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@@ -274,388 +274,8 @@ warning, ... , états stationnaires résultats d'équilibres en danger, ... épu
 ### Modéliser un système  
 #####
 
-----------------
-
-
-! *Le MODELE "PROIE-PRÉDATEUR" de Lotka-Volterra*
-
-
-<!---#### Le modèle poie-prédateur de Lokta Volterra
-
-
-##### Qu'est-ce que modèle "proie-prédateur" de Lotka-Volterra ?
-
-* Le modèle de **Lotka-Volterra** est le *premier modèle proie-prédateur, le plus simple*, proposé
-  dès 1925 (Alfred J. Lotka <sub>[1]</sub>) et 1926 (Vito Volterra <sub>[2]</sub>).   
-  <br>
-  [1] _Lotka, A.J. Elements of physical biology. Elem. Phys. Biol. 1926, 82, 341–343._   
-  [2] _Volterra, V. Variazioni e fluttuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi._
-      _In Memoire della Real Accademia Nazionale._
-dei Lincei II; Rome, Italy, 1926; pp. 31–113
-
-<br>
-
-##### De combien de variables décrit-il l'évolution?
-
-* Le modèle "proie-prédateur" concerne un couple de variables réelles liées 
-  **$`\mathbf{\big(\,(X_1(t)\,,X_2(t)\,\big)\,\in\,\mathbb{R}_+^2}`$**   
-  <br>
-  Dans l'interprétation du modèle, elles **peuvent représenter** :
-   * la *valeur réelle d'une grandeur physique* continue à l'instant $`t`$.
-   * un *nombre entier d'entités* au sein d'un système à l'instant $`t`$,   
-     seules les valeurs entières prenant alors un sens.
-
-<br>
-
-##### Quels sont ses domaines d'application ?
-
-Les modèles proie-prédateur, du plus simple à ses développements ultérieurs, peuvent servir
-à comprendre et modéliser de nombreux phénomènes couvrant des **disciplines très diverses**.
-
-* *Ecologie* : dynamique d'espèces en compétition.
-* *Chimie* : phénomènes oscillatoire dans certaines réactions chimiques.
-* *Psychologie* : dynamique des relations intersonnelles.
-* *Sociologie* : ...
-* *Economie* : ...
-* ... (liste non limitative)
-
-Il suffit de reconnaître dans les **équations et paramètres** des modèles une *description possible*
-*d'un phénomène* observé, qu'il soit naturel ou culturel.
-
-<br>
-
-##### Quelles sont les hypothèses fondatrices ?
-
-<br>
-Les variables **$`X_1(t)`$ et $`X_2(t)`$** ne jouent *pas des rôles symétriques*.   
-L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
-
-<br>
-**Variable proie $`X_1(t)`$**
-
-* Elle représente le *nombre de proies*.
-* **hypothèse** : Les proies disposent de *nourriture en quantité illimitée*.   
-   * $`\Longrightarrow`$ **en absence de prédateur** rien ne s'oppose à un taux de croissance 
-      *$`\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^+`$ proportionnel à $`X_1`$*, le nombre de proies,   
-     conduisant à une croissance exponentielle.   
-     <br>
-     **$`\large{\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^+ \,=\,+\, C_1\, X_1(t)}\quad`$**, avec *$`C_1 \gt 0`$*.
-
-<br>
-
-**Variable prédateur $`X_2(t)`$**
-
-* Elle représente le *nombre de prédateurs*.
-* **hypothèse** : Les prédateurs *se nourrissent uniquement de proies*.  
-   * $`\Longrightarrow`$ **en absence de proie** les prédateurs meurent selon un taux de décroissance 
-      *$`\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^-`$ proportionnel au nombre $`Y`$* de prédateurs,   
-     conduisant à une décroissance exponentielle.   
-     <br>
-     **$`\large{\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^- \,=\,-\, D_2\, X_2(t)}\quad`$**, avec *$`D_2 \gt 0`$*.
-
-<br>
-
-**Interaction entre $`X_1(t)`$ et $`X_2(t)`$**
-
-* **hypothèses** : 
-   * Pour **une proie**, la *probabilité d'être tuée* par un prédateur et par unité de temps 
-     est *proportionnelle à $`X_2`$*,  nombre de prédateurs.
