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12.temporary_ins/07.geometry-coordinates-prop2/40.n4/10.main/textbook.en.md

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+title: 'en construction, extrêmement préliminaire'
+published: false
+routable: false
+visible:false
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+#### Géométrie et coordonnées niveau 4 : overview
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+!!!! *Attention : COURS EN CONSTRUCTION :*    
+!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
+!!!!  Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.   
+!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
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+<!--MétaDonnée : ... -->
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+---------------------------------------------
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+!   
+! *Sur le chemin des espaces non euclidiens*
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+### Commençons par les espaces euclidiens
+
+
+#### Qu'y a t-il de nouveau lorsque les axes de coordonnées ne sont plus orthogonaux ?
+
+Dans un plan euclidien, muni d'une unité de longueur et de deux axes $`Ox1`$ et $`Ox2`$ non orthogonaux, il y a deux façon
+de définir les coordonnées $`(x1_M, x2_M)`$ de tout point $`M`$ du plan :
+
+**1** -  On peut par exemple *projeter le point $`\mathbf{M}`$* en **projection parallèle**, soit :
+* *sur l'axe $`\mathbf{Ox1}`$ parallèlement à $`\mathbf{Ox2}`$*, ce qui donne le point projeté que nous noterons **$`\mathbf{M_1^{//}}`$**,   
+
+   Notons alors $`x_{1\, M}^{//}`$ la distance algébrique entre les points $`O`$ et $`M_1^{//}`$ de l'axe  $`Ox1`$ :   
+       **$`\mathbf{x_{1\, M}^{//}=\overline{OM_1^{//}}}`$**   
+       
+* *sur l'axe $`\mathbf{Ox2}`$ parallèlement à $`\mathbf{Ox1}`$*, ce qui donne le point projeté de notation **$`\mathbf{M_2^{//}}`$**,
+     
+   avec $`x_{M2}^{//}`$ la distance algébrique entre les points $`O`$ et $`M_2^{//}`$ de l'axe  $`Ox2`$ :   
+     **$`\mathbf{x_{2\, M}^{//}=\overline{OM_2^{//}}}`$**   
+     
+<!--autres notations considérées, puis finalement non retenues---
+        **$`\mathbf{x_{M\,1}^{\;\;//}=\overline{OM_{1//}}}`$**   
+        **$`\mathbf{x_{M\,1}^{\;\;\,//}=\overline{OM_{1//}}}`$**   
+        **$`\mathbf{x_{M\,1}^{\quad//}=\overline{OM_{1//}}}`$**  
+             **$`\mathbf{x_{M1}^{//}=\overline{OM_{1//}}}`$**   
+------------------------------------------------------------------------->
+
+     
+**2** - On peut aussi *projeter le point $`\mathbf{M}`$* en **projection perpendiculaire**, soit :
+* *sur l'axe $`\mathbf{Ox1}`$ perpendiculairement à $`\mathbf{Ox1}`$*, ce qui donne le point projeté que nous noterons **$`\mathbf{M_1^{\perp}}`$**,   
+
+   avec $`x_{1\, M}^{\perp}`$ la distance algébrique entre les points $`O`$ et $`M_1^{\perp}`$ de l'axe  $`Ox1`$ :   
+       **$`\mathbf{x_{1\, M}^{\perp}=\overline{OM_1^{\perp}}}`$**   
+ 
+* *sur l'axe $`\mathbf{Ox2}`$ perpendiculairement à $`\mathbf{Ox2}`$*, ce qui donne le point projeté de notation **$`\mathbf{M_2^{\perp}}`$**,    
+   
+   avec $`x_{M2}^{\perp}`$ la distance algébrique entre les points $`O`$ et $`M_2^{\perp}`$ de l'axe  $`Ox2`$ :   
+     **$`\mathbf{x_{2\, M}^{\perp}=\overline{OM_2^{\perp}}}`$**   
+     
+
+*Le quadrilatère $`(O,M_1^{//},M,M_2^{//})`$* formé par le point $`O`$ origine des coordonnées en projection parralèle, le point $`M`$ et ses projections $`M_1^{//}`$ et $`M_2^{//}`$ sur chacun des axes $`Ox1`$ et $`Ox2`$ *n'est pas un rectangle*. Le théorème de *Pythagore ne peut pas s'appliquer* dans ce cas pour calculer la longueur du sègment de droite $`[OM]`$ et donc la relation $`OM=\sqrt{x_{1\, M}^{//\,2}+x_{2\, M}^{//\,2}}`$ est fausse.    
