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...@@ -984,24 +984,28 @@ sera nécessaire pour la partie dynamique et dans l'electromagnétisme ...@@ -984,24 +984,28 @@ sera nécessaire pour la partie dynamique et dans l'electromagnétisme
#### Comment s'exprime la dérivé en un point d'un champ vectoriel défini sur d'une courbe (1D) au sein d'une variété (nD avec n>1) ? #### Comment s'exprime la dérivé en un point d'un champ vectoriel défini sur d'une courbe (1D) au sein d'une variété (nD avec n>1) ?
Courbe $`\mathscr{B}`$, sous-variété de dimension 1 d'une variété de dimension n, peut être paramétrée <br>
* Une courbe $`\mathscr{B}`$, sous-variété de dimension 1 d'une variété de dimension n, peut être paramétrée
par un scalaire $`\lambda`$ qui permet de repérer un point de la courbe par rapport à un point pris comme origine et par un scalaire $`\lambda`$ qui permet de repérer un point de la courbe par rapport à un point pris comme origine et
un sens positif de parcours de la ligne. un sens positif de parcours de la ligne.
!!! Exemple : appliquée à l'espace-temps de la relativité générale, la courbe peut être la ligne d'univers d'un corpsucule matériel !!! Exemple : appliquée à l'espace-temps de la relativité générale, la courbe peut être la ligne d'univers d'un corpsucule matériel
!!! ou d'un photon. !!! ou d'un photon.
Un champ vectoriel $`\mathbf{v}`$ peut n'être défini que sur la sous-variété Courbe $`\mathscr{B}`$. * Un champ vectoriel $`\mathbf{v}`$ peut n'être défini que sur la sous-variété Courbe $`\mathscr{B}`$.
!!! Exemple : appliquée à l'espace-temps de la relativité générale, un champ vectoriel défini uniquement sur une ligne d'univers !!! Exemple : appliquée à l'espace-temps de la relativité générale, un champ vectoriel défini uniquement sur une ligne d'univers
!!! peut représenter un vecteur déplacement élémentaire, un vecteur vitesse, un vecteur accélération. !!! peut représenter un vecteur déplacement élémentaire, un vecteur vitesse, un vecteur accélération.
Soit $`x^a`$ un système de coordonnées contravariantes défini sur la variété, et $`\mathbf{e_a}`$ la base naturelle associée à * Soit $`x^a`$ un système de coordonnées contravariantes défini sur la variété, et $`\mathbf{e_a}`$ la base naturelle associée à
ces coordonnées. ces coordonnées.
<br>
En chaque point de la courbe repéré par la valeur du paramètre $`\lambda`$ en ce point, le vecteur $`\mathbf{v}(\lambda)`$ du champ En chaque point de la courbe repéré par la valeur du paramètre $`\lambda`$ en ce point, le vecteur $`\mathbf{v}(\lambda)`$ du champ
vectoriel $`\mathbf{v}`$ en ce point peut être exprimé en fonction des vecteurs de la base naturelle vectoriel $`\mathbf{v}`$ en ce point peut être exprimé en fonction des vecteurs de la base naturelle
en ce point $`\mathbf{e_a}(\lambda)`$. en ce point $`\mathbf{e_a}(\lambda)`$.
<br>
$`\mathbf{v}(\lambda) = v^a(\lambda)\,\mathbf{e_a}(\lambda)`$
......
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