-    <br>
-   * Pour **un prédateur** La *probabilité de manger* une proie par unité de temps, lui permettant de survivre et de se repoduire, 
-     est *proportionnelle à $`X_1`$*, nombre de proies.   
-  <br>
-  Cela entraîne :   
-
-   * Pour la **population $`X_1`$ des proies**, le *taux de décroissance $`\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^-`$* dû 
-     à la prédation est *proportionnel à $`X_1(t)X_2(t)`$*, produit des nombres de proies et prédateurs :
-     <br>
-     **$`\large{\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^- \,=\,-\, D_1\;X_1(t)\,X_2(t)}\quad`$**, avec *$`D_1 \gt 0`$*.   
-     <br>
-   * Pour la **population $`X_2`$ des prédateurs**, le *taux de croissance $`\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^+`$* dû
-     à l'abondance de proies est *proportionnel à $`X_1(t)\,X_2(t)`$* :   
-     <br>
-     **$`\large{\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^+ \,=\,+\, C_2\;X_1(t)\,X_2(t)}\quad`$**, avec *$`C_2 \gt 0`$*. 
-
-<br>
-
-##### Quelle est l'expression mathématique de ce modèle ?
-
-* Le taux de variation temporelle de chacune des variables est la somme de sa composante
-      croissante et sa composante décroissante.   
-  <br>
-      $`\left\{\begin{array}{l}
-      \left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}=\;\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^+\;+\;\left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^-\\
-      \\
-      \left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}=\;\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^+\;+\;\left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}^-
-      \end{array}\right.`$
-
-* Les *hypothèses du modèle se traduisent par* le système d'équations différentielles :   
-  <br>
-      **$`\large{\left\{\;\begin{array}{l}
-      \left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}=\;\;C_1\;X_1(t)\;-\;D_1\;X_1(t)\,X_2(t)\\
-      \\
-      \left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\large{t}}=\,-\;D_2\;X_2(t)\;+\;C_2\;X_1(t)\,X_2(t)
-      \end{array}\right.}`$**    
-  <br>
-      avec *$`(C_1\,,C_2\,,D_1\,,D_2)\in\mathbb{R}_+^4`$*.
-
-<br>
-
-##### Quelles sont les limites de ce modèle original ?
-
-* Les proies disposent de **ressources infinies pour croître**.
-* Le modèle décrit seulement l'évolution temporelle des populations :
-   * Avec ses degrés de liberté, la **dimension spatiale** est **négligée**,   
-     $`\Longrightarrow`$ les populations sont supposées réparties uniformément dans un espace
-        homogène en terme de ressources. Les paramètres $`C_1,\,C_2,\,D_1,\,D_2`$ sont des
-        moyennes sur l'espace considéré.
-   * $`\Longrightarrow`$ ne sont *pas décrits* les phénomènes de *gradients* et de *migrations* des populations, des proies vers des zones
-     plus nourriciaires ou moins peuplées en prédateurs, des prédateurs vers les proies.
-* Les systèmes à **trois populations et plus en interaction** ne sont *pas décrits*.
-
-<br>
-
-##### Quel est un "état type" de ce modèle ?
-
-<!--ancien titre : Quelle est l'évolution type des populations ?
-
-1. Populations de *proies et prédateurs* évoluent en **cycles synchrones**.
-
-   * Par *évolution temporelle <sup>a</sup> d'une population*, il faut entendre ici **évolution de son effectif**. 
-   * <details><summary>Interprétation du phénomène.</summary>
-     La population de prédateur croît lorsqu'elle trouve proies en abondance.   
-     Lorsque le prélèvement sur la population de proies dépasse ses possibilités
-     de renouvellement, alors la population de proies décroît.
-     Lorsque la population de proies est insuffisante pour subvenir aux besoins vitaux des prédateurs,
-     la population de prédateurs décroît, jusqu'à ce que la population de proies subvienne à ses nouveaux besoins.
-     </details>
-   * Le **cycle complet** caractérise *un état du système* proie-prédateur.
-    
-   * Dans l'*espace des configuration <sup>b</sup>* du système proie-prédeteur, le *cycle* est représenté
-     par une **trajectoire fermée** parcourue dans un sens donné.
