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12.temporary_ins/08.grad-div-rot/70.combinaisons-of-operators/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -9,6 +9,9 @@ lessons:
       order: 1
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+<!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
+$`\def\dens{\large{\varrho}\normalsize}`$
+
 !!!!  <details>
 !!!! <summary> Cours en construction, non validé à ce stade </summary>  
 !!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
@@ -137,18 +140,18 @@ PRINCIPALES COMBINAISONS
 
 #### Pourquoi combiner des opérateurs ?
 
-Les opérateurs **$`\overrightarrow{grad},\,div`$ et $`\overrightarrow{rot}`$** caractérisent en tout 
+* Les opérateurs **$`\mathbf{\overrightarrow{grad},\,div}`$ et $`\mathbf{\overrightarrow{rot}}`$** caractérisent en tout 
 point de l'espace une propriété physique importante des champs sur lesquels ils s'appliquent. 
 Ils ont une existence en soi, plus fondamentale que leurs expressions dans 
 les différents systèmes de coordonnées.   
-
-Ce sont des **opérateurs différentiels d'ordre un* : leurs expressions dans les différents systèmes 
+<br>
+Ce sont des **opérateurs différentiels d'ordre un** : leurs expressions dans les différents systèmes 
 de coordonnées n'utilisent que des *dérivées partielles spatiales du premier ordre*.
 
 !!! *Exemples* :   
 !!! * en électrostatique $`\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V`$ qu'il existe une famille 
 !!! de champs scalaires $`V`$ dont le champ électrostatique $`\overrightarrow{E}`$ peut dériver.
-!!! * en électrostatique $`div\,\overrightarrow{E}=\rho_charge^{\;3D}\,/\,\epsilon_0`$ indique que
+!!! * en électrostatique $`div\,\overrightarrow{E}=\dens_{charge}^{\;3D}\,/\,\epsilon_0`$ indique que
 !!! le champ électrostatique $`\overrightarrow{E}`$ converge ou diverge sur la charge électrique qui le cause.   
 !!! La charge peut aussi apparaître comme une propriété du champ électrostatique.
 !!! * en magnétostatique, $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}^{3D}`$ indique
@@ -156,7 +159,7 @@ de coordonnées n'utilisent que des *dérivées partielles spatiales du premier
 !!! $`\overrightarrow{j}^{3D}`$ qui le créé dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{j}^{3D}`$.
 
 
-Cependant les **lois physiques** se traduisent souvent par des **équations différentielles d'ordre deux** : 
+* Cependant les **lois physiques** se traduisent souvent par des **équations différentielles d'ordre deux** : 
 leurs expressions dans les différents systèmes  de coordonnées n'utilisent que des 
 *dérivées partielles spatiales du second ordre*.
 
@@ -167,14 +170,33 @@ leurs expressions dans les différents systèmes  de coordonnées n'utilisent qu
 !!! * L'équation de diffusion d'une grandeur physique de densité $`\Phi(x,y,z,t)`$ s'écrit
 !!! $`\displaystyle\dfrac{\partial \Phi(\vec{r},t)}{\partial t}=\sum_{x_i=1}^3\sum_{x_j=1}^3\dfrac{\partial}{\partial x_i}\Bigg[\mathscr{D}(\Phi,\vec{r})\,\dfrac{\partial \Phi(\vec{r},t)}{\partial x_j}\Bigg]`$
 
-Ainsi les **expressions vectorielles des lois physiques**, utiles car *indépendantes des systèmes de coordonnées*, 
-nécessitent des **combinaisons successives de** *deux opérateurs du premier ordre* pour obtenir un opérateur du second ordre.
+* Ainsi les **expressions vectorielles des lois physiques**, utiles car indépendantes des systèmes de coordonnées, 
+nécessitent des *combinaisons de deux opérateurs du premier ordre* pour obtenir un opérateur du second ordre.
 <br>
 
 #### Quelles sont les combinaisons possibles ?
 
-<br>
------->
+* Les opérateurs différentiels de premier ordre principalement utilisés en physique sont au nombre de 3.
+
+* Le nombre de séquences ordonnées 2 éléments, avec répétition possible d'un même élément, parmi 3 éléments est 9. 
+
+!! *Pour aller plus loin* :   
+!!  En mathématique combinatoire et dénombrement :   
+!! * une séquence de deux éléments $`a`$ et $`b`$ est ordonnée si l'ordre à un sens, donc si
+!! $`(a,b)\ne(b,a)`$. Une séquence ordonnée s'appelle une suite.
+!! * Une suite de 2 éléments parmi 3 s'appelle un arrangement.
+!! * Lorsque la répétition $`(a,a)`$ d'un élément $`a`$ est permise, l'arrangement est dit avec répétition.
+!! * Le nombre d'arrangements avec répétition de p éléments d'un emsemble de n éléments s'écrit et se calcule :   
+!! $`\BigA_n^p=n^p`$.
+!! Le nombre d'arrangements avec répétition de 2 éléments parmi 3 égale 
+!! $`\BigA_3^2=3^2=9`$.
+
+* Cependant, les opérateurs **$`\mathbf{\overrightarrow{grad},\,div,\,\overrightarrow{rot}}`$** 
+ ne sont *pas du même type*.
+   * $`\overrightarrow{grad}`$ s'applique à un champ scalaire et donne un champ vectoriel.
+   * $`div`$ s'applique à un champ vectoriel et donne un champ scalaire.
+   * $`\overrightarrow{rot}`$ s'applique à un champ vectoriel et donne un champ vectoriel.
+   
 
 
 ### Combinaisons pour l'étude des phénomènes de propagation