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title: Géométrie et coordonnées
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### Géométrie et coordonnées niveau 4 : main

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!!!! *Attention : COURS EN CONSTRUCTION :*    
!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
!!!!  Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.   
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.

<!--MétaDonnée : ... -->

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<!--Idée de valeur ajoutée pour ce niveau 4 :
- niveau 3 : calcul vectoriel dans un espace euclidien de dimension 2 ou 3,
en utilisant des bases cartésiennes, cylindriques et sphérique.
- niveau 4 : calcul vectoriel dans un espace pseudo-riemannien, en utilisant les bases naturelles
de systèmes de coordonnées quelconques.
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### Géométrie et coordonnées niveau 4 : main

Peut-être au final se dévisera en 3 utimes branches distinctes, à voir :
\- coordonnées curvilignes orthogonales (avec gradient, divergence et rotationnel)   
qui pourrait être indépendante depuis le niveau 1 (chemin déjà partiellement conçu).
\- géométries non euclidienne
\- espace duale
Ces deux dernières pouvant avoir une partie commune, ou être traitées comme
2 chapitres d'une même branche.

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### I - Coordonnées curvilignes orthogonales

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*COORD-CURV-4.10* : 
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Soit un système de coordonnées $`(\eta_1,\eta_2, /eta_3)`$ de l'espace euclidien.   
Tout point $`M`$ de l'espace euclidien est repéré par ses trois coordonnées $`(\eta_{1\,M},\eta_{2\,M}, /eta_{3\,M})`$.   
Nous appellerons axes $`M\eta_i`$ 



Les axes d'un système de coordonnées curvilignes $``$ sont des courbes orientées.
Les coordonnées curvilignes sont orthogonales lorsque, un toput point $`M`$ de l'espace euclidien,
les tangentes aux axes curvilignes en ce point sont perpendiculaires entre-elles.

!!! *Exemples* :   
!!! Les *coordonnées cylindriques* et *coordonnées sphériques* définies au niveau précédent sont des
!!! *exemples de coordonnées curvilignes orthogonales*.
!!! En effet :
!!! * coordonnées cylindriques $`(\rho\,,\varphi\, z)`$ :   
!!! En tout point $`M`$ de l'espace, les axes,
!!!   * $`\rho`$, définit par la ligne obtenue par
!!! 
!!!
!!


### I - Géométries non euclidienne

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*GEOM-NO-EUC-4.100* : variété et coordonnées
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#### Variété et coordonnées.


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*GEOM-NO-EUC-4.100* : Sur la notion d'espace
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<!-- Tenter ici de définir ce qu'est la notion intuitive d'espace
(CME-FR)   
Une première intuition que nous avons de la notion d'espace est l'ensemble des lieux du monde extérieur à notre être. Cette intuition se forge dans le fait que nous observons des corps, inertes ou vinants, autour de nous-mêmes. Ces corps sont observés dans différentes directions, situés plus ou moins loin. Cette perception d'un espace vient aussi du fait que nous pouvons volontairement nous déplacer dans cet espace, nous rapprocher ou nous éloigner de corps observés.

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*GEOM-NO-EUC-4.110* : de l'espace à la variété
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<!--(CME-FR)-
Nous pouvons calculer des longueurs, surface et volume dans notre espace tridimensionnel intuitif, celui de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique.
Nous pouvons aussi être amené à calculer longueurs et surfaces de formes situées à la surface d'une sphère, ou de tout autre espace bidimensionnel.
Au-delà de la physique classique, la relativité nous apprend que l'espace et le temps ne sont pas indépendants. 
L'espace-temps est l'espace quadridimensionnel où se meuvent les évènements.

La notion intuitive restreinte de notre espace trimdimensionnel se choque avec une signification plus générale du mot "espace", désignant tout ensemble continu de points sur lequel des distances entre points peuvent être déterminés et mesurées.
 Afin de lever toute ambiguïté, ce concept plus général d'espace est désigné par le mot "variété".

