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title: Cartesian coordinates
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!!!! *LESSON  UNDER  CONSTRUCTION :* <br>
!!!! Published but invisible: does not appear in the tree structure of the m3p2.com site. This course is *under construction*, it is *not approved by the pedagogical team* at this stage. <br>
!!!! Working document intended only for the pedagogical team.

<!--MetaData : INS 1° année -->

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<!--travail commun :
https://gitlab.m3p2.com/m3p2/courses/blob/master/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/20.reference-frames-coordinate-systems/textbook.es.md
-->


### Coordonnées cartésiennes

####  Définition des coordonnées et domaines de définition

* *COOSYS-100*

Système de coordonnées cartésiennes :<br>
\- **1 punto $`\mathbf{O}`$** de l'espace, choisi comme **origine** des coordonnées cartésiennes.<br>
\- **3 axes** appelés **$`\mathbf{Ox , Oy , Oz}`$**, se coupant en $`O`$ et **orthogonaux deux à deux**.<br>
\- **1 unité de longueur**.

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* *COOSYS-110*

Coordonnées cartésiennes : $`( x, y, z)`$

Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ conduisant au point $`m_{xy}`$,
et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$. Le point $`m_{xy}`$ est projeté orthogonalement sur les axes $`Ox`$ et $`Oy`$, conduisant respectivement aux points $`m_x`$ et $`m_y`$ (voir figure ...). <br>
ou, pour un équivalent d'écriture plus simple, mais moins visuel :<br>
Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur chacun des axes $`Ox , Oy , Oz`$ conduisant respectivement aux points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$.


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* *COOSYS-120*

Les **coordonnées cartésiennes $`\mathbf{x_M , y_M , z_M}`$** du point $`M`$ sont les 
distances algébriques $`\overline{Om_x}`$, $`\overline{Om_y}`$ et $`\overline{Om_z}`$ mesurées depuis le point origine $`O`$ jusqu'à chacun des points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. 

**$`\mathbf{x_M=\overline{Om_x}}`$ , $`\mathbf{y_M=\overline{Om_y}}`$ , $`\mathbf{z_M=\overline{Om_z}}`$**

Les coordonnées $`x , y , z`$ sont des **longueurs** algébriques, dont l'**unité** dans le système international d'unité **S.I.** est le **mètre**, de symbole **$`\mathbf{m}`$**.

**Unidades S.I. / Unités S.I. / S.I. units : $`\mathbf{x(m)\;,\;y(m)\;,\;z(m)}`$**

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* *COOSYS-130*

Chaque point $`M`$ de l'espace est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cartésiennes. On écrit : $`M=M(x_M,y_M,z_M)`$.

Si le point est un point quelconque, on simplifie :

$`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$**

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* *COOSYS-140*

**Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cartésiennes lorsque chacune varie de façon indépendante des autres dans son propre domaine de variation. Leurs domaines de variation sont :

**$`\mathbf{x\in\mathbb{R}}`$  ,  $`\mathbf{y\in\mathbb{R}}`$  ,  $`\mathbf{z\in\mathbb{R}}`$**


#### Base vectorielle et repère de l'espace associés

##### Longueur du parcours associée à une variation de coordonnée

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* *COOSYS-150*

Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x, y, z)`$ varie de façon 
continue entre les valeurs $`y`$ et $`\rho+\Delta \rho`$, le point $`M`$ parcourt un sègment
de droite de longueur $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Lorsque $`\Delta \rho`$ tend vers $`0`$,
la longueur infinitésimale $`dl_{\rho}`$ parcourue pour le point $`M`$ est :

$`\displaystyle dx=\lim_{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta x>0} \Delta x`$
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_x=dx`$  , **$`\mathbf{dl_x=dx}`$**

de même

$`dl_y=dy`$  , **$`\mathbf{dl_y=dy}`$**<br>

$`dl_z=dz`$  , **$`\mathbf{dl_z=dz}`$**

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* *COOSYS-160*

!!!! Attention : Cette propriété que les longueurs élémentaires $`dl_{\alpha}`$ s'identifie à la variation infinitésimale de la coordonnée $`d\alpha`$ correspondante est une propriété des systèmes de coordonnées cartésiennes :
!!!!
!!!! Coordonnées cartésiennes $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha}=d\alpha`$.
!!!!
!!!! Mais lorsque nous passons aux coordonnées cylindriques et sphériques, et en généralisant aux coordonnées curvilignes, cette identité n'est plus systématiquement vraie.
!!!!
!!!! En général : $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha} \ne d\alpha`$
!!!!
!!!! Il est donc important de *distinguer la distance infinitésimal $`dl_{\alpha}`$* parcourue par un $`M`$ lors d'une variation infinitésimale  d'une seule de ses coordonnées $`\alpha`$, *de la variation $`d\alpha`$* de cette même coordonnée.

