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12.temporary_ins/08.grad-div-rot/70.combinaisons-of-operators/20.overview/cheatsheet.en.md

+---
+title: "Operator Combinations"
+published: true
+routable: true
+visible: false
+lessons:
+    - slug: combinaison-operators-for-electromagnetism
+      name: TOOL-MATH: Combination of operators for electromagnetism
+      order: 1
+---
+
+<!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
+$`\def\dens{\large{\varrho}\normalsize}`$
+
+!!!!  <details>
+!!!! <summary> Cours en construction, non validé à ce stade </summary>  
+!!!! Publié mais invisible : n'apparait pas dans l'arborescence du site m3p2.com.   
+!!!!  Ce cours est en phase très préliminaire, il n'est *pas validé par l'équipe pédagogique* à ce stade.   
+!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
+!!!! </details>
+
+Attention !!! En période très préliminaire d'élaboration et de construction !
+
+##### Randonnée montagne :&nbsp; _physique_
+
+---------------------------
+
+### Mathematical identity and combinations of operators
+
+<br>
+
+RÉSUMÉ IDENTITÉ 
+: ---
+
+   Deux champs vectoriels quelconques $`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ vérifient
+   l'identité mathématique :     
+   * $`\mathbf{div\,\big(\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}\big)=\overrightarrow{U}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{V}\big)\,-\,\overrightarrow{V}\cdot\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)}`$
+
+
+RÉSUMÉ COMBINAISONS
+: ---
+
+    Soient $`\overrightarrow{U}`$ un champ vectoriel et $`\phi`$ un champ scalaire quelconques :
+
+   * $`\mathbf{\overrightarrow{rot}\big(\,\overrightarrow{grad}\,\phi\big)=\overrightarrow{0}}`$   
+     
+     * Est utilisée pour montrer qu'un champ vectoriel dérive d'un champ scalaire :   
+     $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}=\overrightarrow{0}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\phi\,,\, \overrightarrow{U}=\overrightarrow{grad}\,\phi`$
+     * En physique, un champ d'interaction $`\overrightarrow{U}`$ dérive d'un potentiel scalaire $`\phi`$
+       $`\Longleftrightarrow\quad\exists\phi\,,\, \overrightarrow{U}=- \overrightarrow{grad}\,\phi`$,    
+       le signe $`-`$ permettant de définir une énergie mécanique qui se conserve.
+
+   * $`\mathbf{div\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)=0}`$   
+     * Est utilisée pour montrer qu'un champ vectoriel dérive d'un champ vectoriel :   
+     $`div\,\overrightarrow{U}=0\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\phi\,,\, \overrightarrow{U}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{V}`$
+     * En physique, si $`\overrightarrow{U}`$ est un champ d'interaction, $`\overrightarrow{V}`$ est son potentiel vecteur.
+
+   ---
+
+   *Laplacien $`\Delta\,\phi`$ d'un champ scalaire $`\phi`$*
+
+   * Définition de l'opérateur laplacien scalaire :  
+     $`\mathbf{\Delta=div\big(\overrightarrow{grad}\big)}`$ 
+ 
+   * Utilité en physique :   
+     * équation d'onde (ou équation de d'Alembert) :   
+       $`\Delta\,\phi-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=0`$
+     * équation de Poisson :   
+       $`\Delta\,\phi-f=0\quad`$, avec $`f`$ champ scalaire.