+Nous avons *$`\mathbf{OM\ne\sqrt{x_{1\, M}^{//\,2}+x_{2\, M}^{//\,2}}}`$* et donc par définition le système de coordonnées *$`\mathbf{(O, x_{1}^{//},x_{2}^{//})}`$ n'est pas un système de coordonnées cartésiennes*.
+
+**$`\mathbf{OM\ne\sqrt{x_{1}^{//\,2}+x_{2}^{//\,2}}}`$$`\mathbf{\quad\Longrightarrow\quad (O, x_{1}^{//},x_{2}^{//})\; \text{pas cartésien}}`$**
+
+De la même façon, en constatant que le *quadrilatère $`\mathbf{(O,M_1^{\perp},M,M_2^{\perp})}`$ n'est pas un rectangle*, nous montrons que le système de coordonnées *$`\mathbf{(O, x_{1}^{\perp},x_{2}^{\perp})}`$ n'est pas cartésien*.
+
+**$`\mathbf{OM\ne\sqrt{x_{1}^{\perp\,2}+x_{2}^{\perp\,2}}}`$$`\mathbf{\quad\Longrightarrow\quad (O, x_{1}^{\perp},x_{2}^{\perp})\; \text{pas cartésien}} $**
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+#### Comment exprimer la distance entre 2 points lorsque les axes de coordonnées ne sont pas orthogonaux ?
+
+Dans le plan euclidien précédent, appelons $`\phi`$ l'angle entre l'axe $`Ox1`$ et l'axe $`Ox2`$. Cet angle est une caractéristique du système d'axes $`(Ox1,Ox2)`$.
+
+**Pour calculer la distance $`\mathbf{OM}`$** entre le point $`O`$ et un point $`M`$ quelconque du plan de coordonnées parallèles $`(x_{1\, M}^{//},x_{2\, M}^{//})`$ et de coordonnées perpendiculaires $`(x_{1\, M}^{\perp},x_{2\, M}^{\perp})`$, *comme intermédiaires de calcul* je peux prendre **deux axes $`\mathbf{Ox1}'`$ et $`\mathbf{Ox2}'`$** tels que :
+* $`Ox1'`$ soit perpendiculaire à $`Ox1`$, et obtenu par rotation de $`Ox1'`$ autour de $`O`$ dans le sens trigonométrique directe, soit en notation algébrique :    
+**$`\mathbf{\widehat{Ox1, Ox1'}=+\dfrac{\pi}{2}}`$**.   
+Cette dernière condition implique que l'écart angulaire entre les axes $`Ox1`$ et $`Ox2'`$ soit de $`\dfrac{\pi}{2}-\phi`$, soit en notation algébrique :   
+**$`\mathbf{\widehat{Ox2, Ox1'}=+\left(\dfrac{\pi}{2}-\phi\right)}`$**.
+* $`Ox2'`$ soit perpendiculaire à $`Ox2`$, et obtenu par rotation de $`Ox2'`$ autour de $`O`$ dans le sens trigonométrique inverse :   
+  **$`\mathbf{\widehat{Ox2, Ox2'}=-\dfrac{\pi}{2}}`$**.      
+Cette dernière condition implique de même que l'écart angulaire entre les axes $`Ox1`$ et $`Ox2'`$ soit de $`\dfrac{\pi}{2}-\phi`$, soit :   
+**$`\mathbf{\widehat{Ox1, Ox2'}=-\left(\dfrac{\pi}{2}-\phi\right)}`$**.
+
+Dès lors :
+* en considérant le quadrilataire 
+
+
+
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+
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+     
+     
+
+     
+     
+     
+figure à faire
+
+Idée : deux axes notés $`Ox1`$ et $`Ox2`$ non orthogonaux, sécants en $Ò`$, et une unité de mesure.
