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@@ -273,9 +273,10 @@ $`\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}`$ _tel que_  $`\dens=0`$ _et_ $`\rho\gt R`$.
 
 ##### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$
 
-La **synthèse des résultats** donne :
+**Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,\varphi_M\, z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :   
+(ne pas oublier le facteur $`1\,/\,\epsilon_0`$)
 
-* **Pour $`\mathbf{\rho\le R}`$**,    
+* **Si $`\mathbf{\rho\le R}`$**,    
 donc à l'*intérieur du cylindre chargé* :   
 <br>
 $`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
@@ -292,7 +293,7 @@ $`\left.\begin{array}{l}
 **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho\,\dens^{3D}_0}{2\,\epsilon_0}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
 
-* **Pour $`\mathbf{\rho\gt R}`$**,   
+* **Si $`\mathbf{\rho\gt R}`$**,   
 donc à l'*extérieur du cylindre chargé* :    
 <br>
 $`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
@@ -323,25 +324,135 @@ $`\,\Longrightarrow`$$`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}`$
 
 #### _2 )_ Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé non uniformément en volume
 
-* description de $`\dens`$ :
+##### Description de $`\dens`$ :
+
+* Prenons l'**exemple** de la distribution :
 
 **$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
-\rho\le R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) \ne 0 \\
+\rho\le R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = A\,\rho^2 \\
+&\text{ avec }A = cste \ne 0 \\
 \rho\gt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho)= 0
 \end{array}\right.`$**   
 
-* Choisissons pour **exemple** la distribution :
+<!--exemple2 à garder : \dens^{3D}(\rho) =  \dfrac{A}{\rho^2} -->
 
-**$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
-\rho\le R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) \ne 0 \\
-\rho\gt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho)= 0
-\end{array}\right.`$**   
 
+* Nombre de sous-espaces complémentaires à prendre en compte : 2
+   * sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}=A\,\rho^2`$ et tel que $`\rho\le R`$.
+   * sous-espace $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=0`$ et tel que $`\rho \gt R`$
+
+##### Calcul de la charge $`Q_{int}`$ :
+
+<br>
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M\le R}`$** :
+
+* Le *point $`M`$ quelconque* est situé **à l'intérieur** du cylindre chargé.   
+<br>
+$`\Longrightarrow`$ le **volume de Gauss  $`\Ltau_G`$** est entièrement *contenu dans le sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$*.   
+ 
+*  Le volume chargé est ici la totalité du volume de Gauss :
+<br>
+**$`\mathbf{Q_{int}}`$** $`\displaystyle\;=\iiint_{\Ltau_G}\dens\;d\Ltau`$   
+<br>
+$`\displaystyle\hspace{1.2cm}= \iiint_{\Ltau_G}\dens_{int}\;d\Ltau`$    
+<br>
+**$`\mathbf{\displaystyle\hspace{1.2cm}= \iiint_{\Ltau_G} A\,\rho^2\,d\Ltau}`$**
+
+*  *$`\dens^{3D}`$ est fonction de $`\rho`$*, donc tous les $`d\Ltau`$ ne sont pas caractérisés par une valeur unique de $`\dens^{3D}`$     
+$`\Longrightarrow\dens^{3D}_0`$ *ne peut pas sortir de l'intégrale*.   
+$`\Longrightarrow`$ l'élément de volume $`d\Ltau`$ doit prendre son expression *en coordonnées cylindriques* $`\mathbf{d\Ltau=\rho\,d\varphi\,d\rho\,dz}`$ :   
+<br>
+**$`\mathbf{Q_{int}}`$** $`\displaystyle = \iiint_{\Ltau_G}A\,\rho^2\,\rho\,d\varphi\,d\rho\,dz`$   
+<br>
+$`\displaystyle\hspace{1.2cm}= \iiint_{\Ltau_G} A\,\rho^3\,\,d\varphi\,d\rho\,dz`$   
+<br>
+**$`\displaystyle\hspace{1.2cm}\mathbf{=\int_{\rho=0}^{\rho_M}\int_{z=z_0}^{z_0+h}\int_{\varphi=0}^{2\pi} A\,\rho^3\,d\varphi\,dz\,d\rho}`$**
+
+* Les coordonnées $`\rho\,\varphi\,z`$ varient indépendament les unes des autres    
+$`\Longrightarrow`$ intégrale triple = 3 intégrales simples effectuées dans un ordre quelconque.   
+$`\Longrightarrow`$ une étape possible de calcul intermédiaire donne :   
 <br>
+**$`\mathbf{Q_{int}}`$**
+$`\displaystyle\;=2\pi\,A\,h\cdot \int_{\rho=0}^{\rho_M} \rho^3\,d\rho=2\pi\,A\,h\cdot\bigg[\dfrac{\rho^4}{4}\bigg]_{0}^{\rho_M}`$
 
