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@@ -1457,7 +1457,7 @@ $`\quad\quad \;\; = \cdots`$
   <br>
   **$`\begin{array}\quad = &+\,2\,A_{moy}\,cos\big(\omega_{moy} t + \overrightarrow{k}_{moy}\cdot\overrightarrow{r}+ \varphi_{moy}\big)\\
     &\quad\times\,cos\big(\Delta \omega_{1-2} t + \Delta \overrightarrow{k}_{1-2}\cdot\overrightarrow{r}+\Delta\varphi_{1-2}\big)\\
-   &-\,2\,sin\big(\omega_{moy} t + \overrightarrow{k}_{moy}\cdot\overrightarrow{r}+ \varphi_{moy}\big)\\
+   &-\,2\,\Delta A_{1-2}\,sin\big(\omega_{moy} t + \overrightarrow{k}_{moy}\cdot\overrightarrow{r}+ \varphi_{moy}\big)\\
     &\quad\times\,sin\big(\Delta \omega_{1-2} t + \Delta \overrightarrow{k}_{1-2}\cdot\overrightarrow{r}+\Delta\varphi_{1-2}\big)
     \end{array}`$**
 
@@ -1474,20 +1474,36 @@ $`\quad\quad \;\; = \cdots`$
   donc de *rapport de fréquence* égale à la racine douzième de deux : *$`|\nu_1\,/\,\nu_2| = \sqrt[12]{2} = 2^{\frac{1}{12}}`$*.   
   <br>
   Ceci assure bien que monter de 12 demi-tons permet d'atteindre l'octave, la fréquence double de celle du départ :  
-  $`\big(\sqrt[12]{2}\big)^{12} = \big(2^{\frac{1}{12}}\big)^{12} = 2^{\frac{12}{12}} = 2`$   
+  $`\big(\sqrt[12]{2}\big)^{12} = \big(2^{\frac{1}{12}}\big)^{12} = 2^{\frac{12}{12}} = 2^1 = 2`$   
   <br>
 * Le **comma** est un intervalle entre deux sons sinusoïdaux (sons purs) de fréquences
    $`\nu_1`$ et $`\nu_2`$ de fréquences très proches, de façon que la *différence de hauteur* correspondante
    perçue par l'ouïe humain soit *à la limite de perception*. Il correspond environ à *un cinquième de demi-ton*, soit
-   un rapport de fréquence $`|\nu_1 - \nu_2| \approx \frac{1}{5}\sqrt[12]{2} = 2^{\frac{1}{12}}\approx 1,0595`$
+   un rapport de fréquence :   
+   $`\left|\dfrac{\nu_1}{\nu_2}\right| \approx \frac{1}{5}\,\sqrt[12]{2} = \frac{1}{5}\, 2^{\frac{1}{12}}\approx 1,0595`$
 
 * Le **phénomène de battement** nécessite *deux conditions* :
    * Que les deux vibrations sonores qui vont interférer au niveau du tympan soient 
      d'*amplitudes comparables*, afin q'un son perçu ne domine pas l'autre.   
      $`\Longrightarrow`$ nous prendrons **$`A_1=A_2=\color{brown}{A}`$**   
+     $`\Longrightarrow`$**$`\Delta A_{1-2}=0`$**   
+    <br>
    * Qu'entre les deux notes qui interfèrent, la *différence de hauteur soit inférieure au comma*,
      afin qu'une seule hauteur de son soit perçue.
-     $`\Longrightarrow`$ nous prendrons **$`|\dfrac{\nu_1}{\nu_2}\le\dfrac{\sqrt[12]{2}}{5}=0,0032`$**
+     $`\Longrightarrow`$ nous prendrons **$`\left|\dfrac{\nu_1}{\nu_2}\right|\le\dfrac{\sqrt[12]{2}}{5}=0,0032`$**
+
+* L'équation de ce phénomène se résume à :
+<br>
+  **$`U(\overrightarrow{r},t)`$**  
+  <br>
+  $`\begin{array}\quad = &+\,2\,\underbrace{A_{moy}}_{=\;A}\,cos\big(\omega_{moy} t + \color{blue}{\underbrace{\overrightarrow{k}_{moy}\cdot\overrightarrow{r}+ \varphi_{moy}}_{=\varphi_A}} \big)\\
+    &\quad\times\,cos\big(\Delta \omega_{1-2} t + \color{blue}{\underbrace{\Delta \overrightarrow{k}_{1-2}\cdot\overrightarrow{r}+\Delta\varphi_{1-2}}_{=\varphi_B}}\big)\\
+   &-\,2\,\Delta A_{1-2}\,sin\big(\omega_{moy} t + \overrightarrow{k}_{moy}\cdot\overrightarrow{r}+ \varphi_{moy}\big)\\
+    &\quad\times\,sin\big(\Delta \omega_{1-2} t + \Delta \overrightarrow{k}_{1-2}\cdot\overrightarrow{r}+\Delta\varphi_{1-2}\big)
+    \end{array}`$
+
+
+
 
 *  Écoutons ce phénomène :