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@@ -491,10 +491,6 @@ $`\forall \alpha \in \mathbb{R}\;,\,`$ **$`\large{exp{\,\alpha} = cos \,\alpha +
    
 --------------------------------------------
 
-##### Qu'est-ce que deux ondes synchrones ?
-
-
-
 
 #### Qu'est-ce que le phénomène d'interférence ?
 
@@ -563,20 +559,25 @@ Le modèle mathémait
 ##### Quelle lien entre interférences et ondes stationnaires ?
 
 
+------------------------------------------------
 
 #### Interférences produites par la superposition de deux OPPH synchrones ou cohérentes.
 
 
-##### Que donne la superposition de deux OPPH synchrones ou cohérentes, se propageant dans la même direction?
+##### Qu'est-ce que deux OPPH synchrones ?
 
+* **Deux OPPH** de pulsations respectives $`\omega_1`$ et $`\omega_2`$ sont **synchrones** si leurs *pulsations sont égales* :   
+  <br>
+  *$`\omega_1 = \omega_2`$*
 
 
-* Les deux OPPH sont :
-   * synchrones ou cohérentes (en optique)
-   * d'amplitudes égales
-   * et se propagent vers les $`x`$ croissants.
-   <br>
+##### Les OPPH qui interfèrent ont une même amplitude, ne même direction et un même sens de propagation.
 
+* Les **deux OPPH** sont :
+   * *synchrones ou cohérentes* (en optique)
+   * d'*amplitudes égales*
+   * et se propagent *vers les $`x`$ croissants*.
+   <br>
 
 -------------------
 
@@ -720,11 +721,64 @@ $`\quad\boldsymbol{\mathbf{=\color{brown}{2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\va
   <br>
   **$`\boldsymbol{\mathbf{\quad =2\,A\;cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,cos\Big(\omega t - kx + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}\Big)}}`$**
   <br>
-  Bien sûr nous obtrenons le même résultat qu'avec le calcul en notation réelle.
+  Bien sûr nous obtenons le même résultat qu'avec le calcul en notation réelle.
 
 <br>
 
 
+##### Les OPPH qui interfèrent sont d'amplitudes égales et se propagent en sens opposés.
+
+
+* Les **deux OPPH** sont :
+   * *synchrones ou cohérentes* (en optique)
+   * d'*amplitudes égales*
+   * et se propagent, l'une *vers les $`x`$ croissants* **et** l'autre *vers les $`x`$ décroissants*
+   <br>
+
+-------------------
+
+**Calcul de l'onde résultante** *en notation réelle*
+
+* En notation réelle, les deux OPPH s'écrivent :   
+  <br>
+  **$`\boldsymbol{\mathbf{U_1(x,t) = A\cdot cos(\omega t - kx + \varphi_1)}}`$**
+  **$`\boldsymbol{\mathbf{U_2(x,t) = A\cdot cos(\omega t + kx + \varphi_2)}}`$**
+
+* Calcul de l'onde résultante :  
+  <br>
+  $`\color{brown}{\mathbf{U(x,t)}}\; = U_1(x,t) + U_2(x,t)`$   
+
+  à continuer.
+
+<!-------------------
+$`\begin{align} \quad &=A\;\big[\,cos(\underbrace{\omega t - kx}_{\color{blue}{\text{  posons }\\ \omega t + kx \,=\, \alpha}} + \varphi_1) + cos(\underbrace{\omega t - kx}_{\color{blue}{=\; \alpha}} + \varphi_1)\,\big]
+&\\
+&=A\;\big[\,cos\Big(\alpha + \dfrac{\varphi_1+\varphi_1}{2} + \dfrac{\varphi_2-\varphi_2}{2}\Big) \\
+&\quad\quad\quad\quad + \,cos\Big(\alpha + \dfrac{\varphi_2+\varphi_2}{2} + \dfrac{\varphi_1-\varphi_1}{2}\Big)\,\Big]\\
+&\\
+&=A\;\big[\,cos\Big(\underbrace{\alpha + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{=\;\alpha '}} + \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big) \\
+&\quad\quad\quad\quad + \,cos\Big(\underbrace{\alpha + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{\text{nous avons posé }\\ \alpha + (\varphi_1+\varphi_2)/2\; = \;\alpha '}} - \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,\Big]\\
+&\\
+&=A\;\big[\,cos\Big(\alpha ' + \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big) \\
+&\quad\quad\quad\quad + \,cos\Big(\alpha ' - \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,\Big]\\
+&\\
+&=A\;\big[\,\underbrace{cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,-\,sin(\alpha ')\,sin\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{\text{car   }cos(a+b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;-\;sin\,a\,sin\,b}}\big)\\
+&\quad + \underbrace{cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,+\,sin(\alpha ')\,sin\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{\text{car   }cos(a-b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;+\;sin\,a\,sin\,b}}\big)\,\Big]\\
+&\\
+&=2\,A\cdot cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)
+\end{align}`$   
+<br>
+$`\quad\boldsymbol{\mathbf{=\color{brown}{2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big) \cdot cos\Big(}\color{blue}{\underbrace{\color{brown}{\omega t - kx + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}}_{\text{pulsation }\omega\text{ inchangée}}}\color{brown}{\Big)}}}`$
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+---------------->
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 #### Quel lien entre l'énergie et l'amplitude de l'onde ?
 
 * Une onde projette de l'énergie à travers l'espace.