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Update 12.temporary_ins/08.conservative-vector-fields/20.conservative-vector-fields-properties/20.overview/cheatsheet.fr.md

12.temporary_ins/08.conservative-vector-fields/20.conservative-vector-fields-properties/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -10,6 +10,337 @@ lessons:
 ---
 
 
+<!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
+$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
+$`\def\Ltau{\Large{\tau}\normalsize}`$
+
+!!!!  <details>
+!!!! <summary> Cours en construction, non validé à ce stade </summary>  
+!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
+!!!!  Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.   
+!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
+!!!! </details>
+
+<!------Commentaire----------------------------
+!  *Thème* :<br>
+! *Electrostatique / Démonstration du théorème de Gauss, forme intégrale et forme locale*<br>
+! Guide pour établir les 3 parties : main, overview, beyond<br>
+!
+!  (_précède le thème : Electrostatique : Application du théorème de Gauss, forme intégrale et forme locale._)
+----------------------------------------------->
+
+##### Randonnée Contreforts :&nbsp; _toute spécialité_
+
+---------------------------
+
+### PHYSIQUE GÉNÉRALE
+
+
+### Définitions et propriétés<br>**Gradient**<br>**Champs vectoriels conservatifs**
+
+<br>
+
+GRADIENT  D'UN  CHAMP SCALAIRE<br>_" du champ scalaire au champ vectoriel "_
+: ---
+
+  *Définition du gradient* :
+  
+  Soit $`\phi`$ un champ scalaire.   
+  En un point quelconque de l'espace, un déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ induit
+  une variation élémentaire $`d\phi`$ de la valeur du champ.   
+  
+  Le vecteur $`\overrightarrow{grad}\,\phi`$ réalise ne lien entre $`d\phi`$ et $`\overrightarrow{dl}`$ au point considéré :
+  
+ $`\mathbf{d\phi=\overrightarrow{grad}\,\phi\cdot\overrightarrow{dl}}`$
+ 
+ *Expressions du gradient*
+ 
+   Coordonnées cartésiennes :   
+   $`\begin{align}
+   \overrightarrow{grad}\,\phi &=\dfrac{\partial \phi}{\partial x}\,\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial \phi}{\partial y}\,\overrightarrow{e_y}+\dfrac{\partial \phi}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z} \\
+    &=\overrightarrow{\nabla}\,\phi
+    \end{align}`$
+    
+   &nbsp;&nbsp;avec opérateur nabla :
+   &nbsp;&nbsp;$`\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\,\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y}\,\overrightarrow{e_y}+\dfrac{\partial}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z}`$
+
+   Coordonnées cylindriques :   
+   $`\overrightarrow{grad}\,\phi=\dfrac{\partial \phi}{\partial \rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}+\dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}+\dfrac{\partial \phi}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z}`$
+
+   Coordonnées sphériques :   
+   $`\overrightarrow{grad}\,V=\dfrac{\partial \phi}{\partial r}\,\overrightarrow{e_r}+\dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \theta}\,\overrightarrow{e_{\theta}}+\dfrac{1}{r\,sin\,\theta}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+ 
+  *Champ de gradient d'un champ scalaire* :  
+  
+  L'ensemble des vecteurs gradients en tout point de l'espace est un champ vectoriel, appelé champ de gradient
+  
+  *Opérateur gradient*
+  
+  L'opérateur $`\overrightarrow{grad}`$, appliqué à un champ scalaire $`\phi`$ et en un point de l'espace, donne
+  le vecteur $`\overrightarrow{grad}\,\phi`$
+  
+  ---
+  
+  *Propriétés du gradient*
+  
+  En tout point de l'espace :
+  * $`\overrightarrow{grad}\,\phi`$ pointe en direction et sens où un
+   vecteur déplacement  élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ de norme constante $`\Vert\overrightarrow{dl}\Vert`$ 
+   induit la variation élémentaire maximale $`d\phi_{MAX}`$ (>0).