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*GEOM-NO-EUC-4.120* : variété
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Une variété est ainsi défini comme un ensemble continu de points qui peuvent être individuellement repérés par un même nombre de paramètres appelées coordonnnées. Le nombre minimum de coordonnées nécessaires pour repérer de façon unique tout point de la variété est nommé dimension de la variété. Le continuité de l'ensemble des points d'une variété de dimension $`n`$ vient du fait que chaque coordonnée est un nombre réel (des coordonnées complexes peuvent aussi être imaginées), et qu'à chaque séquence ordonnée de $`n`$ nombres réels peut être associé un point unique de la variété. Les coordonnées d'un point dune variété de
dimension $`n`$ se notent $`(x^1,x^2, ..., x^n)`$, et de façon abrégée $`x^i`$ en précisant que $`i`$ est un entier qui varie de $`1`$ à $`n`$.

!!! *Exemple* :   
!!! * L'espace euclidien est une variété de dimension 3.
!!! * La surface d'une sphère est une variété de dimension 2.
!!! * Une ligne continue est une variété de dimension 1.
!!! * Les espace-temps de la relativité restreinte ou de la relativité générale sont des variétés de dimension 4.


#### Invariant et géométrie

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*GEOM-NO-EUC-4.130* : Invariant et géométrie
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La distance quantifie par un nombre réel l'éloignement, la "quantité d'espace" entre deux points de notre espace perçu, tridimensionnel et euclidien. 
Son équivalent temporelle et la notion de durée qui permet de définir l'intervalle de temps entre deux dates.
La distance est une propriété géométrique entre deux points de l'espace. Une fois choisi l'étalon rigide qui définit l'unité de 
mesure des longueurs, la valeur de la distance entre deux points quelconques de l'espace est indépendante du système de coordonnée particulier utilisé : la distance est un invariant. Cette notion de distance est à la base des calculs de longueurs, d'aires et de volume. Elle intervient dans la défintion des concepts de position, de vitesse et d'accélération.

! *Note* :
! En mathématique, une distance $`d`$ définie sur un ensemble $`E`$ est une application de $`E\times E`$ vers l'ensemble des
! nombres réels positifs,    
!
! $`d : E\times E \longrightarrow \mathbb{R}^+`$      
! 
! qui vérifie trois propriétés :    
! * $`\forall (e_1,e_2)\in E \times E, d(e_1,e_2)=d(e_2,e_1)`$
! * $`\forall (e_1,e_2)\in E \times E, d(e_1,e_2)=0\Longleftrightarrow e_1=e_2`$
! * $`\forall (e_1,e_2)\in E^3, d(e_1,e_3)\le d(e_1,e_2) + d(e_2,e_3)`$



#### Changement de coordonnées

Un système de coordonnée est une façon de définir les $`n`$ paramètres $`x^i`$ qui permettent de repérer tout point 
d'une variété de dimension $`n`$. Plusieurs systèmes peuvent être imaginés. 
...

Il est toujours possible de changer de système de coordonnées pour repérer les points d'une variété.

Considérons deux systèmes de coordonnées $`x^i`$ et $`x'^i`$ d'une variété de dimension $`n`$. 
Connaissant les coordonnées $`x^i`$ de tout point $`M`$, trouver les nouvelles coordonnées $`x'^i`$ 
du point $`M`$ necessite de connaître les $`n`$ fonctions $`x'_i(x_i)`$ :

$`\quad\begin{matrix}
x'_1(x_1, x_2, ... , x_n) \\
x'_2(x_1, x_2, ... , x_n) \\
... \\
x'_n(x_1, x_2, ... , x_n) 
\end{matrix}`$

Par ailleurs, si les coordonnées $`x^i`$ vérifient une certaine équation $`g(x^i)=0`$, déterminer 
l'équation correspondante qui sera vérifiée par les nouvelles coordonnées $`x'^i`$ nécessite de connaître 
les $`n`$ fonctions $`x_i(x'_i)`$ :