+     * équation de Laplace :   
+       $`\Delta\,\phi=0`$
+
+   * Expression de $`\Delta\,\phi`$ en coordonnées cartésiennes :   
+     $`\Delta\,\phi=\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}`$    
+     et expression avec l'opérateur nabla $`\nabla`$ :   
+     $`\Delta\,\phi=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}\,\phi`$
+  
+   * <details markdown=1>
+      <summary>Expressions en coordonnées cylindriques et sphériques</summary>
+      * coordonnées cylindriques $`(\rho\,,\,\varphi\,,\,z)`$ :   
+        <br>
+       $`\Delta\,\phi=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \rho}\right)`$
+        $`\;+\;\dfrac{1}{\rho^2}\cdot\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial \varphi^2}`$
+        $`\;+\;\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}`$   
+       <br>
+      * coordonnées sphérique $`(r\,,\,\theta\,,\,\varphi)`$ :   
+        <br>
+       $`\Delta\,\phi=\dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}(r\phi)`$
+       $`\;+\;\dfrac{1}{r^2\,\sin\theta}\cdot\dfrac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial \phi}{\partial \theta}\right)`$
+       $`\;+\;\dfrac{1}{r^2\,\sin^2\theta}\cdot\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial \varphi^2}`$
+
+
+   ---
+   
+   *Laplacien $`\Delta\,\overrightarrow{U}`$ d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$*
+   
+   * Définition opérateur laplacien vectoriel :    
+   $`\mathbf{\Delta=\overrightarrow{grad}\big(div\big)
+   -\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\big)}`$
+
+   * Utilisé en physique dans l'équation d'onde vectorielle :   
+     $`\Delta\,\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0`$
+
+   * Expression de $`\Delta\,\overrightarrow{U}`$ en coordonnées cartésiennes de base unitaire $`(\vec{e_x}\,,\,\vec{e_y}\,,\,\vec{e_z})`$ :   
+     $`\Delta\,\overrightarrow{U}=\left(\begin{array}{l}
+     \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}\\
+     \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\\
+     \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}
+     \end{array}\right)`$   
+     <br>
+     et expression avec l'opérateur nabla $`\nabla`$ :   
+     $`\Delta\,\overrightarrow{U}=\left(\begin{array}{l}
+     \Delta\,U_x\\
+     \Delta\,U_y\\
+     \Delta\,U_z\\
+     \end{array}\right)`$
+     $`\;=\left(\begin{array}{l}
+     \overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}\,U_x\\
+     \overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}\,U_y\\
+     \overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}\,U_z\\
+     \end{array}\right)`$
+
+   * <details markdown=1>
+      <summary>Expressions en coordonnées cylindriques et sphériques</summary>
+      * dans la base cylindrique unitaire $`(\vec{e_{\rho}}\,,\,\vec{e_{\phi}}\,,\,\vec{e_z})`$ :   
+        <br>
+       $`\Delta\,\overrightarrow{U}=\left(\begin{array}{l}
+         \Delta_{cyl}U_{\rho}\\
+         \Delta_{cyl}U_{\phi}\\
+         \Delta_{cyl}U_z
+     \end{array}\right)`$   
+     <br>
+     où $`\Delta_{cyl}`$ est l'expression du laplacien scalaire en coordonnées cylindriques.
+      * dans la base sphérique unitaire $`(\vec{e_r}\,,\,\vec{e_{\theta}}\,,\,\vec{e_{\phi}})`$ :   
+        <br>
+       $`\Delta\,\overrightarrow{U}=\left(\begin{array}{l}
+         \Delta_{sph}U_r\\
+         \Delta_{sph}U_{\theta}\\
+         \Delta_{sph}U_{\phi}
+     \end{array}\right)`$   
+     <br>
+     où $`\Delta_{sph}`$ est l'expression du laplacien scalaire en coordonnées sphériques.
+      </details>
+
+<br>
+
+
+#### Pourquoi combiner des opérateurs ?
+
+* Les opérateurs **$`\mathbf{\overrightarrow{grad},\,div}`$ et $`\mathbf{\overrightarrow{rot}}`$** caractérisent en tout 
+point de l'espace des *propriétés importantes des champs* sur lesquels ils s'appliquent. 
+Ils ont une existence en soi, plus fondamentale que leurs expressions dans 
+les différents systèmes de coordonnées.   
+<br>
+Ce sont des **opérateurs différentiels d'ordre un** : leurs expressions dans les différents systèmes 
+de coordonnées n'utilisent que des *dérivées partielles spatiales du premier ordre*.
+
+!!! *Exemples* :   
+!!! * en électrostatique $`\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V`$ qu'il existe une famille 
+!!! de champs scalaires $`V`$ dont le champ électrostatique $`\overrightarrow{E}`$ peut dériver.
+!!! * en électrostatique $`div\,\overrightarrow{E}=\dens_{charge}^{\;3D}\,/\,\epsilon_0`$ indique que
+!!! le champ électrostatique $`\overrightarrow{E}`$ converge ou diverge sur la charge électrique qui le cause.