+  * dans cette direction et sens de variation maximale :
+    $`\dfrac{d\phi_{MAX}}{\Vert\overrightarrow{dl}\Vert}=\Vert\overrightarrow{grad}\,\phi\Vert`$
+  
+  ---
+
+   *Théorème du gradient*
+  
+  à continuer... nécessaire ici?
+    
+    
+    
+CHAMP VECTORIEL CONSERVATIF<br>_" du champ vectoriel (conservatif) aux champs scalaires "_
+: ---
+
+  *Définition d'un champ vectoriel conservatif*
+
+  Un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ est conservatif si et seulement si il s'identifie
+  au champ de gradient d'un champ scalaire $`\phi`$ :
+
+  $`\mathbf{\overrightarrow{X}(\vec{r})\text{ est conservatif }}`$
+  $`\mathbf{\Longleftrightarrow\;\exists\,\phi(\vec{r}), \overrightarrow{X(\vec{r})}=\overrightarrow{grad}\,\big(\phi(\vec{r})\big)}`$
+  
+  *Propriété d'un champ vectoriel conservatif*
+  
+  La circulation d'un champ vectoriel conservatif $`\overrightarrow{X}=\overrightarrow{grad}(\phi)`$ entre deux points $`M_1`$ et $`M_2`$ ne dépend que
+  égale à $`\phi(M_2)-\phi(M_1)`$, quelque-soit le chemin suivi entre ces deux points :
+  
+  $`\displaystyle\begin{align}\mathbf{\int_{M_1}^{M_2}\overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dl}}&=\int_{M_1}^{M_2} \overrightarrow{grad}(\phi)\cdot\overrightarrow{dl}\\
+    & = \displaystyle\int_{M_1}^{M_2} d\phi\mathbf{\;\;=\phi(M_2)-\phi(M_1)}\\
+    \end{align}`$
+    
+  $`\Longrightarrow`$ La circulation d'un champ vectoriel conservatif le long d'un contour (chemin fermé) est nulle.
+  
+  ---
+  
+  *Intérêt en physique*
+  
+  à faire
+
+  
+   
+   
+
+En début de construction ! stade très très préliminaire.
+
+déjà poser des qestions,    
+mettre les équations qui seront utilisées.
+
+#### LE  GRADIENT
+
+<br>
+#### Qu'est-ce qu'un champ scalaire ?
+
+_Exemple "intuitif" d'un champ scalaire défini sur un espace 2D : une carte météorologique, qui donne_
+_une représentation des températures constatées ou prévues au niveau du sol._
+
+![](scalar-field-example-temperatures_v2_L800.gif)   
+
+1. Un **champ scalaire** est une *grandeur physique scalaire définie en tout point de l'espace*. 
+
+2. Ce champ est *mathématiquement modélisé* par une **fonction scalaire $`\phi(\vec{r})`$ continue et dérivable**.
+
+3. Les **lignes de niveaux** (2D) ou **surfaces de niveaux** (3D) sont des ensembles continus de points de l'espace 
+*caractérisés par une même valeur de champ*.
+
+<!-------------------------
+*Mathématiquement*, un champ scalaire $`\phi`$ défini sur l'espace euclidien classique (dimension 3) muni de coordonnées cartésiennes $`(x\,,y\,,z)`$ , s'écrit :
+ 
+ * lorsque la *valeur* scalaire est *réelle* :   
+ $`\Phi\quad : \mathbb{R}^3\,\longrightarrow\,\mathbb{R}\, x \,\longmapsto\,\Phi(x)`$
+ * lorsque la valeur scalaire est complexe :   
+ $`\Phi\quad : \mathbb{R}^3\,\longrightarrow\,\mathbb{C}\, x \,\longmapsto\,\Phi(x)`$
+ 
+
+! Á tout champ scalaire tu pourras associer un champ de gradient.