$`\quad\begin{matrix}
x_1(x'_1, x'_2, ... , x'_n) \\
x_2(x'_1, x'_2, ... , x'_n) \\
\vdots \\
x_n(x'_1, x'_2, ... , x'_n) 
\end{matrix}`$







#### Invariant et métrique d'une variété

*GEOM-NO-EUC-4.200* : géométrie invariant et métrique

La géométrie de l'espace est donnée par l'expression d'un invariant $`ds`$ dans un système de
coordonnées, dont la valeur est indépendante dans tout système de coordonnées pour une même
unité d'invariant.

!!! *Exemples* :    
!!! * *Si la variété est l'espace intuitif, euclidien et tridimensionnel* décrit en physique classique, 
!!! *l'invariant est la distance euclidienne* notée $`dl`$ telle qu'en tout point de l'espace  $`dl^2=dx^2+dy^2+dz^2`$. 
!!! Un système de coordonnée où l'invariant prend cette forme est dit cartésien.  
!!! Il existe d'autres systèmes de coordonnées, non cartésiens, dans lequel cet invariant a une forme différente :
!!! &nbsp;&nbsp;\- en coordonnées cylindriques $`(\rho, \varphi,z)`$ l'invariant distance euclidienne s'écrit 
!!! $`dl^2=\rho^2+\rho^2\cdot d\varphi^2+dz^2`$.    
!!! &nbsp;&nbsp;\- en coordonnées sphérique $`(r, \theta, \varphi)`$ l'invariant distance euclidienne s'écrit 
!!! $`dl^2=r^2+r^2\cdot d\theta^2+ r^2 \sin^2\theta z^2`$.   
!!! Mais quelque-soit le système de coordonnée utilisé avec une même unité de mesure, l'invariant distance euclidienne
!!! a toujours la même valeur.
!!!
!!! * Si *la variété est la surface bidimensionnelle (2D) d'une sphère non plongée
!!! dans un espace tridimensionnel*, il existe un système de coordonnées $`(M,x,y)`$ tel qu'en tout point
!!! $`M`$ de cette variété, l'invariant s'écrit
!!! $`ds^2=`$.   
!!! Dans cette variété, il n'existe pas de système de coordonnées $`(M,x,y)`$ où l'invariant vérifierait
!!!  $`ds^2=dx^2+dy^2`$. Cette variété n'admet pas de coordonnées cartésiennes, cette variété
!!! n'est pas euclidienne.
!!!
!!! * Si *la variété est la surface bidimensionnelle (2D) d'une cylindre infini non plongé
!!! dans un espace tridimensionnel*, ...




*GEOM-NO-EUC-4.210* : variété surface d'une sphère.


La sphère est plongée dans l'espace tridimensionnel euclidien classique.   
Dans tout système de coordonnées cartésiennes $`\mathscr{S}_O=(O, x, y, z)`$ où l'origine $`O`$
des coordonnées est située au centre de la sphère de rayon $`R`$, les coordonnées
$`(x_M, y_M, z_M)`$ de tout point $`M`$ situé à la surface de la sphère vérifient :

$`x_M^2+y_M^2+z_M^2=R^2`$,

soit en notation indicielle :  
$`(x^1_M)^2+(x^2_M)^2+(x^3_M)^2=R^2`$,   
ou encore    
$`\displaystyle\sum_{i=1}^3 (x^i_M)^2=R^2`$   

Précisons un peu. Quelque-soit un point $`M`$ à la surface de la sphère, nous pouvons
choisir un système de coordonnées cartésiennes $`\mathscr{S}_O=(O, x, y, z)`$ d'origine $`O`$ au centre
de la sphère, et tel que $`M`$ soit situé sur l'axe $`Oz`$ : les coordonnées du point $`M`$
sont alors $`(x_M=0\,,y_M=0\,, z_M=R)`$, et elle vérifient bien sûr toujours $`x_M^2+y_M^2+z_M^2=R^2`$.