+!!! La charge peut ainsi apparaître comme une simple propriété d'un champ électrostatique.
+!!! * en magnétostatique, $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}^{3D}`$ indique
+!!! que les lignes de champ d'excitation magnétique $`,\overrightarrow{H}`$ s'enroule autour de l'élément de courant 
+!!! $`\overrightarrow{j}^{3D}`$ qui le créé dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{j}^{3D}`$.
+!!! l'élément de courant peut ainsi apparaître comme une simple propriété d'un champ magnétostatique.
+
+
+* Cependant les **lois physiques** se traduisent souvent par des **équations différentielles d'ordre deux** : 
+leurs expressions dans les différents systèmes  de coordonnées n'utilisent que des 
+*dérivées partielles spatiales du second ordre*.
+
+!!! *Exemples* :  en coordonnées cartésiennes $`(x,y,z)`$,
+!!! * la propagation d'une onde plane progressive monochromatique $`\Phi`$ dans un milieu homogène et isotrope se propageant vers les x positifs
+!!! selon la loi 
+!!! $`\dfrac{\partial^2 \Phi(x,t)}{\partial x^2}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\,-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\,\dfrac{\partial^2 \Phi(x,t)}{\partial t^2}`$.
+!!! * L'équation de diffusion d'une grandeur physique de densité $`\Phi(x,y,z,t)`$ s'écrit
+!!! $`\displaystyle\dfrac{\partial \Phi(\vec{r},t)}{\partial t}=\sum_{x_i=1}^3\sum_{x_j=1}^3\dfrac{\partial}{\partial x_i}\Bigg[\mathscr{D}(\Phi,\vec{r})\,\dfrac{\partial \Phi(\vec{r},t)}{\partial x_j}\Bigg]`$
+
+* Ainsi les **expressions vectorielles des lois physiques**, utiles car indépendantes des systèmes de coordonnées, 
+nécessitent des *combinaisons de deux opérateurs du premier ordre* pour obtenir un opérateur du second ordre.
+<br>
+
+#### Quelles sont les combinaisons possibles ?
+
+* Les opérateurs différentiels de premier ordre principalement utilisés en physique sont au nombre de 3.
+
+* Le nombre de séquences ordonnées 2 éléments, avec répétition possible d'un même élément, parmi 3 éléments est 9. 
+
+! *Note* :   
+!  En mathématique combinatoire et dénombrement :   
+! * une séquence de deux éléments $`a`$ et $`b`$ est ordonnée si l'ordre à un sens, donc si
+! $`(a,b)\ne(b,a)`$. Une séquence ordonnée s'appelle une suite.
+! * Une suite de 2 éléments parmi 3 s'appelle un arrangement.
+! * Lorsque la répétition $`(a,a)`$ d'un élément $`a`$ est permise, l'arrangement est dit avec répétition.
+! * Le nombre d'arrangements avec répétition de p éléments d'un emsemble de n éléments s'écrit et se calcule :   
+! $`A_n^p=n^p`$.
+! Le nombre d'arrangements avec répétition de 2 éléments parmi 3 égale 
+! $`A_3^2=3^2=9`$.
+
+* Cependant, les opérateurs **$`\mathbf{\overrightarrow{grad},\,div,\,\overrightarrow{rot}}`$** 
+ ne sont *pas du même type*.
+   * $`\overrightarrow{grad}`$ s'applique à un champ scalaire et donne un champ vectoriel.
+   * $`div`$ s'applique à un champ vectoriel et donne un champ scalaire.
+   * $`\overrightarrow{rot}`$ s'applique à un champ vectoriel et donne un champ vectoriel.   
+   * 
+* Ainsi seuls cinq des neufs arrangements d'écriture possible *ont un sens*.     
