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12.temporary_ins/69.waves/30.n3/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -51,16 +51,14 @@ $`\newcommand{\ddpt}[1]{\overset{\large\bullet\bullet}{#1}}`$
 
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 * Soient deux ondes harmoniques synchrones, d'amplitudes égales, se propageant vers les $`x`$ positifs :   
      $`U_1(x,t) = A\cdot cos(kx - \omega t + \varphi_1)`$.  
      $`U_2(x,t) = A\cdot cos(kx - \omega t + \varphi_2)`$.
 
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-$`\color{brown}{\mathbf{U(x,t)}}\; = U_1(x,t) + U_2(x,t)`$   
+* Calcul de l'onde résultante :   
+  <br>
+  $`\color{brown}{\mathbf{U(x,t)}}\; = U_1(x,t) + U_2(x,t)`$   
 <br>
 $`\begin{align} \quad &=A\;\big[\,cos(\underbrace{kx - \omega t}_{\color{blue}{\text{  posons }\\ kx - \omega t \,=\, \alpha}} + \varphi_1) + cos(\underbrace{kx - \omega t}_{\color{blue}{=\; \alpha}} + \varphi_1)\,\big]
 &\\
@@ -83,18 +81,6 @@ $`\quad\boldsymbol{\mathbf{=\color{blue}{\underbrace{\color{brown}{2\,A\cdot cos
 
 
 
-
-* L'onde résultante $`U = U_1 + U_2`$ :   
-  $`\begin{align} U(x,t) &= U_1(x,t) + U_2(x,t) \\
-  &\\
-  &= A\;\big[cos(\underbrace{kx - \omega t}_{\text{posons } kx - \omega t = \alpha} + \varphi_1)
-      + cos(\underbrace{kx - \omega t}_{\alpha} + \varphi_2)\big]
-  \end{align}`$
-
-@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
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-
 RÉSUMÉ
 : ---   
 
@@ -535,19 +521,41 @@ Le modèle mathémait
 
 ##### Ondes unidimensionnelles se propageant dans la même direction
 
+
 ![](waves_sum_2_progressives_meme_sens_v2.gif)
 
+
 * Soient deux ondes harmoniques synchrones, d'amplitudes égales, se propageant vers les $`x`$ positifs :   
      $`U_1(x,t) = A\cdot cos(kx - \omega t + \varphi_1)`$.  
      $`U_2(x,t) = A\cdot cos(kx - \omega t + \varphi_2)`$.
 
-* L'onde résultante $`U = U_1 + U_2`$ :   
-  $`\begin{align}
-  U(x,t) &= U_1(x,t) + U_2(x,t) \\
-  &\\
-  &= A\;\big[cos(\underbrace{kx - \omega t}_{\text{posons kx - \omega t = \alpha} + \varphi_1)
-      + cos(\underbrace{kx - \omega t}_{\alpha} + \varphi_2)\big]
-  \end{align}`$
+* Calcul de l'onde résultante :   
+  <br>
+  $`\color{brown}{\mathbf{U(x,t)}}\; = U_1(x,t) + U_2(x,t)`$   
+<br>
+$`\begin{align} \quad &=A\;\big[\,cos(\underbrace{kx - \omega t}_{\color{blue}{\text{  posons }\\ kx - \omega t \,=\, \alpha}} + \varphi_1) + cos(\underbrace{kx - \omega t}_{\color{blue}{=\; \alpha}} + \varphi_1)\,\big]
+&\\
+&=A\;\big[\,cos\Big(\alpha + \dfrac{\varphi_1+\varphi_1}{2} + \dfrac{\varphi_2-\varphi_2}{2}\Big) \\
+&\quad\quad\quad\quad + \,cos\Big(\alpha + \dfrac{\varphi_2+\varphi_2}{2} + \dfrac{\varphi_1-\varphi_1}{2}\Big)\,\Big]\\
+&\\
+&=A\;\big[\,cos\Big(\underbrace{\alpha + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{=\;\alpha '}} + \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big) \\
+&\quad\quad\quad\quad + \,cos\Big(\underbrace{\alpha + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{\text{nous avons posé }\\ \alpha + (\varphi_1+\varphi_2)/2\; = \;\alpha '}} - \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,\Big]\\
+&\\
+&=A\;\big[\,cos\Big(\alpha ' + \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big) \\
+&\quad\quad\quad\quad + \,cos\Big(\alpha ' - \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,\Big]\\
+&\\
+&=A\;\big[\,\underbrace{cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,-\,sin(\alpha ')\,sin\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{\text{car   }cos(a+b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;-\;sin\,a\,sin\,b}}\big)\\
+&\quad + \underbrace{cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,+\,sin(\alpha ')\,sin\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{\text{car   }cos(a-b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;+\;sin\,a\,sin\,b}}\big)\,\Big]\\
+&\\
+&=2\,A\cdot cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)
+\end{align}`$   
+<br>
+$`\quad\boldsymbol{\mathbf{=\color{blue}{\underbrace{\color{brown}{2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)}}_{\text{amplitude de l'onde résultante}}} \color{brown}{\cdot cos\Big(}\color{blue}{\underbrace{\color{brown}{kx - \omega t + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}}_{\text{pulsation }\omega\text{ inchangée}}}\color{brown}{\Big)}}}`$
+
+* Je remarque que :
+   * L'onde résultante est harmonique.
+   * Elle a la même fréquence que les deux ondes initiales
+   * Amplitude :