En gardant inchangés les directions et sens de axes, déplaçons l'origine à la surface
de la sphère. L'origine du nouveau système $`\mathscr{S}_M=(M, x, y, z)`$ est alors située au point $`M`$.
Nous pouvons alors faire 3 remarques :   
\- ce nouveau système d'axe reste cartésien.   
\- les coordonnées du point $`M`$ origine sont $`(0,0,0)`$.   
\- l'ensemble des points $`P`$ tels que $`z_P=0`$ définissent le plan tangent à la sphère au point $`M`$.    

Dans ce système $`\mathscr{S}_M=(M, x, y, z)`$, l'équation vérifiée par les coordonnées  
$`(x,y,z)`$ de tout point de la sphère s'écrit :

$`x^2+y^2+(z-R)^2=R^2\quad`$(équ.1)
 
En notation indicielle :  
$`(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3-R)^2=R^2`$   

Considérons deux points $`P_1`$ et $`P_2`$ infiniment proches de coordonnées $`(x, y, z)`$ et
$`(x+dx, y+dy, z+dz)`$ dans l'espace euclidien tridimensionnel classique, mais situés 
tous deux à la surface de la sphère.   
Dans l'espace euclidien tridimensionnel classique, l'invariant $`ds^{3D}_{P_1P_2}`$ entre ces deux points est
la distance euclidienne qui vérifie :

$`ds_{3D}^2=dl_{P_1P_2}^2=dx^2+dy^2+dz^2`$

Les deux points appartiennent à la surface de la sphère, ils appartiennent à la variété 2D perçue par la fourmie mais
celle-ci n'a pas perception d'une troisième dimension liée à l'axe $`Mz`$. L'invariant 
$`ds_{2D}`$ entre ces deux points perçus par la fourmie ne peut s'exprimer qu'avec les coordonnées
$`x`$ et $`y`$. L'équation (équ.1) permet d'obtenir $`z`$ en fonction de $`x`$ et de $`y`$   

$`x^2+y^2+(z+R)^2=R^2`$

En différenciant,

$`d(x^2+y^2+(z+R)^2)=d(R^2)`$

nous obtenons

$`2\,x\,dx+2\,y\,dy+2\,(z+R)\,dz=0`$

$`dz=-\dfrac{x\,dx+y\,dy}{z+R}`$

$`dz=-\dfrac{x\,dx+y\,dy}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}`$

Les deux points $`P_1`$ et $`P_2`$ étant situés aussi bien dans l'espace tridimensionnel euclidien 
que sur la surface bidimensionnelle de la sphère, et la sphère étant incluse dans l'espace, 
les invariants $`ds_{3D}`$ et $`ds_{2D}`$ sont égaux et nous pouvons écrire :

$`ds_{3D}^2=dx^2+dy^2+dz^2`$$`\quad=dx^2+dy^2+\dfrac{(x\,dx+y\,dy)^2}{R^2-x-2-y-2}`$
$`\quad=\left(1+\dfrac{x^2}{R^2-x^2-y^2}\right)dx^2+\left(1+\dfrac{y^2}{R^2-x^2-y^2}\right)dy^2+2\,\dfrac{XY}{R^2-x^2-y^2}dxdy`$
$`ds_{2D}^2`$

Soit in fine :

$`ds_{2D}^2=\dfrac{R^2-y^2}{R^2-x^2-y^2}dx^2+1+\dfrac{R^2-x^2}{R^2-x^2-y^2}dy^2+2\,\dfrac{XY}{R^2-x^2-y^2}dxdy`$
$`\quad=g_{xx}\,dx^2+1+g_{yy}\,dy^2+(g_{xy}+g_{yx})\,dxdy`$






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