+  Ils conduisent aux **cinq opérateurs différentiels du second ordre** suivants :
+
+*$`\quad\large{\require{cancel}\xcancel{\overrightarrow{grad}\,\big(\overrightarrow{grad})}}\quad ,`$*
+**$`\quad\large{\overrightarrow{grad}\,\big(div)}`$**
+*$`,\quad\large{\require{cancel}\xcancel{\overrightarrow{grad}\,\big(\overrightarrow{rot})}}`$*
+**$`,\quad\large{div\,\big(\overrightarrow{grad})}`$**
+*$`,\quad\large{\require{cancel}\xcancel{div\,\big(div)}}`$*
+**$`,\quad\large{div\,\big(\overrightarrow{rot})}`$**
+**$`,\quad\large{\overrightarrow{rot}\,\big(\overrightarrow{grad})}`$**
+*$`,\quad\large{\require{cancel}\xcancel{\overrightarrow{rot}\,\big(div)}}`$*
+**$`,\quad\large{\overrightarrow{rot}\,\big(\overrightarrow{rot})}`$**
+   
+* Toute **combinaison linéaire** *de ces cinq opérateurs* différentiels de second ordre est elle-même
+un opérateur différentiel de second ordre.   
+<br>
+Une combinaison linéaire s'avère particulièrement **utile en physique** est    
+<br>
+**$`\large{div\,\big(\overrightarrow{grad})-\overrightarrow{rot}\,\big(\overrightarrow{rot})}`$** *$`\large{\;=\Delta}\;`$*,   
+<br>
+qui définit l'opérateur *Laplacien vectoriel $`\Delta`$*. Celui-ci intervient dans tout phénomène de propagation de champs vectoriels.
+
+
+
+### Combinaisons pour l'étude des phénomènes de propagation
+
+<br>
+
+#### L'opérateur laplacien scalaire, et la propagation d'un champ scalaire.
+
+##### 1 - Opérateur laplacien scalaire et équation d'onde d'un champ scalaire.
+
+* Un *champ scalaire $`f`$ se propage* s'il vérifie l'**équation d'onde scalaire**.
+  <br>
+  L'écriture générale de cette équation *utilise l'opérateur lagrangien scalaire $`\Delta`$* et s'écrit :   
+  <br>
+  **$`\Delta\,f-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$**
+
+* Cet opérateur laplacien scalaire **$`\Delta`$ possède une existence en soi**, 
+  *indépendante de son expression dans un système de coordonnées* donné, de même qu'un vecteur à une existence en soit, indépendante de l'expression de ses composantes
+  dans un système de coordonnées donné.
+
+* Exprimée **en coordonnées cartésiennes**, l'*équation d'onde scalaire* s'écrit :   
+  <br>
+  *$`\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$*
+  <br>
+  l'expression du laplacien scalaire **$`\Delta`$ en coordonnées cartésienne** étant :   
+  <br>
+  **$`\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$**
+
+!!! *Exemples de champs scalaires* :   
+!!! * le champ des température dans l'atmosphère terrestre.
+!!! * le champ de la densité volumique de masse du globe terrestre, ou de l'atmosphère terrestre.
+
+##### 2 - Champ scalaire et opérateur $`\overrightarrow{grad}`$
+
+* Un **champ scalaire $`f`$**, fonction continue et au moins une fois dérivable de l'espace, peut être
+  caractérisé *en chacun de ses points* par un *vecteur gradient $`\overrightarrow{grad}\,f`$*.   
+  <br>
+  **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le *champ de gradient $`\overrightarrow{grad}\,f`$* qui est un **champ vectoriel**.
+
+##### 3 - Définition du laplacien scalaire à partir du gradient
+
+* Le **champ de gradient $`\overrightarrow{grad}\,f`$** d'un champ scalaire $`f`$ au moins deux fois dérivable, peut être caractérisé
+  *en chacun de ses points* par sa *divergence $`div\,\overrightarrow{grad}\,f`$*.   
+  <br>
+  **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le **champ de divergence $`div\,\overrightarrow{grad}\,f`$** qui est un champ scalaire.
+
+* Cherchons l'expression de ce champ de divergence en fonction du champ f, en coordonnées cartésiennes.