+
+Si les axes des coordonnées sont orthogonaux, alors les projections orthogonale et parallèle mènent au même point projeté sur chaque axe.
+
+Si les axes des coordooonnées ne sont pas orthogonaux, alors les projections orthogonale et parallèle mènent à des points projetés différents sur chaque axe.
+
+Soient deux points U et V.
+
+Coordonnées de ces points en projection parallèle : $`U=(u_1, u_2)`$ et $`V=(v_1, v_2)`$
+
+Coordonnées de ces points en projection perpendiculaire : $`U=(u^1, u^2)`$ et $`V=(v^1, v^2)`$
+
+Notons : 
+
+* $`u`$ la distance entre $`O`$ et $`U`$.
+* $`v`$ la distance entre $`O`$ et $`V`$.
+* $`\theta`$ l'angle entre les sègments $`[OV]`$ et $`[OU]`$.
+* $`\alpha`$ l'angle entre le sègment $`Ox1`$ et l'axe $`[OV]`$.
+* $`\beta`$ l'angle entre le sègment $`[OU]`$ et l'axe $`Ox2`$.
+* $`a = \dfrac{\pi}{2}-\beta-\theta-\alpha`$
+
+L'idée est, en restant au niveau des coordonnées, de démontrer l'égalité :
+
+$`u\,v\,\cos(\theta)=u_1\,v^1\,+\,u_2\,v^2`$
+
+Démonstration :
+
+$`u_1=u\cdot\cos(\alpha)`$
+
+$`u^1=u\cdot\dfrac{\cos(a + \alpha)}{\cos(a)}`$
+
+$`u_2=u\cdot\cos(\theta + \beta)=u\cdot\sin(a + \alpha)`$
+
+$`u^2=u\cdot\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(a)}`$
+
+
+
+$`v_1=v\cdot\cos(\theta + \alpha)`$
+
+$`v^1=v\cdot\dfrac{\cos(a + \theta + \alpha)}{\cos(a)}`$
+
+$`v_2=v\cdot\sin(a + \theta + \alpha)`$
+
+$`v^2=v\cdot\dfrac{\sin(\theta + \alpha)}{\cos(a)}`$
+
+
+$`\begin{equation}\begin{split}
+u_1v^1+u_2v^2\,&=u\cdot\cos(\alpha)\cdot v\cdot\dfrac{\cos(a + \theta + \alpha)}{\cos(a)} \\
+&\quad + u\cdot\sin(a + \alpha) \cdot v\cdot\dfrac{\sin(\theta + \alpha)}{\cos(a)}
+\end{split}\end{equation}`$
+
+$`\begin{equation}\begin{split}
+u_1v^1+u_2v^2\,&= u\,v\,\dfrac{1}{\cos(a)} \times \\
+& \quad \left[+\cos(\alpha)\,\cos(a + \theta + \alpha) \right. \\
+& \left.\quad\;+\,\sin(a + \alpha)\,\sin(\theta + \alpha)\,\right]
+\end{split}\end{equation}`$
+
+En utilisant les relations trigonométriques
+
+$`\cos(\theta + \alpha)=\cos(\theta)\cos(\alpha)-\sin(\theta)\sin(\alpha)`$
+
+$`\sin(a + \alpha)=\sin(a)\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cos(a)`$
+
+$`\sin(\theta + \alpha)=\sin(\theta)\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cos(\theta)`$
+
+qui impliquent
+
+$`\begin{equation}\begin{split}
+\cos(a\,&\,+ \theta + \alpha)=\cos\left[a + (\theta + \alpha)\right] \\
+& \\
+&=\cos(a)\,\cos(\theta + \alpha)-\sin(a)\,\sin(\theta + \alpha) \\
+& \\
+&=+\cos(a)\,[\cos(\theta)\cos(\alpha)-\sin(\theta)\sin(\alpha)] \\
+& \quad-\sin(a)\,[\sin(\theta)\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cos(\theta)]\\