<!--
* *COOSYS-60* : 

[ES] Característica de los sistemas de coordenadas "cartesianos" : si un punto $`M(x,y,z)`$ 
hace un desplazamiento infinitesimal hasta el punto $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>
el Elemento escalar de línea $`dl`$ se escribe simplement :

[FR] Caractéristique des systèmes de coordonnées "cartésiennes" : si un point $`M(x,y,z)`$ 
fait un déplacement infinitésimal jusqu'au point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>
l'élément scalaire de longueur $`dl`$ s'écrit simplement :

[EN] Characteristic of "Cartesian" coordinate systems : if a point $`M(x,y,z)`$ makes 
an infinitesimal displacement up to point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>
the scalar line element $`dl`$ writes simply :

$`dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$ , **$`\mathbf{dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}}`$**
-->

##### Vecteur unitaire associé à chaque coordonnée

* *COOSYS-170*

Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon 
infinitésimale entre les valeurs $`x`$ et $`x+dx`$ ($`dx>0`$), le vecteur déplacement 
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_x`$ du point $`M`$ est le vecteur
tangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit :

$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx`$

Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_x}`$ (qui indique la direction et le sens 
de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit :

$`\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrightarrow{OM}_x||}`$

de même :

$`d\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$,
$`\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}`$<br>
$`d\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$,
$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$


#### Base et repère cartésiens

* *COOSYS-180*

Les vecteurs déplacement élémentaire $`d\overrightarrow{OM}_x , d\overrightarrow{OM}_y , d\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$.

Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cartésiennes.
En coordonnées cartésiennes, les **vecteurs de base** gardent la 
**même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**.

$`||\overrightarrow{e_x}||=||\overrightarrow{e_y}||=||\overrightarrow{e_z}||=1`$<br>
$`\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_y}\quad,\quad\overrightarrow{e_y}\perp\overrightarrow{e_z}\quad,\quad\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_z}`$

$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ 
base orthogonale indépendante de la position de $`M`$

---------------------

* *COOSYS-190*

[FR] Un repère cartésien, noté $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$, 
est l'ensemble formé par un point  $`O`$ origine des coordonnées et une base vectorielle cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.

En coordonnées cartésiennes, tout point $`M`$ de l'espace peut se repérer :<br>
\- soit par ses coordonnées cartésiennes $`(x, y, z)`$ dans le système d'axes cartésien $`(Ox, Oy, Oz)`$.<br>
\- soit par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ d'expression 
$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$  dans le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.<br>
Les composantes d'un vecteur position sont appelées coordonnées, $`x, y, z`$ sont les coordonnées cartésiennes du point $`M`$.

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* *COOSYS-200*

Des grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associées à un point $`M`$ autres que sa position $`\overrightarrow{OM}`$ peuvent s'exprimer avec les vecteurs de la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$: <br>
$`\overrightarrow{G}=G_x\;\overrightarrow{e_x}+G_y\;\overrightarrow{e_y}+G_z\;\overrightarrow{e_z}`$.<br>
$`G_x, G_y, G_z`$ sont appelées composantes de la grandeur physique $`G`$ dans la base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.<br>
Exemples grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associée à un point $`M`$ :<br>
\- le vecteur vitesse $`V`$, dont les composantes cartésiennes $`V_x, V_y, V_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-1}`$ dans le S.I. <br>
\- le vecteur accélération $`a`$, dont les composantes cartésiennes $`a_x, a_y, a_z`$  s'expriment en $`m\;s^{-2}`$ dans le S.I. <br>
\- la force totale appliquée $`F`$, dont les composantes cartésiennes $`F_x, F_y, F_z`$ s'expriment en $`N`$ (newton) dans le S.I. <br>
\- ...


forment le repère cartésien 
$`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.

