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@@ -176,8 +176,21 @@ warning, ... , états stationnaires résultats d'équilibres en danger, ... épu
 
 <br>
 
-#### Qu'est-ce que modèle "proie-prédateur" de Lotka-Volterra ?
+#### Le modèle "proie-prédateur" de Lotka-Volterra
 
+<br><br>
+
+##### Qu'est-ce que modèle "proie-prédateur" de Lotka-Volterra ?
+
+* Le modèle de **Lotka-Volterra** est le *premier modèle proie-prédateur, le plus simple*, proposé
+  dès 1925 (Alfred J. Lotka <sub>[1]</sub>) et 1926 (Vito Volterra <sub>[2]</sub>).   
+  <br>
+  [1] _Lotka, A.J. Elements of physical biology. Elem. Phys. Biol. 1926, 82, 341–343._   
+  [2] _Volterra, V. Variazioni e fluttuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi._
+      _In Memoire della Real Accademia Nazionale._
+dei Lincei II; Rome, Italy, 1926; pp. 31–113
+
+<br>
 
 ##### De combien de variables décrit-il l'évolution?
 
@@ -189,15 +202,28 @@ warning, ... , états stationnaires résultats d'équilibres en danger, ... épu
    * un *nombre entier d'entités* au sein d'un système à l'instant $`t`$,   
      seules les valeurs entières prenant alors un sens.
 
-<!--------
-##### Quelle fut la motivation historique de ce modèle ?
----------->
+<br>
+
+##### Quels sont ses domaines d'application ?
 
+Les modèles proie-prédateur, du plus simple à ses développements ultérieurs, peuvent servir
+à modéliser et comprendre de nombreux phénomènes couvrant des disciplines très diverses.
+
+* Ecologie : dynamique d'espèces en compétition.
+* Chimie : phénomènes oscillatoire dans certaines réactions chimiques.
+* Sociologie :
+* Economie : 
+* ... (liste non limitative)
+
+Il suffit de reconnaître dans les équations et les paramètres des modèles une description 
+possible d'un phénomène observé, qu'il soit naturel ou culturel.
+
+<br>
 
 ##### Quelles sont les hypothèses fondatrices ?
 
 <br>
-Les variables $`X_1(t)`$ et $`Y_2(t)`$ ne jouent pas des rôles symétriques.   
+Les variables **$`X_1(t)`$ et $`X_2(t)`$** ne jouent *pas des rôles symétriques*.   
 L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
 
 <br>
@@ -268,36 +294,43 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
   <br>
       avec *$`(C_1\,,C_2\,,D_1\,,D_2)\in\mathbb{R}_+^4`$*.
 
+<br>
 
+##### Quelles sont les limites de ce modèle original ?
 
-##### Quelles sont les limites de ce modèle ?
-
-* à faire... les limites du modèle.
-
+* Les proies disposent de **ressources infinies pour croître**.
+* Le modèle décrit seulement l'évolution temporelle des populations :
+   * Avec ses degrés de liberté, **la dimension spatiale est négligée**,   
+     $`\Longrightarrow`$ les populations sont supposées réparties uniformément dans un espace
+        homogène en terme de ressources. Les paramètres $`C_1,\,C_2,\,D_1,\,D_2`$ sont des
+        moyennes sur l'espace considéré.
+   * $`\Longrightarrow`$ ne sont *pas décrits* les phénomènes de *gradients et de migrations* des populations, des proies vers des zones
+     plus nourriciaires ou moins peuplées en prédateurs, des prédateurs vers les proies.
+* Les systèmes à **trois populations et plus en interaction** ne sont *pas décrits*.
 
-Premières figures en attente. Questions à changer
+<br>
 
-##### Y a-t-il un équilibre des populations ?
+##### Quelle est l'évolution type des populations ?
 
-à faire
+à faire.
 
-![](lokta-volverra-balance-populations-1a_L1200.jpg)
+(a : évolutions temporelles ; b : trajectoire dans l'espace des configuration.)
 
-![](lokta-volverra-balance-populations-1b_L1200.gif)
+![](lokta-volverra-def-cycle_L1200.gif)
 
 <br>
 
-##### Que se passe t-il hors équilibre ?
+##### Existe-t-il un état d'équilibre des populations ?
 
-à faire
+à faire.
 
-![](lokta-volverra-def-cycle_L1200.gif)
+![](lokta-volverra-balance-populations-1a_L1200.jpg)
 
-<br>
+![](lokta-volverra-balance-populations-1b_L1200.gif)
 
-##### Quelles conditions mènent à l'extinction des populations ?
+<br>
 
-##### Comment représenter ... ?
+##### Comment représenter l'ensemble des états possibles ?
 
 à faire
 
@@ -327,6 +360,13 @@ Premières figures en attente. Questions à changer
 
 à faire... discrétisation, analyse numérique..
 
+
+##### Quelles sont les pistes d'amélioration du modèle ?
+
+à faire.
+
+(limitation des ressources à travers modélisée par une croissance)
+
 <!----------------
 
 <br>