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@@ -1462,7 +1462,30 @@ $`\quad\quad \;\; = \cdots`$
     \end{array}`$**
 
 
+#### Retour sur quelques cas particuliers
 
+##### Le phénomène des battements sonores
+
+* Le **tympan** de l'oreille est situé en une *position $`\overrightarrow{r}_0`$* fixe de l'espace.
+*  L'ouïe humain perçoit deux notes comme séparées par une octave, deux notes dont le rapport de fréquence est 2.
+  la musique occidentale contemporaine divise l'octave en 12 intervalles dont le rapport de fréquence est identique,
+  et donc égale à la racine douzième de deux : $`|\nu_1 - \nu_2| = \sqrt[12]{2} = 2^{\frac{1}{12}`$.   
+  Ceci assure bien que monter de 12 demi-tons permet d'atteindre l'octave, la fréquence double de celle du départ :  
+  $`\big(\sqrt[12]{2}\big)^{12} = \big(2^{\frac{1}{12}\big)^{12} = 2^{\frac{12}{12}} = 2`$
+* Le **comma** est un intervalle entre deux sons sinusoïdaux (sons purs) de fréquences
+   $`\nu_1`$ et $`\nu_2`$ de fréquences très proches, de façon que la *différence de hauteur* correspondante
+   perçue par l'ouïe humain soit *à la limite de perception*. Il correspond environ à *un cinquième de demi-ton*, soit
+   un rapport de fréquence $`|\nu_1 - \nu_2| \approx \frac{1}{5}\sqrt[12]{2} = 2^{\frac{1}{12}`$
+
+* Le phénomène de battement nécessite deux conditions :
+  
+
+
+
+!! *Pour aller plus loin*
+!! En musicologie, le comma naturel est l'intervalle de hauteur entre de sons dont 
+!! les fréquences fondamentales $`\nu_1`$ et $`\nu_2`$ diffèrent dans le rapport $`81/80`$.
+!! à continuer. Développer un peu dans la partie Beyond.