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title: Géométrie et coordonnées - proposition 2
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#### Géométrie et coordonnées niveau 1 : overview

---------------------------------------------

!!!! *Attention : COURS EN CONSTRUCTION :*    
!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
!!!!  Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.   
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.

<!--MétaDonnée : ... -->

---------------------------------------------

!   
! *LE  TEMPS  ET  L'ESPACE*   
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière)
!

<!-- partie synthèse du chapitre "Perception et représentation du temps"-->

### Le temps


#### Que perçois-je du temps?


#### Qu'est-ce qu'un phénomène cyclique?


#### Comment puis-je mesurer la durée entre deux évènements ?


#### Comment puis-je repérer un évènements dans le temps?


#### De quoi pouvons nous convenir ensemble sur le temps?


#### Quelles sont les unités de mesure des durées?


#### Quelle différence entre durée et date ?


#### Comment trouver la durée entre deux évènements connaissant leurs dates?


--------------------------

<!-- partie synthèse du chapitre "Perception et représentation de l'espace"-->

### L'espace


#### Que perçois-je de l'espace?


#### Comment situer un objet par rapport à moi?


##### Qu'est-ce que la distance?


##### Qu'est-ce que la direction?


#### Que signifie "l'espace possède 3 dimensions"?


#### De quoi pouvons nous convenir ensemble sur l'espace?


#### Quelles sont les unités de mesure des longueurs?


#### Comment localiser un objet de façon utile pour tous?

Il faudra préciser des éléments de vocabulaire.
Idée :
Localiser $`\equiv`$ situer $`\equiv`$ positionner (ou trouver la position) $`\equiv`$ repérer
Dans le langage courant :   
situer < trouver la position < repérer $`\le`$ localiser
(c'est difficile, chaque mots a toujours différents usages, différentes définitions...)

(là, on verra que pour trouver une réponse complète à cette question, on aura
besoin des propriétés de l'espace : donc de sa géométrie)

#### Comment trouver la distance entre deux objets connaissant leurs positions?

(c'est la suite, donc idem, on aura besoin de la géométrie de notre espace sensible, donc euclidienne)



<!--====================================================-->

!   
! *LA  GEOMETRIE  DE  L'ESPACE*   
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
! <!--(autre type de titre possible : " ... ")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! <br>
! </details>

--- à faire ---
Quelles questions se poser sur ce thème ?   
Les chapitres du cours correspondants sont :

1 - Sègment de droites, droites et demi-droites   
1.1 - Le sègment de droite     
1.2 - Du sègment de droite et à la droite     
1.3 - Droites séquentes et droites parallèles     
2 - Le plan   
3 - La sphère   
4 - Le cercle   
4.1 - Le cercle   
4.2 - l'arc de cercle   
5 - Les angles    
5.1 - Comment définir un angle    
5.2 - comment quantifier un angle    
5.3 - Les angles remarquables     
5.3.1 - L'angle complet : 360°      
5.3.2 - L'angle plat : 180°      
5.3.3 - L'angle droit : 90°      
5.3.4 - L'angle de 45°      
5.3.5 - L'angle de 60°   
5.3.6 - L'angle de 30°   
5.3.7 - Réaliser un angle de valeur donnée.   


------------------------------------

<!--====================================================-->

!   
! *DES  FIGURES  ET  DES  VOLUMES*   
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière)
! <!--(autre type de titre possible "J'identifie et réalise des formes, je calcul des surface et des volumes")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>  
! Idée d'un bloc très "utilitaire". Pour apprendre à reconnaître, nommer et savoir comment contruire des formes, et à recevoir les formules mathématiques pour s'entraîîner à calculer des aires et des volumes.<br>
! <br>
! </details>

--- à faire ---
Quelles questions se poser sur ce thème ?   
Les chapitres du cours correspondants sont :

1 - Lignes, surfaces et volumes   
2 - Les figures simples dans un plan :     
2.1 - Les quadrilatères   
2.1.1 - Le quadrilatère   
2.1.2 - Le rectangle et le carré   
2.1.2 - Le parallélogramme et le losange   
2.1.3 - Le trapèze   
2.2 - Les triangles   
2.2.1 - Le triangle   
2.2.2 - Le triangle rectangle   
2.2.3 - Les triangles isocèle et équilatéral (est-ce vraiment utile?)   
2.2.4 - Triangles semblables    
2.2.5 - Tracer un triangle de longueurs de côtés données.   
2.3 - Les polygones   
2.4 - Le cercle   
3 - Les volumes simples dans l'espace :     
3.1 - Le cube et le parallélépipède rectangle   
3.2 - Les prismes (avec pour base différents polygones)    
3.3 - Les pyramides (avec pour base différents polygones)    
3.4 - Le cylindre   
3.5 - La sphère   