+   * L'expression cartésienne du gradient d'un champ $`f`$ est :   
+     $`\overrightarrow{grad}\,f=\dfrac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{e_y}+\dfrac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{e_z}`$
+   * L'expression cartésienne de la divergence d'un champ $`\overrightarrow{U}`$ est :  
+     $`div\,\overrightarrow{U}=\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}`$
+   * La combinaison des deux expressions permet d'exprimer la 
+     *divergence du gradient de $`f`$ en coordonnées cartésiennes* :   
+     <br>
+     *$`div\,\overrightarrow{grad}\,f`$*
+     $`\quad= \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)+\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)+\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)`$
+     *$`\quad = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}`$*   
+     <br>
+     et l'**opérateur $`div\,\overrightarrow{grad}`$ en coordonnées cartésiennes** :   
+     <br>
+     **$`div\,\overrightarrow{grad}= \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$**
+
+* Nous reconnaissons l'expression cartésienne de l'opérateur laplacien.
+
+* L'opérateur combiné $`div\,\overrightarrow{grad}`$ constitue la **définition de l'opérateur laplacien scalaire** :   
+<br>
+**$`\large{\Delta}=div\;\overrightarrow{grad}`$**
+
+##### 4 - Relation entre les propriétés locales d'un champ scalaire et sa propagation
+
+* Tout champ scalaire $`f`$ (continue et au moins deux fois dérivable) possède son champ de gradient $`\overrightarrow{f}`$.
+* *Si le gradient de $`\overrightarrow{f}`$ vérifie l'* **équation d'onde** :   
+  <br>
+  *$`\large{div\,\overrightarrow{grad}\,f-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0}`$*      
+  <br>
+  ou écrit avec le laplacien scalaire :   
+  <br>
+  **$`\large{\Delta\,f-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0}`$**      
+  <br>
+  **alors le champ scalaire $`f`$ se propage** *à la célérité $`\mathscr{v}`$*.
+
+<br>
+
+-----------------------------------
+
+#### L'opérateur laplacien vectoriel, et la propagation d'un champ vectoriel
+
+##### 1 - Opérateur laplacien vectoriel et équation d'onde d'un champ vectoriel.
+
+* Un *champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ se propage* s'il vérifie l'**équation d'onde vectorielle**.
+  <br>
+  L'écriture générale de cette équation *utilise l'opérateur lagrangien vectoriel $`\overrightarrow{\Delta}`$* et s'écrit :   
+  <br>
+  **$`\Delta\,\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=\overrightarrow{0}`$**
+
+* Cet opérateur laplacien vectoriel **$`\Delta`$ possède une existence en soi**, 
+  *indépendante de son expression dans un système de coordonnées* donné, de même qu'un vecteur 
+  à une existence en soit, indépendante de l'expression de ses composantes
+  dans un système de coordonnées donné.
+
+* Exprimée **en coordonnées cartésiennes**,   
+    * Le *champ vectoriel* s'écrit :   
+    <br>
+    *$`\overrightarrow{U}=U_x\,\overrightarrow{e_x}+U_y\,\overrightarrow{e_y}+U_z\,\overrightarrow{e_z}`$*
+    * et l'*équation d'onde vectoriel* se décompose en :   
+
+    *$`\left\{\begin{array}{l}
+    \;\left(\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial t^2}=0\\
+    \;\left(\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial t^2}=0\\    
+    \;\left(\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial t^2}=0   
+    \end{array}\right.`$*   
+    <br>
+    *Chacune des composantes du champ vérifie l'équation d'onde scalaire*.
+
+* L'expression du laplacien vectoriel **$`\Delta\,\overrightarrow{U}`$**
+  d'un vecteur $`\overrightarrow{U}`$ **en coordonnées cartésiennes** est :   
+  <br>
+  **$`\Delta`$**
+  **$`=\left(
+   \begin{array}{l}
+    \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}\\
+    \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}\\
+    \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}
+    \end{array}
+   \right)`$**
+
+
+<br>
+
+##### 2 - Champ vectoriel et opérateurs $`div`$ et $`\overrightarrow{rot}`$
+
+* Un **champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$**, fonction continue et au moins une fois dérivable de l'espace,
+  peut être caractérisé *en chacun de ses points* par un *scalaire divergence $`div\,\overrightarrow{U}`$* et
+  un *vecteur rotationnel $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}`$*   
+  <br>
+  **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le *champ de divergence $`div\,\overrightarrow{U}`$* 
+  qui est un **champ scalaire**.   
