mieux tordue, au pire brisée, à l'interface eau/air. Du fait que cette impression ne soit qu'une illusion (l'eau n'agit pas sur la forme de la cuillère), je dois admettre que ce phénomène est incompatible avec une trajectoire de la lumière qui suivrait une même ligne droite à la traversée de l'interface. Dans le cas contraire, si l'interface eau/air situé entre la partie immergée de la cuillère et mon oeil ne modifiait pas la direction des rayons lumineux, je ne verrais aucune différence, que la cuillère soit totalement dans l'air ou partiellement immergée. Il doit y avoir, il y a un changement de direction de la lumière à la traversée de l'interface.</li>
<br>
<li>je peux dupliquer l'expérience, en prenant deux verres d'eau identiques, et en placant dans chacun d'eux un crayon identique dans la même position (l'effet est plus facilement mis en évidence avec la forme simple et parfaitement rectiligne d'un crayon, qu'avec la forme plus complexe d'une cuillère), j'observe la même brisure du crayon à l'interface dans les deux cas. Si maintenant je dissous une grande quantité de sucre (jusqu'à la limite de saturation) dans l'eau de l'un des verres, alors je remarque que la brisure devient plus prononcée. Ainsi l'effet dépend des milieux en présence de part et d'autre de l'interface, et non seulement de la présence d'une interface indépendamment des milieux qu'elle sépare. Ainsi différents milieux transparents interagissent différemment avec la lumière. De quelle façon des milieux transparents tels que l'eau pure ou l'eau fortement sucrée peuvent-ils interagir avec la lumière?</li>
</ul>

Le phénomène de réfraction peut être expliquer quantitativement dans le cadre du principe de Fermat, si je considère que la vitesse de la lumière change selon le milieu de propagation.

<ul class="exemple">
<li>Foucault en 1850 a déterminé expérimentalement la vitesse de la lumière dans l'eau et dans l'air, et a trouvé que la vitesse dans l'eau était inférieur à celle mesurée dans l'air. De plus, les valeurs permettent de calculer les corrects angles de réfraction en utilisant le principe de Fermat.</li>
</ul> 

la vitesse de la lumière dans différents milieux apparait ainsi comme une quantité importante, qui est à l'origine de toutes les caractéristiques (grandissement, grossissement, aberrations, dispersion, ...) de tous les systèmes optiques utilisant des lentilles ou des primes. Parce que la vitesse de la lumière dans le vide est une constante fondamentale de la nature et qu'elle intervient dans un grand nombre de domaines de la physique, il est sensé de vouloir exprimer la vitesse de la lumière dans tout milieu relativement à sa valeur dans le vide : cela est réalisé avec l'indice de réfraction.

L'<strong>indice de réfraction </strong>, noté <strong>$n$</strong>, est défini comme le <ins> rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide $c$ et celle dans le milieu considéré $v$</ins> :
<strong>$n\;=\;\frac{c}{v}$</strong>
L'indice de réfraction étant le rapport de deux vitesse, c'est <strong>une grandeur physique sans dimension</strong>.
Comme la vitesse de la lumière dans tout milieux ne peut être qu'inférieure ou égale à sa valeur dans le vide, l'indice de réfraction est toujours <strong>une quantité supérieure ou égale à 1 :  ($n\ge1$)</strong>

