name: PARALLÈLE-3 : Gauss local, démonstration vers application
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#### Introduction
Dans les cas où il s'applique facilement, le **théorème de Gauss**, dans sa forme intégrale comme dans sa forme locale, *remplace des calculs directs* qui seraient *très complexes* à mener.
Dans les cas où il s'applique facilement, le **théorème d'Ampère'**, dans sa forme intégrale comme dans sa
forme locale, *remplace des calculs directs* qui seraient *très complexes* à mener.
Pour cela, la **condition** est de *disposer d'un minimum d'informations* préliminaires à l'application du théorème. Il faut connaître :
* la **direction du champ électrique $`\overrightarrow{E}`$** en tout point $`M`$ de l'espace.
* le **nombre minimum de composantes** dont dépend le champ électrique $`\overrightarrow{E}`$, et **leur identification**.
* la **direction du champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$** en tout point $`M`$ de l'espace.
* le **nombre minimum de composantes** dont dépend le champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$, et **leur identification**.
Ces informations minimales sur le champ électrique $`\overrightarrow{E}`$,sont *extraites de l'étude des invariances et des symétries* de ses causes, c'est à dire dela distribution de charge à l'origine de ce champ $`\overrightarrow{E}`$.
Ces informations minimales sur le champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$,sont
*extraites de l'étude des invariances et des symétries* de ses causes, c'est à dire de la
distribution de courants à l'origine de ce champ $`\overrightarrow{E}`$.
C'est pour cela que le théorème de Gauss n'est utilisable pour des distributions de charges simples, présentant des symétries et des invariances évidentes.
C'est pour cela que le théorème d'Ampère n'est utilisable pour des distributions de courants simples,
présentant des symétries et des invariances évidentes.
Ces distributions de charges sont :
* des cylindres infinis pleins ou creux chargés.
* des sphères pleines ou creuses chargées.
* des plans infinis de toute épaisseur.
Ces distributions de charges sont essentiellement :
* des cylindres infinis pleins ou creux, parcourus par des courants dirigés selon l'axe de révolution
du cylindre, ou qui s'enroulent circulairement dans les plans perpendiculaires à l'axe de révolution.
* des plans infinis de toute épaisseur parcourus par des courants unidirectionnels.
* des bobines toriques à sections quelconques.
qui doivent en outre présenter les invariances et symétries adéquates.
Par contre, le théorème de superposition permet de déterminer le champ magnétique de toute combinaison de ces distributions de courants.
Par contre, le théorème de superposition permet de déterminer le champ électrique de toute combinaison de ces distributions de charges.
!! *Pour aller plus loin* : *Théorème de Gauss et Électromagnétisme*
!! *Pour aller plus loin* : *Théorème d'Ampère' et Électromagnétisme*
!!
!! L'étude du théorème d'Ampère en magnétostatique, à cette étape contrefort, permet de se familiariser avec les concepts,
!! et de calculer le champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$ créé par des distributions immobiles de courants stationnaires $`\overrightarrow{j}`$
!! hautement invariantes et symétriques.
!!
!! *L'électromagnétisme permettra de calculer le champ électromagnétique $`(\overrightarrow{E}, \overrightarrow{B})`$
!! créé par des distributions de charges et de courants $`(\dens, \overrightarrow{j})`$ variables dans le temps*,
!! avec pour apport fondamental un couplage entre les champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$
!! lorsque ceux-ci varient dans le temps.
!!
!! L'ensemble de *l'électromagnétisme est contenu dans quatre équations* appelées équations *de Maxwell*. Ces quatre équations
!! fondamentales exprimées sous forme locale, ont aussi une expression intégrale.
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!! Le théorème d'Ampère ici étudié en magnétostatique,
!! dans sa forme locale comme dans sa forme intégrale,
!!
!! L'étude du théorème de Gauss en électrostatique, à cette étape contrefort, permet de se familiariser avec les concepts, et de calculer le champ électrostatique $`\overrightarrow{E}`$ créé par des distributions immobiles de charge $`\dens`$ hautement invariantes et symétriques.
!! *L'électromagnétisme permettra de calculer le champ électromagnétique $`(\overrightarrow{E}, \overrightarrow{B})`$ créé par des distributions de charges et de courants $`(\dens, \overrightarrow{j})`$ variables dans le temps*, avec pour apport fondamental un couplage entre les champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ lorsque ceux-ci varient dans le temps.
!! sera en électromagnétisme modifié par un terme proportionnel à la dérivée temporelle
!! de $`\overrightarrow{E}`$, terme de couplage entre les champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$.
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!! Ce théorème d'Ampère complété s'appellera théorème de Maxwell-Ampère.
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!! L'ensemble de *l'électromagnétisme est contenu dans quatre équations* appelées équations *de Maxwell*. Ces quatre équations fondamentales exprimées sous forme locale, ont aussi une expression intégrale. Le théorème de Gauss, dans sa forme locale comme dans sa forme intégrale, dans sa démonstration comme dans ses applications, restera totalement inchangé en électromagnétisme.
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!! *Le théorème de Gauss* est votre *première équation de Maxwell*, dans sa forme locale comme dans sa forme intégrale. Dans le cadre de l'électromagnétisme, il pourra être simplement renommer théorème de Maxwell-Gauss.
*Le théorème de Gauss* est votre *première équation de Maxwell*, dans sa forme locale comme dans sa forme intégrale. Dans le cadre de l'électromagnétisme, il pourra être simplement renommer théorème de Maxwell-Gauss.
La **première étape**, commune à l'application du théorème de **Gauss de forme intégrale comme de forme locale**, est donc l'*étude des symétries et invariances* de la distribution de charge considérée.
!!!! S'il est bon de se souvenir du résultat d'exemples, il est important de garder un esprit ouvert, et de redémontrer à chaque cas, par l'étude des symétries et invariances, l'expression générale du champ électrostatique $`\overrightarrow{E}`$ en tout point de l'espace. Cet entraînement indispensable pour la suite doit commencer dès cette étape électrostatique.
