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title: Géométrie et coordonnées
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### Géométrie et coordonnées niveau 4 : main

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!!!! *Attention : COURS EN CONSTRUCTION :*    
!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
!!!!  Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.   
!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.

<!--MétaDonnée : ... -->

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### Géométries non euclidienne

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*GEOM-NO-EUC-4.100* : variété et coordonnées
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#### Variété et coordonnées.


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*GEOM-NO-EUC-4.100* : Sur la notion d'espace
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<!-- Tenter ici de définir ce qu'est la notion intuitive d'espace
(CME-FR)   
Une première intuition que nous avons de la notion d'espace est l'ensemble des lieux du monde extérieur à notre être. Cette intuition se forge dans le fait que nous observons des corps, inertes ou vinants, autour de nous-mêmes. Ces corps sont observés dans différentes directions, situés plus ou moins loin. Cette perception d'un espace vient aussi du fait que nous pouvons volontairement nous déplacer dans cet espace, nous rapprocher ou nous éloigner de corps observés.

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*GEOM-NO-EUC-4.110* : de l'espace à la variété
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<!--(CME-FR)-->
Nous pouvons calculer des longueurs, surface et volume dans notre espace tridimensionnel intuitif, celui de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique.
Nous pouvons aussi être amené à calculer longueurs et surfaces de formes situées à la surface d'une sphère, ou de tout autre espace bidimensionnel.
Au-delà de la physique classique, la relativité nous apprend que l'espace et le temps ne sont pas indépendants. 
L'espace-temps est l'espace quadridimensionnel où se meuvent les évènements.

La notion intuitive restreinte de notre espace trimdimensionnel se choque avec une signification plus générale du mot "espace", désignant tout ensemble continu de points sur lequel des distances entre points peuvent être déterminés et mesurées.
 Afin de lever toute ambiguïté, ce concept plus général d'espace est désigné par le mot "variété".

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*GEOM-NO-EUC-4.120* : variété
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<!--(CME-FR)-->

Une variété est ainsi défini comme un ensemble continu de points qui peuvent être individuellement repérés par un même nombre de paramètres appelées coordonnnées. Le nombre minimum de coordonnées nécessaires pour repérer de façon unique tout point de la variété est nommé dimension de la variété. Le continuité de l'ensemble des points d'une variété de dimension $`n`$ vient du fait que chaque coordonnée est un nombre réel (des coordonnées complexes peuvent aussi être imaginées), et qu'à chaque séquence ordonnée de $`n`$ nombres réels peut être associé un point unique de la variété. Les coordonnées d'un point dune variété de
dimension $`n`$ se notent $`(x^1,x^2, ..., x^n)`$, et de façon abrégée $`x^i`$ en précisant que $`i`$ est un entier qui varie de $`1`$ à $`n`$.

!!! *Exemple* :   
!!! * L'espace euclidien est une variété de dimension 3.
!!! * La surface d'une sphère est une variété de dimension 2.
!!! * Une ligne continue est une variété de dimension 1.
!!! * Les espace-temps de la relativité restreinte ou de la relativité générale sont des variétés de dimension 4.


#### Invariant et géométrie

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*GEOM-NO-EUC-4.130* : Invariant et géométrie
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La distance quantifie par un nombre réel l'éloignement, la "quantité d'espace" entre deux points de notre espace perçu, tridimensionnel et euclidien. 
Son équivalent temporelle et la notion de durée qui permet de définir l'intervalle de temps entre deux dates.
La distance est une propriété géométrique entre deux points de l'espace. Une fois choisi l'étalon rigide qui définit l'unité de 
mesure des longueurs, la valeur de la distance entre deux points quelconques de l'espace est indépendante du système de coordonnée particulier utilisé : la distance est un invariant. Cette notion de distance est à la base des calculs de longueurs, d'aires et de volume. Elle intervient dans la défintion des concepts de position, de vitesse et d'accélération.

! *Note* :
! En mathématique, une distance $`d`$ définie sur un ensemble $`E`$ est une application de $`E\times E`$ vers l'ensemble des
! nombres réels positifs,    
!
! $`d : E\times E \longrightarrow \mathbb{R}^+`$      
! 
! qui vérifie trois propriétés :    
! * $`\forall (e_1,e_2)\in E \times E, d(e_1,e_2)=d(e_2,e_1)`$
! * $`\forall (e_1,e_2)\in E \times E, d(e_1,e_2)=0\Longleftrightarrow e_1=e_2`$
! * $`\forall (e_1,e_2)\in E^3, d(e_1,e_3)\le d(e_1,e_2) + d(e_2,e_3)`$



dans un système de coordonnées cartésiennes $`(O, x, y, z)`$ , la distance entre deux points $`M`$ et $`P`$ de coordonnées 
$`(x_M, y_M, z_M)`$ et $`(x_P, y_P, z_P)`$ 

, la distance entre deux points $`M`$ et $`P`$ de coordonnées cartésiennes $``$







#### Changement de coordonnées

Un système de coordonnée est une façon de définir les $`n`$ paramètres $`x^i`$ qui permettent de repérer tout point 
d'une variété de dimension $`n`$. Plusieurs systèmes peuvent être imaginés. 
...

Il est toujours possible de changer de système de coordonnées pour repérer les points d'une variété.

Considérons deux systèmes de coordonnées $`x^i`$ et $`x'^i`$ d'une variété de dimension $`n`$. 
Connaissant les coordonnées $`x^i`$ de tout point $`M`$, trouver les nouvelles coordonnées $`x'^i`$ du point $`M`$ necessite de connaître les $`n`$ fonctions $`x'_i=f_i(x_i)`$.

Par ailleurs, si les coordonnées $`x^i`$ vérifient une certaine équation $`g(x^i)=0`$, déterminer l'équation correspondante qui sera vérifiée par les nouvelles coordonnées $`x^i`$ nécessite de connaître les $`n`$ fonctions $`x_i=f'_i(x'_i)`$.











#### Invariant et métrique d'une variété