<ul class="list">
<li>Bien sûr, à l'échelle atomique, un milieu matériel n'est ni homogène, ni isotrope. Par ailleurs un matériau est principalement constitué de vide, la taille des noyaux atomiques étant bien inférieure à la distance inter-atomique. Une lumière se propageant à vitesse réduite dans un matériaux transparent homogène est donc une image même si effectivement, quels que soient les mécanismes plus complexes et subtils d'interaction entre l'onde électromagnétique et les charges positives et négatives qui constituent la matière (noyaux positifs et électrons négatifs), le résultat finale est que la vitesse mesurée de la lumière lors de la traversée d'un matériau transparent est inférieure à sa vitesse dans le vide. As the electromagnetic wave possesses some characteristics to which the eye is not sensitive and which you still do not know well (like the polarization of the light), the possible phenomenons are many and the inferred technological possibilities numerous.</li><br>
<li>En modélisant ces mécanismes d'interaction (en utilisant la simple physique de Newton, ou la plus complexe physique quantique), il est possible d'obtenir une valeur complexe de l'indice de réfraction qui varie avec la fréquence de la lumière incidente et dépend des caractéristiques du matériau. Cette valeur complexe de l'indice de réfraction et sa dépendance en fréquence contient toute l'information nécessaire pour comprendre et simuler comme l'onde électromagnétique se comporte à l'interface avec un matériau (comment elle est réfléchie ou réfractée à l'interface) et dans le matériau (comment elle se propage à travers ou est absorbée dans le matériau, et comment le matériau réagit). </li></ul><!--Comme l'onde possède des caractéristiques auxquelles l'oeil n'est pas sensible et que je ne connais pas encore bien (comme la polarisation), les phénomènes possibles liés à la réfraction sont nombreux et les possibilités technologiques induites immenses.-->
Je sais qu'un prisme disperse dans différentes directions toutes les composantes colorées d'un faisceau incident de lumière blanche. la fait que chaque rayon de lumière de ce faisceau subit simplement deux réfractions montre que  <strong>dans le domaine visible, l'indice de réfraction varie légèrement </strong><ins>avec la couleur</ins>, ou pour le dire plus précisément <ins>avec la fréquence (ou la longueur d'onde dans le vide) </ins>de la lumière</ins>. 

<ul class="exemple">
<li>En géométrie, un prime est un solide limité par deux polygones, appelés les bases du prisme, obtenus l'uj de l'autre par une simple translation. Cela implique que c'est bases sont connectées l'une à l'autre par des parallélogrammes. Quand ces parallélogrammes sont rectangles, j'appelle ce prisme un prisme droit.<br>
En optique, un prisme est réalisé dans un matériau transparent et toutes ses surfaces sont polies. La forme usuel d'un prisme en optique, dont le but est de disperser un faisceau parallèle de lumière en toutes ses composantes colorées, possède une base triangulaire.
</li></ul>

Ainsi pour réaliser une expérience précise de dispersion, je dois préciser la fréquance à laquelle est donné la valeur de l'indice de réfraction. Cependant, dans le visible, cette variation reste limitée (de l'ordre de quelques dixièmes de pourcent) and <ins>est donné seulement la </ins><strong>valeur moyenne de l'indice de réfraction</strong> (comme $n_{eau}=1.33$), ou la <strong>valeur de l'indice de réfraction à des longueurs d'onde (dans le vide) spécifiques</strong> à des raies spectrales ou des sources de lumières quasi-monochromatiques intenses qui ont permis de mesurer précisément la valeur de cette indice (par exemple $n\;_{546nm}$ pour un indice spectral déterminé à partir de la raie verte d'une lampe à vapeur de mercure, ou $n\;_{632nm}$ quand c'est un laser helium-néon qui a été utilisé).



##### Le chemin optique

Lorsque la lumière se déplace sur des trajectoires traversant des milieux d'indices réfraction différents,
les différents temps de parcours ne sont pas égaux aux longueurs correspondantes multipliées par un nombre 
réel unique, indépendant des trajectoires. Cela reste vrai sur la trajectoire unique d'un rayon de lumière
traversant plusieurs milieux : pour une même longueur considérée le long de la trajectoire, le temps de
parcours pourra être différent selon la portion de trajectoire sur laquelle la longueur est prise. 
Je peux résumer cela d'une phrase :

*Sur l'ensemble des cas,* **le temps de parcours n'est pas proportionnel à la distance parcourue.**

Or la grandeur physique importante associée à un parcours entre deux points de l'espace, pour savoir si la 
lumière choisira ce parcours plutôt q'un autre, sera le temps de parcours. Cependant lorsque je visualise 
mentalement une trajectoire, je vois une ligne à laquelle j'associe intuitivement une longueur. 
*Comment travailler mathématiquement avec une grandeur physique homogène à une longueur, mais qui aurait
les mêmes propriétés que le temps de parcours pour décrire la propagation de la lumière?* Une telle 
grandeur a été définie en physique, et est grandement utilisée en optique géométrique, optique ondulatoire,
électromagnétisme, et elle est nommée "**chemin optique** noté usuellement "**$`\delta_o`$**".