----------------------------------------------
+* Au final :    
+**$`\mathbf{Q_{int}=\dfrac{\pi\,A\,h}{2}\,\rho_M^4}\quad`$**  (pour $`\rho_M\le R`$)
 
-#### _3 )_ Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ et non uniformément chargé`$    
+-----------------
+
+<br>
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M\gt R}`$** :
+
+
+* Le *point $`M`$ quelconque* est situé **à l'extérieur** du cylindre chargé.   
+<br>
+$`\Longrightarrow`$ le **volume de Gauss  $`\Ltau_G`$** s'étend *dans les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$*    
+
+* **$`\mathbf{Q_{int}}`$** $`\displaystyle\;=\iiint_{\Ltau_G}\dens\;d\Ltau`$   
+<br>
+$`\displaystyle\;\; = \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}\dens_{int}\;d\Ltau + \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}}\dens_{ext}\;d\Ltau`$    
+<br>
+$`\displaystyle\;\; = \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}} A\,\rho^2\,d\Ltau + \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}}0 \;d\Ltau`$    
+<br>
+**$`\mathbf{\displaystyle\;\;= \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}} A\,\rho^2\,d\Ltau}`$**
+
+*  Avec $`d\Ltau`$ en coordonnées cylindriques puis les bornes correctes d'intégration :   
+<br>
+**$`\mathbf{Q_{int}}`$** $`\displaystyle\;\; = \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}} A\,\rho^2\,\rho\,d\varphi\,d\rho\,dz`$   
+<br>
+$`\displaystyle\hspace{1.2cm}= \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}  A\,\rho^3\,\,d\varphi\,d\rho\,dz`$   
+<br>
+**$`\displaystyle\hspace{1.2cm}\mathbf{=\int_{\rho=0}^R\int_{z=z_0}^{z_0+h}\int_{\varphi=0}^{2\pi}  A\,\rho^3\,d\varphi\,dz\,d\rho}`$**
+
+* Le calcul final donne :    
+**$`\mathbf{Q_{int}=\dfrac{\pi\,A\,h}{2}\,R^4}\quad`$**  (pour $`\rho_M\gt R`$)
+
+
+##### Synthèse des résultats et calcul de $`\overrightarrow{E}`$
+
+**Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,\varphi_M\, z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :   
+(ne pas oublier le facteur $`1\,/\,\epsilon_0`$)
+
+
+* **Si $`\mathbf{\rho_M \le R}`$**,    
+donc à l'*intérieur du cylindre chargé* :   
+<br>
+$`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
+**$`\mathbf{2\pi \rho_M\,h\, E}`$**
+$`\;=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}`$
+**$`\mathbf{\;=\dfrac{\pi\,A\,h}{2\,\epsilon_0}\,\rho_M^4}`$**   
+<br>
+Au final :  
+$`\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
+2\pi \rho_M\, h\,E=\dfrac{\pi\,A\,h}{2\,\epsilon_0}\,\rho_M^4
+\end{array}\right\}
+\Longrightarrow`$
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{A\,\rho_M^3}{4\,\epsilon_0}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+
+* **Si $`\mathbf{\rho_M\gt R}`$**,   
+donc à l'*extérieur du cylindre chargé* :    
+<br>
+$`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
+**$`\mathbf{2\pi \rho_M\,h\, E}`$**
+$`\;=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}`$
+**$`\mathbf{\;=\dfrac{\pi\,A\,h}{2\,\epsilon_0}\,R^4}`$**   
+<br>
+Au final :   
+$`\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
+2\pi \rho_M\,h\, E= \dfrac{\pi\,A\,h}{2\,\epsilon_0}\,R^4
+\end{array}\right\}
+\Longrightarrow`$
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{A\,R^4}{4\,\epsilon_0\,\rho_M}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+
+
+
+
+
+#### _3 )_ Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ 
 