-
-2. Un **état du système** peut être défini par *$`(X_{1\,ini},X_{2\,ini})`$ à un instant $`t_{ini}`$*.
-   
-   * Les valeurs des paramètres $`C_1,\,C_2,\,D_1,\,D_2`$ et la donnée des effectifs des proies et des prédateurs
-     $`(X_{1\,ini},X_{2\,ini})`$ à un instant quelconque appelé instant initial $`t_{ini}`$ est **suffisant pour déterminer les populations** 
-     de proies et de prédateurs *à tout instant passé ou futur*.
-   * Inconvenient : il existe une infinité d'instants $`t_{ini}`$ et de couples associés
-     *$`(X_{1\,ini},X_{2\,ini})`$ représentants un état du système.
-   * Justification : La prévision avec le modèle commence souvent "sur le terrain" à recenser
-     les populations $`(X_{1\,ini},X_{2\,ini})`$ à une date $`t_{ini}`$ donnée.
-
-
-![](lokta-volverra-def-cycle_L1200.gif)
-!!! <details markdown=1>
-!!! <summary>Légende de la figure</summary>
-!!! * *a : représentation temporelle* d'un état particulier $`(X_1(t),X_2(t)`$ du système proie-prédateur.
-!!! * *b :* représentation du même état particuler $`(X_1,X_2)`$ dans l'*espace des configurations* du système
-!!! proie-prédateur.
-!!! * *Le système* est défini par les valeurs de paramètre : C<sub>1</sub>=2 u<sub>t</sub><sup>-1</sup>,
-!!! D<sub>1</sub>=0,000666666 (P.u<sub>t</sub>)<sup>-1</sup>, C<sub>2</sub>=0,0001 (p.u<sub>t</sub>)<sup>-1</sup>,
-!!! D<sub>2</sub>=0,5 u<sub>t</sub><sup>-1</sup><br>
-!!! avec p : unité "proie", P : unité "prédateur" ; u<sub>t</sub> : unité arbitraire de temps.
-!!! * *L'état particulier* représenté par la trajectoire fermée dans l'espace des configurations est défini
-!!! par l'un des points de la trajectoire atteint à l'instant initial t<sub>ini</sub>=0, le point :<br>
-!!! (X<sub>1 ini</sub>=3000 , X<sub>2 ini</sub>=1791).
-!!! </details>
-
-
-3. La **périodicité $`T`$** est une *caractérique d'un état* du système.
-
-   * Dans l'*espace des configurations*, chaque *trajectoire* fermé représentant un état du système
-     est **parcourue** dans un sens donné **à vitesse non constante**. 
-   * Chaque point de cette trajectoire, couple de valeurs $`(X_1, X_2)`$ prises en un même instant,
-     est traversé **avec la périodicité $`T`$**.
-
-4. La **population des proies** évolue entre *deux valeurs limites* $`X_{1\,min}`$ et $`X_{1\,max}`$
-
-   * Lorsque la variable **$`X_1`$** représente une **population d'entités discrètes**,   
-     et que la *partie entière* de sa valeur absolue égale le *nombre d'entités* au sein de la population,    
-     alors une valeur minimum inférieure à l'unité signifie l'extinction
-     des proies, et en conséquence à terme celle des prédateurs :   
-     <br>
-     *$`\mathbf{X_{1\,min}\,\lt\,1\quad\Longrightarrow}\quad`$* **extinction des proies**.   
-     <br>
-     Le *cycle* qui mathématiquement continue *doit être arrêté*.
-     
-5. La **population des prédateurs** évolue entre *deux valeurs limites* $`X_{2\,min}`$ et $`X_{2\,max}`$
- 
-   * De même manière qu'au point précédent, si **$`X_2`$** représente une **population d'entités discrètes** alors :   
-     <br>
-     *$`\mathbf{X_{2\,min}\,\lt\,1\quad\Longrightarrow}\quad`$* **extinction des prédateurs**.   
-     <br>
-     Le *cycle* qui mathématiquement continue *doit être arrêté*.   
-     Soit la population de proie est ou s'éteint, soit elle repart avec une croissance exponentielle.