---------------------------

<!--====================================================-->

!   
! *GÉOMÉTRIE  ET  RÈGLES  DE  CALCUL*   
! (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
!  <!--(autre type de titre possible "La géométrie m'aide à calculer")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! un tel bloc "Géométrie et règles de calcul" peut à ce niveau aider ceux qui ont des problèmes avec les règles du calcul numérique.<br>
! <br>
! </details>  

--- à faire ---
Quelles questions se poser sur ce thème ?   
Les chapitres du cours correspondants sont :

1 - Triangles semblables et théorème de Thalès    
2 - Carrés, rectangles, triangles rectangles et le théorème de Pythagore   
3 - Carrés, rectangles, et l'égalité $`(a+b)^2=a^2+b^2+2ab`$   
4 - La projection parallèle   
5 - Cercle, projection, et fonctions sinus et cosinus   
6 - Le nombre $`\large{\pi}`$   

---------------------------------------

<!--====================================================-->

!   
!  *INVARIANCES  ET  SYMÉTRIES  EN  GÉOMÉTRIE*  
!  <!--(autre type de titre possible "Je vois des formes symétriques")--> 
!  (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
!  Question : Dès ce niveau 1? ou on démarre au niveau 2?   
!  
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! À faire. symétrie par rapport à un point, à une droite, à un plan...<br>
! <br>
! Ce sujet mériterait un chemin pédagogique sur 4 niveaux à lui tout seul.<br>
! <br>
! Mais déjà cela conduit à mettre en valeur (ou être sûr qu'ils apparaissent dans le chapitre DES FIGURES ET DES VOLUMES, je pense en particulier à l'hexagone) les traingles, parallélogrammes quadrilatères et l'hexagone, car on peut remplir un plan avec chacun d'eux sans laisser d'interstices vides. Permiers pas vers les cristaux. On peut prendre comme exemple très concret les formes possibles pour l'élément de base d'une mosaïque ou d'un dallage (en considérant des joints extrêmement fins).<br>
! <br>
! et peut-être les volumes platoniciens? Pas grande utilité de fait. Peut-être simplement dans une partie "beyond"?<br>
! <br>
! </details> 

--------------------------------------------------

--- à faire ---
Quelles questions se poser sur ce thème ?   
Les chapitres du cours correspondants sont :

<!--====================================================-->

!   
!  *SYSTÈMES  DE  COORDONNÉES*   
!  (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
!  <!--(autre type de titre possible "Je me situe sur Terre, je repère des lieux")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! Introduire les systèmes de coordonnées.
! <br>
! </details>  

--- à faire ---
Quelles questions se poser sur ce thème ?   
Les chapitres du cours correspondants sont :

1 - Je repère à l'aide de coordonnées
2 - Je localise sur le globe terrestre
3 - J'utilise une carte routière.
4 - Je situe avec table d'orientation panoramique
5 - Je fais une course d'orientation
5.1 - avec géolocalisation par satellite.
5.2 - avec une carte et une boussole.
5.3 - sans instrument ni carte.
6 - Du globe terretre à une carte du monde.

----------------------------------------------

<!--====================================================-->

!   
!  *DES  GRANDEURS  PHYSIQUES  QUI  VARIENT, ET  LEURS  REPRESENTATIONS*   
!  (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
!  <!--(autre type de titre possible "Je modélise la nature")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! L'idée est d'introduire :<br>
! - pour la suite dans ce niveau 1, les grandeurs comme la vitesse, l'accélération, les forces, qui ne se résument pas à un nombre.<br>
! - pour le niveau 2, idem, et on commencera à parler de grandeurs scalaires et vectorielles.<br>
! - pour le niveau 3, les grandeurs et champs scalaires et vectoriels.<br>
! - pour le niveau 4, les grandeurs et champs tensoriels, avec le tenseur comme une généralisation et un dépassement des scalaires et des vecteurs.
! <br>
!
! Donc déjà par dire ce qu'est une grandeur physique (je ne vois pas de mot plus simple pour ce niveau).<br>
! Les grandeurs physiques qui peuvent s'exprimer par un nombre (exemple : température) et par une flèche plus ou moins longues (exemple : vitesse du vent).<br>
! Ces grandeurs peuvent varier dans l'espace comme dans le temps.<br>
! Comment représenter les variations spatiales de ces grandeurs :<br>
! - une carte météorologique des température.<br>
! - une  carte météorologique des vents.<br>
! et leurs variations temporelles
! - pour continuer avec les exemples météorologiques et faire prendre conscience de l'urgence climatique :<br>
! &nbsp;&nbsp; - animation (gif) prévisions températures moyennes sur le globe -->2100 pour différents scénarios.<br>
! &nbsp;&nbsp; - graphique (température moyenne/temps) -->2100 sur une zone donnée du globe.<br>
! <br>
! Lien direct avec un bloc en mathématique sur les fonctions et leurs représentation, avec possibilité d'affichage en parallèle dans un mode.<br>
! <br>
! </details>  