 * description de $`\dens`$ :
 
@@ -351,57 +462,62 @@ R_{int} \le \rho\le R_{ext} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) \ne 0 \\
 \rho\gt R_{int} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0
 \end{array}\right.`$**   
 
-<br>
+Nous pouvons considérer **2 méthodes équivalentes**
+
+##### Théorème de Gauss en considérant 3 sous-espaces complémentaires
+
+* Les sous-espaces complémentaires à prendre en compte sont : 
+   * sous-espace intérieur $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}=0`$ et tel que $`\rho\lt R_{int}`$.
+   * sous-espace milieu $`\mathscr{E}_{mil}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}\ne 0`$ et tel que $`R_{int}\le\rho\le R_{ext}`$.
+   * sous-espace extérieur $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}=0`$ et tel que $`\rho \gt R_{ext}`$
 
----------------------------------------------
+à terminer
 
-#### 4 ) Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en surface
+##### Utiliser le théorème de superposition
+
+à terminer
+
+
+##### _4 )_ Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en surface
 
 * C'est, entre autre mais pas seulement,  le cas précédent dans la limite où $`R_{int}\longrightarrow R_{ext}=R`$)    
   $`\Longrightarrow \dens^{3D} \text{ est modélisée par } \dens^{2D} `$  
   
-* description de $`\dens`$ :
+##### Description de $`\dens`$ :
 
-**$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
+* **$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
 \rho\lt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0 \\
 \rho = R  \Longrightarrow & \dens^{2D}(\rho)=  \dens^{2D}_0=cst \ne 0 \\
 \rho\gt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0 \\
 \end{array}\right.`$**   
 
-<br>
+* Nombre de sous-espaces à prendre en compte : 2
+   * sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}_0`$ et tel que $`\rho\le R`$.
+   * sous-espace $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=0`$ et tel que $`\rho \gt R`$
 
------------------------------------------------------
+à développer et terminer
 
-Et pour reprendre le *cas simple étudié par calcul direct* :
+montrer discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ à la traversée d'une surface chargée, due 
+au passage 3D vers idéalisation 2D : cela aura déjà été vu juste avant dans distribution de charge a symétrie plane, faire le lien.  
+Cette discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ en $`\rho=R`$ fait que le champ n'est pas défini en $`\rho=R`$ dans cette modélisation, dnas cette idéalisation 2D, ce qui justifie de n'avoir considéré que les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$.
 
 
-#### 5 ) Quel est le champ électrique créé par un fil rectiligne infini uniformément chargé ?
 
+! et pour reprendre le *cas simple étudié par calcul direct* :
+
+##### Quel est le champ électrique créé par un fil rectiligne infini uniformément chargé ?
 
-traiter les cas du (cela sera rapide maintenant) :       
-\- cylindre infini chargé uniformément en volume : $`\dens^{3D}=cste`$   
-\- cylindre infini chargé en volume avec $`\dens^{3D}=\dens^{3D}(\rho)`$   
-\- cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$       
-(deux méthodes équivalentes)   
-\- cylindre infini chargé uniformément en surface ($`R_{ext}\longrightarrow R_{int}`$) : $`\dens^{2D}=cste`$  
-(deux méthodes équivalentes,   
-montrer discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ à la traversée d'une surface chargée, due 
-au passage 3D vers idéalisation 2D.   
-cela aura déjà été vu juste avant dans distribution de charge a symétrie plane).   
 \- fil infini chargé uniformément : $`\dens^{1D}=cste`$ 
 (montrer champ infini en $`\rho=0`$ en contradiction avec symétries,   
 montrer que ce paradoxe viens du passage 3D vers 1D. Le vrai comportement de $`\overrightarrow{E}(\rho))`$
 au voisinage de $`\rho=0`$ est dans les dimensions négligées).
 
 
-On trouvera autre chose ou des cas particuliers pour les exos.
 
 
-<br>
-
------------------------------------------------------
+### **5 -** Cylindres creux coaxiaux
 
-#### 6 ) Cables coaxiaux concentriques
+Cas particulier où ils portent des charges opposées, lien avec le condensateur cylindrique. Parallélisme possible. 
 
 (deux méthodes équivalentes)