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12.temporary_ins/08.conservative-vector-fields/20.conservative-vector-fields-properties/20.overview/cheatsheet.fr.md

+---
+title: Properties of the conservative vector fields
+published: false
+routable: false
+visible: false
+lessons:
+    - slug: gauss-ampere-theorems-demonstration
+      name: PARALLÈLE : Les bases pour physiciens au niveau contreforts
+      order: 1
+---
+
+<!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
+$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
+$`\def\Ltau{\Large{\tau}\normalsize}`$
+
+!!!!  <details>
+!!!! <summary> Cours en construction, non validé à ce stade </summary>  
+!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
+!!!!  Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.   
+!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
+!!!! </details>
+
+<!------Commentaire----------------------------
+!  *Thème* :<br>
+! *Electrostatique / Démonstration du théorème de Gauss, forme intégrale et forme locale*<br>
+! Guide pour établir les 3 parties : main, overview, beyond<br>
+!
+!  (_précède le thème : Electrostatique : Application du théorème de Gauss, forme intégrale et forme locale._)
+----------------------------------------------->
+
+##### Randonnée Contreforts :&nbsp; _toute spécialité_
+
+---------------------------
+
+### PHYSIQUE GÉNÉRALE
+
+
+### Définitions et propriétés<br>**Gradient**<br>**Champs vectoriels conservatifs**
+
+<br>
+
+GRADIENT  D'UN  CHAMP SCALAIRE<br>_" du champ scalaire au champ vectoriel "_
+: ---
+
+  *Définition du gradient* :
+  
+  Soit $`\phi`$ un champ scalaire.   
+  En un point quelconque de l'espace, un déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ induit
+  une variation élémentaire $`d\phi`$ de la valeur du champ.   
+  
+  Le vecteur $`\overrightarrow{grad}\,\phi`$ réalise ne lien entre $`d\phi`$ et $`\overrightarrow{dl}`$ au point considéré :
+  
+ $`\mathbf{d\phi=\overrightarrow{grad}\,\phi\cdot\overrightarrow{dl}}`$
+ 
+ *Expressions du gradient*
+ 
+   Coordonnées cartésiennes :   
+   $`\begin{align}
+   \overrightarrow{grad}\,\phi &=\dfrac{\partial \phi}{\partial x}\,\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial \phi}{\partial y}\,\overrightarrow{e_y}+\dfrac{\partial \phi}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z} \\
+    &=\overrightarrow{\nabla}\,\phi
+    \end{align}`$
+    
+   &nbsp;&nbsp;avec opérateur nabla :
+   &nbsp;&nbsp;$`\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\,\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y}\,\overrightarrow{e_y}+\dfrac{\partial}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z}`$
+
+   Coordonnées cylindriques :   
+   $`\overrightarrow{grad}\,\phi=\dfrac{\partial \phi}{\partial \rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}+\dfrac{1}{\rho}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}+\dfrac{\partial \phi}{\partial z}\,\overrightarrow{e_z}`$
+
+   Coordonnées sphériques :   
+   $`\overrightarrow{grad}\,V=\dfrac{\partial \phi}{\partial r}\,\overrightarrow{e_r}+\dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \theta}\,\overrightarrow{e_{\theta}}+\dfrac{1}{r\,sin\,\theta}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+ 
+  *Champ de gradient d'un champ scalaire* :  
+  
+  L'ensemble des vecteurs gradients en tout point de l'espace est un champ vectoriel, appelé champ de gradient
+  
+  *Opérateur gradient*
+  
+  L'opérateur $`\overrightarrow{grad}`$, appliqué à un champ scalaire $`\phi`$ et en un point de l'espace, donne
+  le vecteur $`\overrightarrow{grad}\,\phi`$
+  
+  ---
+  
+  *Propriétés du gradient*
+  
+  En tout point de l'espace :
+  * $`\overrightarrow{grad}\,\phi`$ pointe en direction et sens où un
+   vecteur déplacement  élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ de norme constante $`\Vert\overrightarrow{dl}\Vert`$ 
+   induit la variation élémentaire maximale $`d\phi_{MAX}`$ (>0).
+  * dans cette direction et sens de variation maximale :
+    $`\dfrac{d\phi_{MAX}}{\Vert\overrightarrow{dl}\Vert}=\Vert\overrightarrow{grad}\,\phi\Vert`$
+  
+  ---
+
+   *Théorème du gradient*
+  
+  à continuer... nécessaire ici?