Un point $`M`$ de l'espace est repéré par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$.
Le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ en coordonnées cartésiennes s'écrit en fonctio



#### Déplacement, surface et volume élémentaires

##### Vecteur déplacement élémentaire

* *COOSYS-220*

La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ 
est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit :

$`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$

de même :

$`d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$<br>
$`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$

--------------------------------

* *COOSYS-230*

L'**élément vectoriel d'arc** ou vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en 
coordonnées cartésiennes est le vecteur déplacement du point $`M(x,y,z)`$ au point
$`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des quantités
$`dx`$, $`dy`$ y $`dz`$, et il s'écrit :

$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$
$`=d\overrightarrow{OM}_x+d\overrightarrow{OM}_y+d\overrightarrow{OM}_z`$
$`=\overrightarrow{dl_x}+\overrightarrow{dl_y}+\overrightarrow{dl_z}`$
$`=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$
$`=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$

**$`\mathbf{d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dl}}`$**
**$`\mathbf{=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}}`$**
**$`\mathbf{=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}}`$**

##### Scalaire déplacement élémentaire

* *COOSYS-240*

[FR] et sa norme el l'élément de longueur :

$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{dl_x^2+dl_y^2+dl_z^2}=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$

$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{\overrightarrow{dl}\cdot\overrightarrow{dl}}`$
$`=\left[(dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\cdot
(dl_x\;\overrightarrow{e_x}\right.`$
$`\left.+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$
$`=\left[(dl_x)^2\;(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_x})\right.`$
$`+(dl_y)^2\;(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_y})`$
$`+(dl_z)^2\;(\overrightarrow{e_z}\cdot\overrightarrow{e_z})`$
$`+(2\,dl_x\,dl_y)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_y})`$
$`+(2\,dl_x\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_z})`$
$`\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$
$`=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}`$
$`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$

##### Surfaces élémentaires

* *COOSYS-250*

Les 3 vecteurs $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$,
$`\quad d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et
$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2.

$`\Longrightarrow`$ :

L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs s'exprime 
simplement comme le produit de leurs normes. Et le volume défini par ces 3 vecteurs 
est simplement le produits de leurs normes.

-------------------

* *COOSYS-260*

Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dS`$** en coordonnées cartésiennes sont :

\- dans un plan $`z = cst`$ :<br>
$`\quad dS=dS_{xy}=dS_{yx}=dl_x\;dl_y=dx\;dy\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_y=dx\;dy}`$**<br>
\- dans un plan $`y = cst`$ :<br>
$`\quad dS=dS_{xz}=dS_{zx}=dl_x\;dl_z=dx\;dz\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_z=dx\;dz}`$**<br>
\- dans un plan $`x = cst`$ :<br>
$`\quad dS=dS_{yz}=dS_{zy}=dl_y\;dl_z=dy\;dz`$, **$`\mathbf{dS=dl_y\;dl_z=dy\;dz}`$**

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* *COOSYS-270*

et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$** correspondants sont :

$`d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_y`$
$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}`$
$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_y\;\overrightarrow{e_y})`$
$`=\pm\; dl_x\;dl_y\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_y})`$
$`= \pm \; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$

$`d\overrightarrow{S_{xz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_z`$
$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_z}`$
$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$
$`=\pm\; dl_x\;dl_z\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_z})`$
$`=\mp\; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$

$`d\overrightarrow{S_{yz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_y\land d\overrightarrow{OM}_z`$
$`=\pm\;\overrightarrow{dl_y}\land\overrightarrow{dl_z}`$
$`=\pm\; (dl_y\;\overrightarrow{e_y})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$
$`=\pm\; dl_y\;dl_z\;(\overrightarrow{e_y}\land\overrightarrow{e_z})`$
$`=\pm\; dy\;dz\;\overrightarrow{e_x}`$

##### Volume élémentaire

* *COOSYS-280*

Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées cartésiennes :

$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$ , **$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$**


#### Vecteur position

* *COOSYS-285*

Vecteur position d'un point $`M(x,y,z)`$ en coordonnées cartésiennes :<br>
[EN] Position vector of a point $`M(x,y,z)`$ in Cartesian coordinates:<br>

$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$

**$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}}`$**

#### Vecteur vitesse

* *COOSYS-290*

#### Vecteur accélération

* *COOSYS-295*