+------------------------>
+ 
+
+
+#### Qu'est-ce qu'un champ vectoriel ?
+
+_Exemple "intuitif" d'un champ vectoriel, défini sur un espace 2D : une carte météorologique, qui donne_
+_une représentation de la vitesse des vents mesurée ou prévue au niveau du sol._
+
+![](vector-field-example-speed-wind_v2_L800.gif)   
+
+1. Un **champ vectoriel** est une *grandeur physique vectorielle définie en tout point de l'espace*. 
+
+2. Ce champ est *mathématiquement modélisé* par une **fonction vectorielle $`\overrightarrow{X}(\vec{r})`$ continue et dérivable**.   
+
+3. Les **lignes de champ** sont lignes telles qu'en chaque point d'une ligne, le *champ vectoriel* est *tangent à la ligne*.   
+   Chaque ligne de champ porte l'information sur la direction du champ en chacun de ses point, mais *pas d'information sur la norme*.
+
+4. Chaque ligne de champs est *orientée par une flèche* qui indique le *sens du champ vectoriel* sur la ligne.
+
+<!----------------------
+*Mathématiquement*, un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ défini **sur l'espace euclidien** classique (dimension 3) 
+**muni de coordonnées cartésiennes  , s'écrit :   
+--------------------->
+
+!!!! *Attention :    
+!!!! Tu ne pourras pas* toujours *considérer qu'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ est le gradient d'un champ scalaire*.   
+ 
+ 
+#### Quelle différence, en physique, entre direction et sens ?
+
+**En français et en physique**, le **mot "direction"** à une *signification différente* de celle *du langage commun*.
+
+* Dans le **langage commun**, regarder dans une direction signifie regarder *devant soi en pointant son regard vers un point* de l'espace.   
+<br>
+![](direction-common-language_L630.jpg)
+
+* Dans le **langage de la physique, en France**, le mot direction a une *autre signification* :
+
+   * Une **direction**, indiquée en un point, est *portée par une droite* qui contient ce point.   
+<br>
+![](direction-in-french-physics_L630.jpg)
+
+   * Une *direction plus* un **sens**, indiqués en un point, sont *portés par un axe*, droite orientée par une **flèche qui indique le sens**.   
+<br>
+![](direction-sens-1_L630.jpg)
+
+   * Une **direction** possède donc *2 sens* possibles.   
+<br>
+![](direction-sens-1-2_L630.gif)
+
+ 
+#### Qu'est-ce qu'un champ uniforme, ou au contraire non-uniforme ?
+
+
+#### Qu'est-ce qu'un champ stationnaire, ou au contraire variable ?
+
+
+#### Quel est le gradient d'un champ scalaire ?
+
+
+
+
+
+
+##### Vecteur gradiant en tout point d'un champ scalaire
+
+_Exemple "intuitif" d'un champ scalaire défini sur un espace 2D : une carte météorologique, qui donne_
+_une représentation des températures constatées ou prévues au niveau du sol._   
+**$`\large{\mathbf{dV=\overrightarrow{grad}\,V\cdot\overrightarrow{dl}}}`$**
+
+1. Un **champ scalaire** est une *grandeur physique scalaire définie en tout point de l'espace*. 
+
+2. Ce champ est *mathématiquement modélisé* par une **fonction scalaire $`\phi(\vec{r})`$ continue et dérivable**.
+
+3. Les **lignes de niveaux** (2D), ou **surfaces de niveaux** (3D) sont des ensembles continus de points de l'espace
+*caractérisés par une même valeur de champ*.
+
+... à modifier ...
+
+
+##### L'opérateur gradient
+
+
+##### Le Champ gradient 
+
+
+
+
+
+**$`\large{\mathbf{dV=\overrightarrow{grad}\,V\cdot\overrightarrow{dl}}}`$**
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+
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+
+#### Que représente le gradient d'un champ scalaire ?