+    
+    
+    
+CHAMP VECTORIEL CONSERVATIF<br>_" du champ vectoriel (conservatif) aux champs scalaires "_
+: ---
+
+  *Définition d'un champ vectoriel conservatif*
+
+  Un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ est conservatif si et seulement si il s'identifie
+  au champ de gradient d'un champ scalaire $`\phi`$ :
+
+  $`\mathbf{\overrightarrow{X}(\vec{r})\text{ est conservatif }}`$
+  $`\mathbf{\Longleftrightarrow\;\exists\,\phi(\vec{r}), \overrightarrow{X(\vec{r})}=\overrightarrow{grad}\,\big(\phi(\vec{r})\big)}`$
+  
+  *Propriété d'un champ vectoriel conservatif*
+  
+  La circulation d'un champ vectoriel conservatif $`\overrightarrow{X}=\overrightarrow{grad}(\phi)`$ entre deux points $`M_1`$ et $`M_2`$ ne dépend que
+  égale à $`\phi(M_2)-\phi(M_1)`$, quelque-soit le chemin suivi entre ces deux points :
+  
+  $`\displaystyle\begin{align}\mathbf{\int_{M_1}^{M_2}\overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dl}}&=\int_{M_1}^{M_2} \overrightarrow{grad}(\phi)\cdot\overrightarrow{dl}\\
+    & = \displaystyle\int_{M_1}^{M_2} d\phi\mathbf{\;\;=\phi(M_2)-\phi(M_1)}
+    \end{align}`$
+    
+  $`\Longrightarrow`$ La circulation d'un champ vectoriel conservatif le long d'un contour (chemin fermé) est nulle.
+  
+  ---
+  
+  *Intérêt en physique*
+  
+  à faire
+
+  
+   
+   
+
+En début de construction ! stade très très préliminaire.
+
+déjà poser des qestions,    
+mettre les équations qui seront utilisées.
+
+
+
+#### Qu'est-ce qu'un champ scalaire ?
+
+_Exemple "intuitif" d'un champ scalaire défini sur un espace 2D : une carte météorologique, qui donne_
+_une représentation des températures constatées ou prévues au niveau du sol._
+
+![](scalar-field-example-temperatures_v2_L800.gif)   
+
+1. Un **champ scalaire** est une *grandeur physique scalaire définie en tout point de l'espace*. 
+
+2. Ce champ est *mathématiquement modélisé* par une **fonction scalaire $`\phi(\vec{r})`$ continue et dérivable**.
+
+3. Les **lignes de niveaux** (2D) ou **surfaces de niveaux** (3D) sont des ensembles continus de points de l'espace 
+*caractérisés par une même valeur de champ*.
+
+<!----------------
+ *Mathématiquement*, un champ scalaire $`\phi`$ défini sur l'espace euclidien classique (dimension 3) muni de coordonnées cartésiennes $`(x\,,y\,,z)`$ , s'écrit :
+ 
+ * lorsque la *valeur* scalaire est *réelle* :   
+ $`\Phi\quad : \mathbb{R}^3\,\longrightarrow\,\mathbb{R}\, x \,\longmapsto\,\Phi(x)`$
+ * lorsque la valeur scalaire est complexe :   
+ $`\Phi\quad : \mathbb{R}^3\,\longrightarrow\,\mathbb{C}\, x \,\longmapsto\,\Phi(x)`$
+ 
+---------------->
+
+<!---------
+! Á tout champ scalaire tu pourras associer un champ de gradient.
+Mal dit car pas toujours vrai... par exemple, le vecteur gradient ne peut être défini sur une ligne de niveaux (1D) ou une surface de niveau (2D)
+où la valeur du champ est en sont voisinage un maximum ou un minimum.
+On fait quoi ?
+------------->
+ 
+
+
+#### Qu'est-ce qu'un champ vectoriel ?
+
+<!-----------------
+*Mathématiquement*, un champ scalaire $`\overrightarrow{X}`$ défini **sur l'espace euclidien** classique (dimension 3) **muni de coordonnées cartésiennes $`(x\,,y\,,z)`$** , s'écrit :
+ 
+ $`\Phi\quad : \mathbb{R}^3\,\longrightarrow\,\mathbb{R}^3\, (x\,,y\,,z) \,\longmapsto\,(X_x\,,X_y\,,X_y)`$
+ --------------->
+
+!!!! *Attention :    
+!!!! Tu ne pourras pas* toujours *considérer qu'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ est le gradient d'un champ scalaire*.   