+  <br>
+  **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le *champ de rotationnel $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}`$* 
+  qui est un **champ vectoriel**.
+
+<br>
+
+##### 3 - Définition du laplacien vectoriel à partir de la divergence et du rotationnel
+
+* Le **champ de divergence $`div\,\overrightarrow{U}`$** d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ au moins 
+  deux fois dérivable, peut être caractérisé *en chacun de ses points* par : 
+   * *son gradient $`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$*   
+   <br>
+   **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons cronstruire le 
+   **champ de gradient $`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$**
+   qui est un champ vectoriel.
+
+* Cherchons les coordonnées cartésiennes de $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)`$
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$`\color{blue}{div\,\overrightarrow{U}=\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}}`$
+
+* La divergence d'un champ vectoriel est un champ scalaire.   
+      Le gradient d'un champ scalaire $`f`$ est le champ vectoriel, qui s'exprime en coordonnées cartésiennes :
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$`\overrightarrow{grad}\,f=\left(
+\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial f}{\partial x}\\
+\dfrac{\partial f}{\partial y}\\
+\dfrac{\partial f}{\partial z}
+\end{array}\right)`$
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; donc :
+
+$`\overrightarrow{grad}\big(\color{blue}{div\,\overrightarrow{U}}\big)`$
+$`\quad = \left(
+\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial}{\partial x}\left( \color{blue}{\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}} \right)\\
+\dfrac{\partial}{\partial y}\left( \color{blue}{\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}} \right)\\
+\dfrac{\partial}{\partial z}\left( \color{blue}{\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}} \right)
+\end{array}\right)`$
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; et nous obtenons l'expression **en coordonnées cartésiennes** :
+
+$`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$
+**$`\quad = \left(
+\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x\, \partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x \,\partial z}\\
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y \,\partial z}\\
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z \,\partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}
+\end{array}\right)`$**
+
+<br>
+
+----------------------------------
+
+<br>
+
+
+* Le **champ de rotationnel $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}`$** d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ au moins 
+  deux fois dérivable, peut être caractérisé *en chacun de ses points* par : 
+   * son *rotationnel $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$*   
+   <br>
+   **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons cronstruire le 
+   **champ de rotationnel $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$**
+   qui est un champ vectoriel.
+
+* Cherchons les coordonnées cartésiennes de $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$.
+
+$`\color{blue}{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}=
+\left(\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial U_z}{\partial y}-\dfrac{\partial U_y}{\partial z}\\
+\dfrac{\partial U_x}{\partial z}-\dfrac{\partial U_z}{\partial x}\\
+\dfrac{\partial U_y}{\partial x}-\dfrac{\partial U_x}{\partial y}
+\end{array}\right)}`$
+
+
+$`\overrightarrow{rot}\big(\color{blue}{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)}`$
+$`\quad =
+\left[\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial}{\partial y}\left(
+\color{blue}{\dfrac{\partial U_y}{\partial x}-\dfrac{\partial U_x}{\partial y}}
+\right)
+-\dfrac{\partial}{\partial z}\left(
+\color{blue}{\dfrac{\partial U_x}{\partial z}-\dfrac{\partial U_z}{\partial x}}
+\right)\\
+\dfrac{\partial}{\partial z}\left(
+\color{blue}{\dfrac{\partial U_z}{\partial y}-\dfrac{\partial U_y}{\partial z}}
+\right)
+-\dfrac{\partial}{\partial x}\left(
+\color{blue}{\dfrac{\partial U_y}{\partial x}-\dfrac{\partial U_x}{\partial y}}
+\right)\\
+\dfrac{\partial}{\partial x}\left(
+\color{blue}{\dfrac{\partial U_x}{\partial z}-\dfrac{\partial U_z}{\partial x}}
+\right)
+-\dfrac{\partial}{\partial y}\left(
+\color{blue}{\dfrac{\partial U_z}{\partial y}-\dfrac{\partial U_y}{\partial z}}
+\right)\end{array}\right]`$
+
+ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Nous obtenons alors l'expression **en coordonnées cartésiennes** :
+
+$`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$
+**$`\quad = \left(\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y\,\partial x}
+-\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}
+-\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}
++\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z\,\partial x} \\
+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z\,\partial y}
+-\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}
+-\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}
++\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x\,\partial y} \\
+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x\,\partial z}
+-\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}
+-\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}
++\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y\,\partial z} \\
+\end{array}\right)`$**
+
+<br>
+
+----------------------------------
+
+<br>
+
+Un **fait important** apparaît par 
+*soustraction* des composantes cartésiennes *de $`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$*
+*et de $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$*
+
+$`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$
+$`\quad = \left(
+\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x\, \partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x \,\partial z}\\