Le chemin optique $`\delta_o`$ d'un parcours donné $`\Gamma_o`$ entre deux points A et B de l'espace est 
*homogène à une longueur*. Son **unité (S.I.)** (son unité dans le Système International
d'unités) est donc le "*mètre*".

Pour tout segment de droite pris entre deux points infiniment proche dans l'espace, son chemin optique infinitésimal
(ou élémentaire) **$`\mathrm{d}\delta`$** est égal à sa *longueur euclidienne $`\mathrm{d}s`$ 
multipliée par la valeur de l'indice de réfraction $`n`$* moyennée sur le segment infinitésimal considéré :
**$`\mathrm{d}\delta\;=\;n\times \mathrm{d}s`$**

Le chemin optique $`\delta`$ d'un parcours donné $`\Gamma_o`$ entre deux point de l'espace est simplement la somme 
des chemins optiques infinitésimaux intégrés sur ce parcours :

**$`\delta =\displaystyle\int_{\Gamma_o}\mathrm{d}\delta= \int_{\Gamma_o}n\cdot \mathrm{d}s`$**

Quelques soient deux points donnés A et B de l'espace, et quelque soit le parcours considéré entre ces 
deux points, le **chemin optique** sera *toujours égal au temps de parcours de la lumière 
sur ce parcours divisé par la vitesse de la lumière dans le vide $c$* qui est une constante universelle
de la nature :

**$`\mathrm{d}\delta\;=\;\dfrac{ds}{c}`$**

$`\delta=\displaystyle\int_{S_{AB}}n\cdot\mathrm{d}s\;=\;\int_{S_{AB}}\dfrac{c}{v}\cdot\mathrm{d}s`$
$`\hspace{1cm}=c\;\int_{S_{AB}}\dfrac{\mathrm{d}s}{v}=\;c\;\tau`$</strong>


!!! Je peux maintenant considérer un rayon lumineux se propageant d'un point A à un point B, 
!!!et lui imposer au cours de sa trajectoire entre A et B d'interagir avec un système optique. Je peux ensuite 
!!!considérer l'ensemble des chemins possibles (ils sont en nombre infini en optique) entre A et B, et considérer
!!!une application f qui à chaque chemin de cet ensemble associe une grandeur physique particulière. En optique 
!!!géométrique, les deux grandeurs physiques intéressantes sont le temps de parcours et le chemin optique. 
!!!La question est :<br>
!!!Le trajet réellement suivi par la lumière dans chaque cas correspond-t-il à un chemin défini par un point
!!!particulier de la fonction f ?. Les points particuliers qui vont m'intéresser en optique géométrique sont 
!!!,appelés en mathématiques les points stationnaires.



##### Grandeur physique stationnaire

Soit <strong>$\Gamma_o$</strong> un <ins>chemin continue dans l'espace entre deux points A et B</ins>, chemin entièrement <ins>déterminé par son paramètre </ins><strong>$\lambda_o$</strong>, ou <ins>plusieurs paramètres indépendants </ins><strong>$\lambda_{io}$</strong>.
 
Soit <strong>$f$ </strong>une <ins>grandeur physique caractérisant  ce chemin</ins> $\Gamma$.
<ul class="exemple">
<li>Pour l'application du principe de Fermat, je travaillerai avec le temps de parcours ou le chemin optique entre A et B.</li></ul>


Je considère maintenant $\Gamma$ tout chemin infiniment proche de $\Gamma_o$ et de mêmes extrémités A et B, et caractérisé par son paramètre $\lambda=\lambda_o+d\lambda$ ou ses paramètres $\lambda_i=\lambda_{io}+d\lambda_i$.
 