---------------------------------------

--- à faire ---
Quelles questions se poser sur ce thème ?   
Les chapitres du cours correspondants sont :

<!--====================================================-->

!   
!  *MODELISER  LES  PHENOMENES  OBSERVÉS*   
!  (sera probablement un bloc - une page html - à part entière dans cette proposition)
!  <!--(autre type de titre possible "Je modélise la nature")-->
! <details>
! <summary>
! Lignes directrices
! </summary>
! <br>
! Il s'agit en fait sans le dire d'une première introduction (sans le dire) à la méthode scientifique. A partir des observations sur le temps, l'espace, les corps immobiles et en mouvements et des propriétés géométriques de l'espace et des nombres et des opérations d'introduire  la notion de modélisation physique.<br>  
! <br>
! Et de façon plus concrête, à partir des ces éléments de perceptions et de la mathématique, d'introduire la physique classique et la physique moderne.<br> 
! <br>
! Même si on doit bétonner la physique classique, car c'est celle qui est utile dans la vie de tous les jours, celle qui se "ressent" dans notren expérience du quotidien et qui nous permet de réaliser tout projet à ce niveau 1, il est important d'avoir une connaisance culturelle sur la physique moderne. Et la mise en parallèle de la physique classique, des relativités et quantique permet de mieux comprendre les "bases" de chacune, comment elles façonnent chacune notre vision du monde et se complètent, et de comprendre la notion-même de "modèle".<br>
! <br>
! Donc, a priori, se dirige en ce qui concerne la physique classique, vers la première étape de cinématique (sans dire ce mots), débarrassée des coordonnées. Donc a priori, on partirait des notions de position, de vitesse et d'accélération. Puis (sans le dire) vers des sensations physiques utiles, puis des concepts de dynamique et d'énergétique. <br>
! <br>
! </details>  

--- à faire ---
Quelles questions se poser sur ce thème ?   
Les chapitres du cours correspondants sont :


<!--====================================================-->

#### Tests de visualisation (notamment sur smartphones) de figures,

##### concernant table d'orientation panoramique

Idée : dans quelle direction (et sens) à partir d'un point d'observation ?   
$`\Longrightarrow`$ les 4 points cardinaux : est, sud, ouest, nord,   
et les intermédiaires sud-est, sud-ouest, nord-ouest et nord-est.   
$`dans le champ de vue, tout point de la surface terrestre est localisé dans 8 domaines de direction.   

<!--Idée :---------------------
localiser, c'est comparer et encadrer.
------------------------------->


![](viewpoint-indicator-2_v2_L850.gif)    
(figure modifiable, ou qui peut se changer)
_Fig.  : Le lieu indiqué par la flèche violette est situé en direction du sud-ouest._

Idée : comment préciser mieux la direction ?    
\- passage de 8 à 16 domaines de localisation :
sud , sud-sud-ouest, sud-ouest, ouest-sud-ouest, ouest, ouest-nord-ouest, nord-ouest, nord-nord-ouest, nord, etc...    
\- passage de 16 à ... 360 domaines de localisation :   
Trop nombreux, ils ne sont pas nommés, mais ils sont délimités par des nombres entiers allant de 0 à 359 (360 est le retour à 0).   
* système de coordonnées
  *  une origine du système.
  *  le plan horizontal contenant l'origine.
  *  l'axe sud-nord, pointant vers le nord.
  *  la verticale à l'origine, orientée vers le haut.
  *  un sens choisi autour de la verticalde, pour la graduation des angles en degré.
discours à construire...
direction (et sens) d'un lieu est repéré par l'angle $`\varphi`$ entre l'axe Sud-Nord et la direction où il est observé depuis l'origine.   
difficile de déterminer exactement la valeur de l'angle $`\varphi`$, on évalue un encadrement de façon à pouvoir dire avec une grande confiance
que le lieu recherché se situe dans l'encadrement donné de la valeur de $`\varphi`$.