-
-<br>
-
-##### Existe-t-il un "état stationnaire" dans ce modèle ?
-
-* Un **état stationnaire** noté $`(X_1^*,X_2^*)`$** est caréctérisé par des effectifs de *populations stationnaires $`X_1`$ et $`X_2`$*.
-
-* Des populations stationnaires $`X_1^*`$ et $`X_2^*`$ sont des populations dont *les effectifs*
-  *ne varient pas dans le temps*, donc telles que leurs
-  **dérivées premières $`dX_1^*/dt\text{  et  }dX_2^*/dt`$** sont **nulles à tout instant**.   
-  <br>
-  **$`\left.\begin{array}{l}
-    \forall t \in \mathbb{R}, \\
-    \left.\dfrac{dX_1^*}{dt}\right\vert_{\,\large{t}}=0 \\
-    \left.\dfrac{dX_2^*}{dt}\right\vert_{\,\large{t}}=0
-    \end{array}\right\}
-    \Longrightarrow\;(X_1^*,X_2^*)`$** est **stationnaire**.
-
-<br>
-
-![](lokta-volverra-balance-populations-1a_L1200.jpg)
-
-* Mathématiquement, il existe deux états stationnaires.
-   * L'état $`(X_1^*=0\,,\,X_2^*=0)`$ vérifie les conditions de stationnarité.    
-     Mais cet état n'est pas intéressant, car il correspond à l'absence de proies et de prédateurs.   
-     Le modèle décrit alors l'évolution de populations qui n'existent pas.   
-    <br>
-   * L'état **$`(X_1^*=D_2/C_2\,,\,X_2^*=C_1/D_1)`$** est l'*unique cas stationnaire* intéressant.   
-     <br>
-     **$`\mathbf{\left.\begin{array}{l}
-      \forall t \in \mathbb{R},\\
-      X_1^*(t) = \dfrac{D_2}{C_2} =X_1^*\\
-      X_2^*(t) = \dfrac{C_1}{D_1} = X_2^*
-      \end{array}\right\}}`$**
-
-      $`\Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}
-      \forall t \in \mathbb{R}, \\
-      \left.\dfrac{dX_1^*}{dt}\right\vert_{\,\large{t}}=+C_1\,\dfrac{D_2}{C_2}-D_1\,\dfrac{D_2}{C_2}\dfrac{C_1}{D_1}\\
-      \left.\dfrac{dX_2^*}{dt}\right\vert_{\,\large{t}}=-D_2\,\dfrac{C_1}{D_1}+C_2\,\dfrac{D_2}{C_2}\dfrac{C_1}{D_1}
-      \end{array}\right.`$
-      
-      **$`\mathbf{\Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}
-      \forall t \in \mathbb{R}, \\
-      \left.\dfrac{dX_1^*}{dt}\right\vert_{\,\large{t}}=0\\
-      \left.\dfrac{dX_2^*}{dt}\right\vert_{\,\large{t}}=0
-      \end{array}\right.}`$**
-      
-* L'*état stationnaire* est **un point dans l'espace des configuration**.  
-
-![](lokta-volverra-balance-populations-1b_L1200.gif)
-
-<!--pas très important, supprimé--------------------------------------
-* Lorsque le modèle est fixé par les valeurs des paramètres $`C_1, C_2, D_1, D_2`$, il peut
-  être caractérisé par son état stationnaire $`(X_1^*=D_2/C_2\,,\,X_2^*=C_1/D_1)`$.   
-  Mais un état stationnaire ne caractérise pas un modèle. Il existe une infinité de quadruplets
-  $`(C_1, C_2, D_1, D_2)`$ qui conduisent à un même état stationnaire.
---------------------------------------------------------------------
-
-! *Remarque :*
-! * Les *valeurs stationnaires* $`X_1^*`$ et $`X_2^*`$ représente un *nombre d'entités* dans
-! chaque population.
-! * Cela ne signifie pas que les individus composants ces populations sont éternels.   
-! En général *la population évolue dans ses entités* individuelles. Une naissance et un décès simultanés
-! laissent l'effectif de la population inchangé.