La grandeur physique <strong>$f$</strong> est <strong>stationnaire sur le chemin $\Gamma_o$</strong> si <ins>sa variation calculée au premier ordre est nulle sur tout chemin $\Gamma$ infiniment proche de $\Gamma_o$</ins> :


<strong>$\mathrm{d}f(\Gamma_o)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\lambda}(\Gamma_o)\cdot\mathrm{d}\lambda=0$</strong>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ou
<strong>$\mathrm{d}f(\Gamma_{o})=\sum_i\frac{\partial f}{\partial\lambda_i}(\Gamma_o)\cdot\mathrm{d}\lambda_i=0$</strong>

<!---We can suppress the following note-->
!!! PARALLÈLE : En mathématiques, pour une fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ (fonction réelle $f$ à variable réelle $x$), un point stationnaire ou point critique correspond à un maximum (au moins local), ou à un minimum (au moins local), ou encore à un point d'inflexion stationnaire. Pour une fonction $f :\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$, il faut rajouter le point col ou point selle (en un point selle la fonction présente un maximum local selon un axe et un minimum local selon un autre axe, ce qui lui donne localement la forme d'une selle de cheval). Il faut aussi noter que tout point d'une fonction constante (de $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ou de $\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$) est un points stationnaire.
<!--Un point stationnaire P s'identifie facilement parce que la <ins>dérivée première de la fonction s'annule en ce point  (fonction d'une seule variable)</ins> ou <ins>chacune des dérivées partielles s'annulent en ce point (fonction de deux variables)</ins> :

<strong>$\frac{d\tau}{dx}(P)=0$</strong>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;ou
<strong>$\frac{\partial\tau}{\partial x}(P)=0\:\:\:\:et\:\:\:\:\frac{\partial\tau}{\partial y}(P)=0$</strong-->



<!--p>Le <strong>type d'un point stationnaire</strong> P s'identifie facilement par l'<ins>étude de la dérivée seconde ou des dérivées partielles secondes en ce point P</ins>.
Pour une <strong>fonction d'une variable</strong>, P est un :
<ul class="list">
<li><strong>maximum</strong> si et seulement si <ins>${\large\frac{d{\large\tau}}{dx}}(P)<0$</ins></li>
<li><strong>minimum</strong> si et seulement si <ins>${\large\frac{d{\large\tau}}{dx}}(P)>0$</ins></li>
</ul>
Pour une <strong>fonction de deux variables</strong>, et en posant :

<ins>$r=\frac{\partial^2{\large\tau}}{\partial x^2} , 
s=\frac{\partial^2{\large\tau}}{\partial x\,\partial y} , 
t=\frac{\partial^2{\large\tau}}{\partial y^2}$</ins>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;P est un :
<ul class="list">
<li><strong>maximum</strong> si et seulement si <ins>$rt-s^2>0$ et $r<0$</ins></li>
<li><strong>minimum</strong> si et seulement si <ins>$rt-s^2>0$ et $r>0$</ins></li>
<li><strong>point selle</strong> si et seulement si <ins>$rt-s^2<0$</ins></li>
</ul></p-->

<!--un couts trans1 sera l'étude des points critiques des fonctions à une ou deux variables -->


#####Enoncé du principe de Fermat

Le <strong>principe de Fermat</strong> peut s'énoncer <ins>à partir du temps de parcours</ins> ou bien <ins>à partir du chemin optique</ins> de la lumière entre deux points de sa trajectoire. Ces deux grandeurs physiques associées sont en effet simplement proportionnelles entre elles, et elles auront donc la propriété de stationnarité sur les mêmes parcours. Les deux énoncés du principe de Fermat sont :

<strong>"Entre deux points de sa trajectoire, la lumière suit tout parcours sur lequel son temps de propagation est stationnaire par rapport à tout autre parcours infiniment voisin."</strong>

<strong>"Entre deux points de sa trajectoire, la lumière suit tout parcours de chemin optique stationnaire par rapport à tout autre parcours infiniment voisin."</strong>