+
+**$`\mathbf{dV}`$**$`\;=\overrightarrow{grad}\,V\cdot\overrightarrow{dl}`$
+**$`\mathbf{\;=\big\Vert\overrightarrow{grad}\,V\big\Vert\cdot\big\Vert\overrightarrow{dl}\big\Vert\cdot cos\theta}`$**
+
+avec *$`\mathbf{\theta=\big(\widehat{\overrightarrow{grad}\,V\,,\overrightarrow{dl}}\big)}`$*
+
+
+#### Comment se détermine l'expression du gradient dans un système de coordonnées ?
+
+Je munis l'espace d'un système de coordonnées orthogonales $`(\alpha\,,\beta\,,\gamma)`$
+
+En tout point de l'espace, je peux associer à ces coordonnées une base de vecteurs $`(\alpha\,,\beta\,,\gamma)`$
+
+Ainsi je peux repérer tout point $`M`$ de l'espace par ses coordonnées $`(\alpha_M\,,\beta_M\,,\gamma_M)`$.
+
+
+
+
+À ces coordonnées je peux associer les vecteurs géométriques unitaires
+
+$`\overrightarrow{e_{\alpha}}\,,\overrightarrow{e_{\beta}}\text{ et }\overrightarrow{e_{\gamma}}`$
+
+définie
+
+si d'un point quelconque $`M`$ dans l'espace, de coordonnées $`(\alpha_M\,,\beta_M\,,\gamma_M)`$
+je fais un déplacement correspondants aux variations de coordonnées $`d\alpha, d\beta \text{ et } d\gamma`$,
+
+
+$`dV=\left.\dfrac{\partial V}{\partial \alpha}\right|_M\cdot dl_{\alpha} + \left.\dfrac{\partial V}{\partial \beta}\right|_M\cdot dl_{\beta} + \left.\dfrac{\partial V}{\partial \gamma}\right|_M\cdot dl_{\gamma}`$
+
+$`dV=\left.\dfrac{\partial V}{\partial x}\right|_M\cdot dl_x + \left.\dfrac{\partial V}{\partial y}\right|_M\cdot dl_y + \left.\dfrac{\partial V}{\partial z}\right|_M\cdot dl_z`$
+
+
+
+
+##### Expression du gradient en coordonnées cartésiennes
+
+##### Expression du gradient en coordonnées cylindriques
+
+##### Expression du gradient en coordonnées sphériques
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+
+
+
+
+
+
+#### CHAMP VECTORIEL CONSERVATIF, POTENTIEL et ÉNERGIE POTENTIEL
+
+A construire... plusieurs figures 
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+<!-----------------
+#### Quand un champ vectoriel est-il conservatif ?
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+
+#### Comment est modélisée une interaction mécanique entre deux corps en physique classique ?
+
+interaction mécanique / concept de force entre les deux corps qui interagissent /
+champ d'interaction associé / 
+----------------->
+
+
+#### Quel lien entre champ de force conservatif et potentiel ?
+
+![](physics-from-field-to-potentiel_L800.gif)
+
+ 
+<!--Pour que le signe du potentiel permette de définir bune grandeur qui se conserve l'énergie
+
+Dans un référentiel galiléen, Force d'une interaction s'exercant sur une pârticule sensible à cette interaction :
+
+---> 
+
+$`\begin{align}
+\mathcal{W}&=\overrightarrow{F_X}\cdot\overrightarrow{dl}\\
+&=m\,\dfrac{d\mathscr{v}}{dt}\cdot\overrightarrow{\mathscr{v}}\;dt\\
+&=m\,\dfrac{1}{2}\;\left(\dfrac{d\mathscr{v}}{dt}\cdot\overrightarrow{\mathscr{v}}+\overrightarrow{\mathscr{v}}\cdot\dfrac{d\mathscr{v}}{dt}\cdot\overrightarrow{\mathscr{v}}\right)\,dt\\
+\end{align}`$
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