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y \,\partial z}\\
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z \,\partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}
+\end{array}\right)`$
+$`\quad - \quad
+\left(\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y\,\partial x}
+-\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}
+-\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}
++\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z\,\partial x} \\
+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z\,\partial y}
+-\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}
+-\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}
++\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x\,\partial y} \\
+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x\,\partial z}
+-\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}
+-\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}
++\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y\,\partial z} \\
+\end{array}\right)`$
+
+$`\quad = \left(\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x\, \partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x \,\partial z}\\
+\quad\quad - \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y\,\partial x}
++\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}
++\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}
+-\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z\,\partial x} \\
+\\
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y \,\partial z}\\
+\quad\quad - \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z\,\partial y}
++\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}
++\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}
+-\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x\,\partial y} \\
+\\
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z \,\partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}\\
+\quad\quad - \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x\,\partial z}
++\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}
++\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}
+-\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y\,\partial z} \\
+\end{array}\right)`$
+
+* L'ordre de dérivation n'important pas,    
+$`\big(\text{exemple :}\;\dfrac{\partial^2}{\partial x\,\partial y}=\dfrac{\partial^2}{\partial y\,\partial x}\big)`$,   
+  nous remarquons alors que toutes les dérivées partielles du second ordre correspondant à
+  des termes croisés de coordonnées s'annulent :
+
+$`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$
+$`\require{cancel}\quad = \left(\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\color{blue}{\cancel{\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x\, \partial y}}}+\color{blue}{\cancel{\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x \,\partial z}}}\\
+\quad\quad - \color{blue}{\cancel{\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y\,\partial x}}}
++\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}
++\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}
+-\color{blue}{\cancel{\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z\,\partial x}}} \\
+\\
+\color{blue}{\cancel{\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y \,\partial x}}}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\color{blue}{\cancel{\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y \,\partial z}}}\\
+\quad\quad - \color{blue}{\cancel{\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z\,\partial y}}}
++\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}
++\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}
+-\color{blue}{\cancel{\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x\,\partial y}}} \\
+\\
+\color{blue}{\cancel{\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z \,\partial x}}}+\color{blue}{\cancel{\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z \,\partial y}}}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}\\
+\quad\quad - \color{blue}{\cancel{\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x\,\partial z}}}
++\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}
++\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}
+-\color{blue}{\cancel{\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y\,\partial z}}} \\
+\end{array}\right)`$
+
+* Au total nous obtenons l'expression simple **en coordonnées cartésiennes** :
+
+$`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$
+**$`\quad =\left(\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}\\
+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\\
+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}
+\end{array}\right)`$**
+
+* Nous reconnaissons l'expression cartésienne de l'opérateur laplacien vectoriel.
+
+* L'opérateur combiné $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$
+constitue la **définition de l'opérateur laplacien vectoriel** :   
+<br>
+**$`\large{\Delta=\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)}`$**
+
+<br>
+
+----------------------------------
+
+<br>
+
+##### 4 - Relation entre les propriétés locales d'un champ vectoriel et sa propagation
+
+* Tout champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ (continue et au moins deux fois dérivable) 
+possède son champ $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$.
+
+* *Si le champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ vérifie l'* **équation d'onde** :   
+  <br><br>
+  *$`\large{\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)}`$
+$`\;\;\large{-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=\overrightarrow{0}}`$*      
+  <br><br>
+  ou écrit avec le laplacien vectoriel :   
+  <br><br>
+  **$`\large{\Delta\,\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=\overrightarrow{0}}`$**      
+  <br><br>
+  **alors le champ vectoriel $`f`$ se propage** *à la célérité $`\mathscr{v}`$*.
+
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