+ 
+ 
+#### Qu'est-ce qu'un champ uniforme, ou au contraire non-uniforme ?
+
+
+#### Qu'est-ce qu'un champ stationnaire, ou au contraire variable ?
+
+
+#### Quel est le gradient d'un champ scalaire ?
+
+
+
+
+
+
+##### Vecteur gradiant en tout point d'un champ scalaire
+
+_Exemple "intuitif" d'un champ scalaire défini sur un espace 2D : une carte météorologique, qui donne_
+_une représentation des températures constatées ou prévues au niveau du sol._   
+**$`\large{\mathbf{dV=\overrightarrow{grad}\,V\cdot\overrightarrow{dl}}}`$**
+
+1. Un **champ scalaire** est une *grandeur physique scalaire définie en tout point de l'espace*. 
+
+2. Ce champ est *mathématiquement modélisé* par une **fonction scalaire $`\phi(\vec{r})`$ continue et dérivable**.
+
+3. Les **lignes de niveaux** (2D), ou **surfaces de niveaux** (3D) sont des ensembles continus de points de l'espace
+*caractérisés par une même valeur de champ*.
+
+... à modifier ...
+
+
+##### L'opérateur gradient
+
+
+##### Le Champ gradient 
+
+
+
+
+
+**$`\large{\mathbf{dV=\overrightarrow{grad}\,V\cdot\overrightarrow{dl}}}`$**
+
+
+
+
+#### Que représente le gradient d'un champ scalaire ?
+
+**$`\mathbf{dV}`$**$`\;=\overrightarrow{grad}\,V\cdot\overrightarrow{dl}`$
+**$`\mathbf{\;=\big\Vert\overrightarrow{grad}\,V\big\Vert\cdot\big\Vert\overrightarrow{dl}\big\Vert\cdot cos\theta}`$**
+
+avec *$`\mathbf{\theta=\big(\widehat{\overrightarrow{grad}\,V\,,\overrightarrow{dl}}\big)}`$*
+
+
+#### Comment se détermine l'expression du gradient dans un système de coordonnées ?
+
+Je munis l'espace d'un système de coordonnées orthogonales $`(\alpha\,,\beta\,,\gamma)`$
+
+En tout point de l'espace, je peux associer à ces coordonnées une base de vecteurs $`(\alpha\,,\beta\,,\gamma)`$
+
+Ainsi je peux repérer tout point $`M`$ de l'espace par ses coordonnées $`(\alpha_M\,,\beta_M\,,\gamma_M)`$.
+
+Si partant d'un point $`M`$ quelconque je à un point $`M'`$ de coordonnées 
+fais un déplacement élémentaire correspondants aux variations infinitésimales de 
+coordonnées d\alpha, d\beta et d\gamma, la longueur $`dl`$ du déplacement s'exprime :
+
+
+
+À ces coordonnées je peux associer les vecteurs géométriques unitaires
+
+$`\overrightarrow{e_{\alpha}}\,,\overrightarrow{e_{\beta}}\text{ et }\overrightarrow{e_{\gamma}}`$
+
+définie
+
+si d'un point quelconque $`M`$ dans l'espace, de coordonnées $(\alpha_M\,,\beta_M\,,\gamma_M)`$
+je fais un déplacement correspondants aux variations de coordonnées d\alpha, d\beta et d\gamma,
+
+
+$`dV=\left.\dfrac{\partial V}{\partial \alpha}\right|_M\cdot dl_{\alpha} + \left.\dfrac{\partial V}{\partial \beta}\right|_M\cdot dl_{\beta} + \left.\dfrac{\partial V}{\partial \gamma}\right|_M\cdot dl_{\gamma}`$
+
+$`dV=\left.\dfrac{\partial V}{\partial x}\right|_M\cdot dl_x + \left.\dfrac{\partial V}{\partial y}\right|_M\cdot dl_y + \left.\dfrac{\partial V}{\partial z}\right|_M\cdot dl_z`$
+
+
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+
+##### Expression du gradient en coordonnées cartésiennes
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+##### Expression du gradient en coordonnées cylindriques
+
+##### Expression du gradient en coordonnées sphériques
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+
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+
+#### 
+
+##### Les champs de forces conservatives et leurs propriétés
+
+à construire
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