-
-!!!! *Attention :*
-!!!! * L'*état stationnaire* d'un modèle proie-prédateur de Lokta Volterra n'est *pas un état limite* 
-!!!!   vers lequel tendrait, avec le temps, tout état quelconque.  
-!!!! * *Chaque état est indépendant*, et correspond à des *fluctuations périodiques perpétuelles*.
-!!!! * Ce modèle ne prévoit *pas de transitions entre états* : les trajectoires fermées de l'espace des configurations
-!!!! ne se coupent pas, chaque point appartient à un seul état.
-
-!! *Pour aller plus loin :*
-!! * Ce modèle historique proie-prédateur de Lokta Volterra, modèle historique, a donné naissance à toute une
-!! *série de modèles proie-prédateur plus sophistiqués*.   
-!! * Une *première évolution* serait de considérer que les proies ne disposent *pas de ressources infinies*, et donc
-!! que même en absence de prédateur, leur population serait limitée.
-!! * La *possibilité la plus simple* pour rendre compte de ce fait est de serait de considérer pour les proie 
-!! un *taux de croissance logistique*, et non plus exponentiel.   
-!! Les oscillations des populations $`X_2`$ et $`X_2`$ diminueraient alors avec le temps, et 
-!! *mèneraient vers des populations stationnaires* qui sont précisément celles données par l'état stationnaire
-!! $`(X_1^*=D_2/C_2\,,\,X_2^*=C_1/D_1)`$.    
-!! *Dans l'espace des phases*, un état ne serait plus représenté par une trajectoire fermée, mais
-!! par une *trajectoire ouverte en spirale* qui se terminerait au point représentant l'état stationnaire.
-
-     
-<br>
-
-##### Comment représenter l'ensemble des états possibles ?
-
-à faire
-
-![](lokta-volverra-cyclic-populations_L1200.gif)
-
-![](lokta-volverra-vector-field_L1200.jpg)
-!!! <details markdown=1>
-!!! <summary>Légende de la figure</summary>
-!!! à faire.
-!!! </details>
-
-<br>
-
-
-##### Quelle est la sensibilité aux paramètres d'interaction ?
-
-à faire
-
-![](lokta-volverra-variation-C2_L1200.gif)
-
-![](lokta-volverra-variation-D1_L1200.gif)
-!!! <details markdown=1>
-!!! <summary>Légende de la figure</summary>
-!!! à faire.
-!!! </details>
-
-<br>
-
-##### Pourquoi la modélisation est-elle indispensable ?
-
-à faire
-
-<br>
-
-##### Quels pièges éviter pour une modélisation satisfaisante ?
-
-à faire... discrétisation, analyse numérique..
-
-<br>
-##### Quelles sont les pistes d'amélioration du modèle ?
-
-à faire.
-
-(limitation des ressources à travers modélisée par une croissance)
-
-<!----------------
-
-<br>
-
-
- modèle "proie-prédateur" de Lotka-Volterra* 
-
-* Système d'ordre 1 et de dimension 2 (une première approche dynamique des populations ou un cours transverse sur les systèmes)
-   * **$`\left\{\begin{array}{l} \dfrac{dx}{dt} = f(x,y)\\ \dfrac{dy}{dt}=g(x,y) \end{array}\right.`$** 
-       avec par exemple le modèle proies prédateurs de Lotka-Volterra : $`f(x,y)= a\cdot x -b\cdot xy`$ et $`f(x,y)= - c\cdot x +d\cdot xy`$ (à ce niveau 3?) 
-
-
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-
-##### Croissance par division
-
-* Effectif population initiale : $`N_0`$
-
-* En absence de mortalité, effectif de chaque génération :   
-   * $`N_1=2\times N_0=2\,N_0`$
-   * $`N_2=2\times N_1=2^2\,N_0`$
-   * $`N_3=2\times N_2=2^3\,N_0`$
-   * \dots
-   * $`N_i=2\times N_{i-1}=2^i\,N_0`$
-
-* Temps de génération $`G`$
-
-$`\quad G=\dfrac{\text{intervalle de temps}}{\underbrace{\text{nombre de division}}_{\ge\;1} \text{ d'une cellule initiale}}`$
-
---
-
-
-<br>
+-----
 
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 ! *Le MODELE de la "PERSISTANCE"*