+& \\
+&=+\cos(a)\cos(\theta)\cos(\alpha) \\
+&\quad-\cos(a)\sin(\theta)\sin(\alpha) \\
+& \quad-\sin(a)\sin(\theta)\cos(\alpha)\\
+& \quad-\sin(a)\sin(\alpha)\cos(\theta)]
+\end{split}\end{equation}`$
+
+et
+
+$`\begin{equation}\begin{split}
+\sin(a +& \alpha)\,\sin(\theta + \alpha) \\
+&=[\sin(a)\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cos(a)] \\
+& \quad\times[\sin(\theta)\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cos(\theta)] \\
+& \\
+&= + \sin(a)\cos(\alpha)\sin(\theta)\cos(\alpha) \\
+& \quad + \sin(a)\cos(\alpha)\sin(\alpha)\cos(\theta) \\
+& \quad + \sin(\alpha)\cos(a)\sin(\theta)\cos(\alpha) \\
+& \quad +\sin(\alpha)\cos(a)\sin(\alpha)\cos(\theta)
+\end{split}\end{equation}`$
+
+nous obtenons
+
+$`\begin{equation}
+\begin{split}
+u_1v^1+u_2v^2 &= u\,v\,\dfrac{1}{\cos(a)} \times \\
+& \left[\,+\,\cos(\alpha)\cos(a)\cos(\theta)cos(\alpha)\right.\\
+&\;-\,\cos(\alpha)\cos(a)\sin(\theta)\sin(\alpha)\\
+&\;-\,\cos(\alpha)\sin(a)\sin(\theta)\cos(\alpha)\\
+&\;-\,\cos(\alpha)\sin(a)\sin(\alpha)\cos(\theta)\\
+&\;+\, \sin(a)\cos(\alpha)\sin(\theta)\cos(\alpha)\\
+&\;+\,\sin(a)\cos(\alpha)\sin(\alpha)\cos(\theta)\\
+&\;+\,\sin(\alpha)\cos(a)\sin(\theta)\cos(\alpha)\\
+ & \left.\;\;+\,\sin(\alpha)\cos(a)\sin(\alpha)\cos(\theta)\,\right]
+\end{split}
+\end{equation}`$
+
+$`\begin{equation}
+\begin{split}\require{cancel}
+u_1v^1+u_2v^2 &= u\,v\,\dfrac{1}{\cos(a)} \times \\
+& \left[\,+\,\cos(\alpha)\cos(a)\cos(\theta)cos(\alpha)\right.\\
+&\;-\,\cos(\alpha)\cancel{\cos(a)\sin(\theta)}\sin(\alpha)\\
+&\;-\,\cos(\alpha)\cancel{\sin(a)\sin(\theta)}\cos(\alpha)\\
+&\;-\,\cos(\alpha)\cancel{\sin(a)\sin(\alpha)}\cos(\theta)\\
+&\;+\,\sin(a)\cancel{\cos(\alpha)\sin(\theta)}\cos(\alpha)\\
+&\;+\,\sin(a)\cancel{\cos(\alpha)\sin(\alpha)}\cos(\theta)\\
+&\;+\,\sin(\alpha)\cancel{\cos(a)\sin(\theta)}\cos(\alpha)\\
+ & \left.\;\;+\,\sin(\alpha)\cos(a)\sin(\alpha)\cos(\theta)\,\right]
+\end{split}
+\end{equation}`$
+
+$`\begin{equation}
+\begin{split}\require{cancel}
+u_1v^1+u_2v^2 &= u\,v\,\dfrac{1}{\cos(a)} \times \\
+& \quad\left[\,+\,\cos^2(\alpha)\cos(a)\cos(\theta)\right.\\
+& \quad\left.\;\;+\,\sin^2(\alpha)\cos(a)\cos(\theta)\,\right] 
+\end{split}\end{equation}`$
+
+$`\begin{equation}
+\begin{split}\require{cancel}
+u_1v^1+u_2v^2 &= u\,v\,\dfrac{1}{\cos(a)} \times \\
+& \left[\left(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)\right)\,\cos(a)\cos(\theta)\right]
+\end{split}\end{equation}`$
+
+$`u_1v^1+u_2v^2 = u\,v\,\dfrac{\cos(a)\cos(\theta)}{\cos(a)}`$
+
+$`u_1v^1+u_2v^2 = u\,v\,\cos(\theta)`$
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