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12.temporary_ins/69.waves/30.n3/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -845,6 +845,8 @@ $`\quad\boldsymbol{\mathbf{=\color{brown}{2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\va
      **$`\boldsymbol{\mathbf{\underline{U_1}(x,t) = A\cdot e^{\,i\;(\omega t - kx + \varphi_1)}}}`$**    
      **$`\boldsymbol{\mathbf{\underline{U_2}(x,t) = A\cdot e^{\,i\;(\omega t - kx + \varphi_2)}}}`$**   
    <br>
+
+<!---------------------
    soit encore :   
    <br>
      $`\begin{align}\underline{U_1}(x,t) &= \underline{A_1}\cdot e^{\,i\;(\omega t - kx)}\\
@@ -854,6 +856,7 @@ $`\quad\boldsymbol{\mathbf{=\color{brown}{2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\va
        &\quad\quad\text{avec }\underline{A_2} = A_2\,e^{\,i\;\varphi_2}\end{align}`$.  
      <br>
     ou $`\underline{A_2}`$ et $`\underline{A_2}`$ sont les amplitudes complexes des deux ondes.
+---------------------------->
   
 * Calcul de l'onde complexe résultante :  
   <br>
@@ -863,66 +866,32 @@ $`\quad\boldsymbol{\mathbf{=\color{brown}{2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\va
   <br>
   $`\color{blue}{\scriptsize{\quad\text{mettons en commun les termes qui peuvent l'être}}}`$   
   <br>
-  $`\quad =A\;e^{\,i\;(\omega t\,-\, kx)}`$ $`\cdot\big(\,e^{\,i\varphi_1}\,+\,e^{\,i\varphi_1}\big)`$   
+  $`\quad =A\;e^{\,i\;(\omega t\,-\, kx)}`$
+  $`\cdot\big(\,e^{\,i\varphi_1}\,+\,e^{\,i\varphi_1}\big)`$   
   <br>
-  $`\quad =A\;e^{\,i\;(\omega t\,-\, kx)}
-   \cdot\left(\,e^{\,i\left(\frac{\varphi1 + \varphi2}{2}\;+\;\frac{\varphi1-\varphi2}{2}\right)
-   }
-   \,+\,
+  $`\quad =A\;e^{\,i\;(\omega t\,-\, kx)}`$
+  $`\cdot\left(\,e^{\,i\left(\frac{\varphi1 + \varphi2}{2}\;+\;\frac{\varphi1-\varphi2}{2}\right)
+   }`$
+   $`\,+\,
    e^{\,i\;\left(\frac{\varphi1 + \varphi2}{2}\;-\;\frac{\varphi1-\varphi2}{2}\right)}\right)`$   
    <br>
    $`\color{blue}{\scriptsize{\quad \text{utilisons } exp\,(a+b)\;=\; exp\,(a)\;+\; exp\,(b)}}`$  
    $`\color{blue}{\scriptsize{\quad\text{et regroupons encore les termes communs.}}}`$   
    <br>
-   $`A\;e^{\,i\;(\omega t\,-\, kx)\,e^{\,i\left(\frac{\varphi1 + \varphi2}{2}\right)}`$
+   $`\quad = A\;e^{\,i\;(\omega t\,-\, kx)}\,e^{\,i\left(\frac{\varphi1 + \varphi2}{2}\right)}`$
    $`\cdot\big(\,e^{\,i\left(\frac{\varphi1-\varphi2}{2}\right)}\,+\,e^{\,-\,,i\;\left(\frac{\varphi1-\varphi2}{2}\right)}\big)`$
-
-
-
-  $`\quad =A\;\big[\,e^{\,i\;(\alpha\, +\, \varphi_1)} + e^{\,i\;(\alpha\, + \,\varphi_2)} \,\big]`$
    <br>
-  $`\color{blue}{\scriptsize{\quad\text{Rappel : } e^{\,i\;(a+b)}\;=\;e^{\,i\,a}\times e^{\,i\,b}}}`$   
+   $`\color{blue}{\scriptsize{\quad \text{utilisons } exp\,(i\,a)\,+\,exp\,(-\,i\,a)\;=\;2\,cos\,a}`$  
    <br>
-  $`\quad =A\;\big[ \,e^{\,i\,\alpha}\;e^{\,i\,\varphi_1}\; + \; e^{\,i\,\alpha}\;e^{\,i\,\varphi_2}\,\big]`$   
-  $`\quad =A\;e^{\,i\,\alpha}\;\big[\,e^{\,i\,\varphi_1}\; + \; e^{\,i\,\varphi_2}\,\big]`$    
-
-* Pour exprimer l'onde en notation réelle, il faut **décomposer l'onde complexe** en ses *parties réelle et imaginaire* :   
+   $`\quad = A\;e^{\,i\;(\omega t\,-\, kx)}\,e^{\,i\left(\frac{\varphi1 + \varphi2}{2}\right)}`$
+   $`\cdot cos\left(\dfrac{\varphi1-\varphi2}{2}\right)`$   
   <br>
