Update cheatshhet.fr.md

12.temporary_ins/08.conservative-vector-fields/20.conservative-vector-fields-properties/20.overview/cheatshhet.fr.md

@@ -44,30 +44,30 @@ GRADIENT  D'UN  CHAMP SCALAIRE<br>_" du champ scalaire au champ vectoriel "_
 
   *Définition du gradient* :
   
-  Soit $`V`$ un champ scalaire.   
+  Soit $`\phi`$ un champ scalaire.   
   En un point quelconque de l'espace, un déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ induit
-  une variation élémentaire $`dV`$ de la valeur du champ.   
+  une variation élémentaire $`d\phi`$ de la valeur du champ.   
   
-  Le vecteur $`\overrightarrow{grad}\,V`$ réalise ne lien entre $`dV`$ et $`\overrightarrow{dl}`$ au point considéré :
+  Le vecteur $`\overrightarrow{grad}\,\phi`$ réalise ne lien entre $`d\phi`$ et $`\overrightarrow{dl}`$ au point considéré :
   
- $`\mathbf{dV=\overrightarrow{grad}\,V\cdot\overrightarrow{dl}}`$
+ $`\mathbf{d\phi=\overrightarrow{grad}\,\phi\cdot\overrightarrow{dl}}`$
  
  *Expressions du gradient*
  
    Coordonnées cartésiennes :   
    $`\begin{align}
-   \overrightarrow{grad}\,V &=\dfrac{\partial V}{\partial x}\,\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial V}{\partial y}\,\overrightarrow{e_y}+\dfrac{\partial V}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z} \\
-    &=\overrightarrow{\nabla}\,V
+   \overrightarrow{grad}\,\phi &=\dfrac{\partial \phi}{\partial x}\,\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial \phi}{\partial y}\,\overrightarrow{e_y}+\dfrac{\partial \phi}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z} \\
+    &=\overrightarrow{\nabla}\,\phi
     \end{align}`$
     
    &nbsp;&nbsp;avec opérateur nabla :
    &nbsp;&nbsp;$`\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\,\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y}\,\overrightarrow{e_y}+\dfrac{\partial}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z}`$
 
    Coordonnées cylindriques :   
-   $`\overrightarrow{grad}\,V=\dfrac{\partial V}{\partial \rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}+\dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial V}{\partial \varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}+\dfrac{\partial V}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z}`$
+   $`\overrightarrow{grad}\,\phi=\dfrac{\partial \phi}{\partial \rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}+\dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}+\dfrac{\partial \phi}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z}`$
 
    Coordonnées sphériques :   
-   $`\overrightarrow{grad}\,V=\dfrac{\partial V}{\partial r}\,\overrightarrow{e_r}+\dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial V}{\partial \theta}\,\overrightarrow{e_{\theta}}+\dfrac{1}{r\,sin\,\theta}\,\dfrac{\partial V}{\partial \varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+   $`\overrightarrow{grad}\,V=\dfrac{\partial \phi}{\partial r}\,\overrightarrow{e_r}+\dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \theta}\,\overrightarrow{e_{\theta}}+\dfrac{1}{r\,sin\,\theta}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
  
  
   
@@ -77,19 +77,19 @@ GRADIENT  D'UN  CHAMP SCALAIRE<br>_" du champ scalaire au champ vectoriel "_
   
   *Opérateur gradient*
   
-  L'opérateur $`\overrightarrow{grad}`$, appliqué à un champ scalaire $`V`$ et en un point de l'espace, donne
-  le vecteur $`\overrightarrow{grad}\,V`$
+  L'opérateur $`\overrightarrow{grad}`$, appliqué à un champ scalaire $`\phi`$ et en un point de l'espace, donne
+  le vecteur $`\overrightarrow{grad}\,\phi`$
   
   ---
   
   *Propriétés du gradient*
   
   En tout point de l'espace :
-  * $`\overrightarrow{grad}\,V`$ pointe en direction et sens où un
+  * $`\overrightarrow{grad}\,\phi`$ pointe en direction et sens où un
    vecteur déplacement  élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ de norme constante $`\Vert\overrightarrow{dl}\Vert`$ 
-   induit la variation élémentaire maximale $`dV_{MAX}`$ (>0).
+   induit la variation élémentaire maximale $`d\phi_{MAX}`$ (>0).
   * dans cette direction et sens de variation maximale :
-    $`\dfrac{dV_{MAX}}{\Vert\overrightarrow{dl}\Vert}=\Vert\overrightarrow{grad}\,V\Vert`$
+    $`\dfrac{d\phi_{MAX}}{\Vert\overrightarrow{dl}\Vert}=\Vert\overrightarrow{grad}\,\phi\Vert`$
   
   ---
 
@@ -105,7 +105,7 @@ CHAMP VECTORIEL CONSERVATIF<br>_" du champ vectoriel (conservatif) aux champs sc
   *Définition d'un champ vectoriel conservatif*
 
   Un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ est conservatif si et seulement si il s'identifie
-  au champ de gradient d'un champ scalaire :
+  au champ de gradient d'un champ scalaire $`\phi`$ :
 
   $`\mathbf{\overrightarrow{X}(\vec{r})\text{ est conservatif }}`$
   $`\mathbf{\Longleftrightarrow\;\exists\,\phi(\vec{r}), \overrightarrow{X(\vec{r})}=\overrightarrow{grad}\,\big(\phi(\vec{r})\big)}`$
@@ -115,7 +115,8 @@ CHAMP VECTORIEL CONSERVATIF<br>_" du champ vectoriel (conservatif) aux champs sc
   La circulation d'un champ vectoriel conservatif le long d'un chemin $`\Gamma`$
   
   $`\displaystyle\mathbf{\begin{align}\int_{M1}^{M2} \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dl}&=\int_{M1}^{M2} \overrightarrow{grad}(\phi}\cdot\overrightarrow{dl}\\
-  = \int_{M1}^{M2} d\phi}=\phi(M2)-\phi(M1)\end{align}}`$
+  = \int_{M1}^{M2} d\phi=\phi(M2)-\phi(M1)\\
+  \end{align}}`$