![](viewpoint-indicator-3_v2_L850.gif)
(figure modifiable, ou qui peut se changer)
_Fig.  : Le lieu indiqué par la flèche violette est situé en direction du sud-sud-ouest.   
Le lieu indiqué est caractérisé par l'angle $`\varphi=120 \pm 2°`$_


Idée : à quelle distance?   

![](viewpoint-indicator-4_L850.gif)   
Tout peut être amélioré ou changé.

Idée : quelle est l'altitude du point observé?
figure à faire (avec pics des Pyrénées)

##### concernant le théorème de Pythagore, lien entre géométrie et règles de calcul numérique

(idée : faire apparaitre carré de côté $`a+b`$, puis inscrits dedans 2 carrés de côtés 
respectifs $`a`$ et $`b`$)   

![](geometry-pythagore-1_L1200.gif)

(idée d'étape 2 : s'intéresser à la partie complémentaire dans le carré d'aire $`(a+b)^2`$ 
des 2 carrés d'aires $`a^2`$ et $`b^2`$, y et faire apparaître 4 triangles 
rectangles semblables et de même aire. Ensuite réorganiser ces 4 triangles rectangles pour montrer
qu'ils sont aussi la partie complémentaire dans le carré d'aire $`(a+b)^2`$ 
d'un carré d'aire $`c^2`$. En déduire alors, en raisonnant sur la partie complémentaire de
ces 4 triangles dans le carré d'aire $`(a+b)^2`$, que $`a^2+b^2=c^2`$.

![](geometry-pythagore-2_L1200.gif)

(idée d'étape 3 : visualiser que la relation $`a^2+b^2=c^2`$ s'applique bien
aux trois côtés de longueurs $`a, b`$ et $`c`$ dans un triangle rectangle, le côté de longueur $`c`$
étant l'hypothénuse.

![](geometry-pythagore-4_L1200.gif)


##### concernant "du globe terretre à une carte du monde".

Là, à faire. Mais pour dire (sans le dire à ce niveau 1) qu'aucune projection de
la surface d'une sphère sur un plan ne peut conserver les angles et les distances...

Pour tester la visibilité des figures avant finition :

Idée de question :"Pourquoi faire une carte de la Terre?"   
Réponse possible : "Pour envelopper d'un seul regard la totalité de la surface terrestre."   

![](earth-map-earth-globe-geometry-1_L1200.gif)

Idée de question :"Comment réaliser une carte de la Terre?"  
Réponse possible :   
Une première idée :  
\- en chaque lieu de la Terre, le méridien et le parallèle qui passe par ce lieu sont orthogonaux".   
donc :   
\- reporter verticalement sur une carte les méridiens, et horizontalement les parallèles.   
\_ en chaque pixel de cette carte, reporter la couleur du pixel correspondant sur le globe terrestre.   

![](earth-map-earth-globe-geometry-2_L1000.gif)

Idée de question :"Ma carte ainsi réalisée est-elle fiable?" 
Réponse possible :     
\- Puis-je y comparer des distances et mesurer des angles?
\- Il m'est impossible de comparer des distance :   
$nbsp;$nbsp;\- l'équateur terrestre (40 000 km) comme pôle nord (un point à la surface terrestre, 0km)
sont représentés par une ligne horizontale de même longueur sur ma carte.   

![](earth-map-earth-globe-geometry-3_L1000_v2.gif)  

\- Je ne peux pas me fier aux angles mesurés sur la carte :   
$nbsp;$nbsp;   

figure à faire   

\- Je ne peux pas déterminer le chemin le plus court entre deux lieux de la Terre :   
$nbsp;$nbsp;\- à faire, mais la trajectoire la plus courte prise entre deux points de la Terre 
ne correspond pas à un sègment de droite sur la carte.

figure à faire


Idée de question :"Comment réaliser au mieux la surface terrestre sur une carte?"  

à faire, mais cela sera très utile. (différentes projections)


Idée : en tout point de la surface terrestre, le méridien et le parallèle qui passent
par ce point sont perpendiculaires (dans le plan tangent en ce point à la "sphère" terrestre,
mais à l'échelle de l'homme, localement le sol au niveau de la mer ou en plaine, est perçu
comme un plan). La direction du méridien est donné par l'axe sud-nord, et la direction du parallèle
est donné par l'axe est-ouest d'une boussole placée à l'horizontale. (Là encore à ce niveau 1, ne parler de la distinction
entre nord géographique et le nord magnétique que dans un apparté "au-delà").