-  $`\color{blue}{\scriptsize{\quad\text{Rappel : }e^{\,i\,a} = cos (a) + i\,sin (a)}}`$   
-  $`\color{blue}{\scriptsize{\quad\text{et pour simplifier l'écriture, posons la notation :}}}`$   
-  $`\color{blue}{\scriptsize{\quad\ cos\,(a) = "ca" \text{ , et  } sin\,(a) = "sa"}}`$   
+   $`\quad = A\;cos\left(\dfrac{\varphi1-\varphi2}{2}\right)\;e^{\,i\;(\omega t\,-\, kx\,+\,\left(\frac{\varphi1 + \varphi2}{2}\right)}`$   
    <br>
-  $`\quad =A\cdot(c\alpha\,+\,i\,s\alpha) \cdot (c\varphi_1\,+\,i\,s\varphi_1\,+\,c\varphi_2\,+\,i\,s\varphi_2)`$  
+  L'onde réelle est donc :  
   <br>
-  $`\quad =A\cdot(c\,\alpha\;+\;i\,s\,\alpha) \cdot \big[\,(c\varphi_1+c\varphi_2)`$$`\,+\, i\,(s\varphi_1+s\varphi_2)\,\big]`$   
+  $`\quad\boldsymbol{\mathbf{=\color{brown}{2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big) \cdot cos\Big(}\color{blue}{\underbrace{\color{brown}{\omega t - kx + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}}_{\text{pulsation }\omega\text{ inchangée}}}\color{brown}{\Big)}}}`$
 
-* L'onde réelle est la partie réelle de $`\underline{U}(x,t)`$ :   
-  <br>
-  $`\mathbf{U(x,t)} = \mathscr{Re}[\,\underline{U}(x,t)\,]`$  
-  <br>
-  $`\quad =A\cdot\big[\,c\alpha\,(c\varphi_1+ c\varphi_2) - s\alpha\,(s\varphi_1+ s\varphi_2)\,\big]`$   
-  <br>
-  $`\color{blue}{\scriptsize{\quad\left| \begin{align}  &cos(a+b)=cos(a)\,cos(b)-sin(a)\,sin(b)\\
-                                  &cos(a-b)=cos(a)\,cos(b)+-sin(a)\,sin(b)\end{align}\right.}}`$   
-  $`\color{blue}{\scriptsize{ \quad\Longrightarrow  cos(a+b)+cos(a-b)=2\,cos(a)\,cos(b)}}`$   
-  $`\color{blue}{\scriptsize{ \quad\text{En posant  } p=a+b \text{ et  } q=a-b\;,}}`$   
-  $`\color{blue}{\scriptsize{\quad \text{nous obtenons  } a = (p+q)\,/\,2 \text{ et  }  b = (p-q)\,/\,2.}}`$   
-  $`\color{blue}{\scriptsize{ \quad\text{Nous retrouvons ainsi  }}}`$
-  $`\color{blue}{\scriptsize{ \quad\quad cos(p) + cos(q) = 2\,cos\Big(\dfrac{p+q}{2}\Big)\,cos\Big(\dfrac{p-q}{2}\Big)}}`$ 
-  <br>
-  $`\color{blue}{\scriptsize{ \quad\text{De même nous retrouverions }}}`$   
-  $`\color{blue}{\scriptsize{ \quad\quad sin(p) + sin(q) = 2\,sin\Big(\dfrac{p+q}{2}\Big)\,cos\Big(\dfrac{p-q}{2}\Big)}}`$    
-  <br>
-  $`\quad \begin{align}=A\;\Big[\,&c\alpha\cdot 2\,c\Big(\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}\Big)\,c\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\\
-     &- s\alpha\cdot 2\,s\Big(\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}\Big)\,c\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\end{align}`$   
-  <br>
-  $`\quad \begin{align}=2\,A\;&c\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\\
-     &\times \Big[ \,c\alpha\,c\Big(\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}\Big)-s\alpha\,s\Big(\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}\Big)\,\Big]
-     \end{align}`$   
-  <br>
-  $`\quad =2\,A\;c\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,c\Big(\alpha + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}\Big)`$   
-  <br>
-  **$`\boldsymbol{\mathbf{\quad =2\,A\;cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,cos\Big(\omega t - kx + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}\Big)}}`$**
   <br>
   Bien sûr nous obtenons le même résultat qu'avec le calcul en notation réelle.