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+---
+title: 'Mecánica del punto material'
+published: true
+routable: true
+visible: false
+---
+
+<!--
+Première année
+Premier semestre
+UF Physique (I1ANPH21)
+-->
+
+### Mecánica del punto material
+
+<!--*AÑO ACADEMICO 2016-2017*-->
+
+##### **EJERCICIOS**
+
+Para más ejercicios consultar los libros especializados disponibles a la
+Bib'INSA.
+
+Mécanique 1 aux éditions DUNOD de J-P. Faroux et J. Renault
+
+Mécanique du point aux éditions DUNOD d'A. Gibaud et M. Henry
+
+Mécanique fondements et applications aux éditions MASSON de J-P. Pérez
+
+
+##### *Ejercicio 1 :* **Análisis Vectorial**
+
+<!--   ![](img\media\image2.png)
+{width="3.609722222222222in" height="3.692361111111111in"}-->
+
+Consideramos un espacio tridimensional
+descrito por un sistema de referencia cartesiano
+$`\mathcal{R}(0,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z},t)`$.
+El vector $`\overrightarrow{e_r}`$ es unitario y su dirección está
+definida por los ángulos $`\theta`$ et $`\varphi`$ (ver la figura). Los
+vectores $`\overrightarrow{r}`$ y $`\overrightarrow{e_r}`$ son
+paralelos. El vector
+$`\overrightarrow{r'}= r'\,\overrightarrow{e_r}`$ es la
+proyección de $`\overrightarrow{r}`$ en el plano $`(0,x,y)`$.
+
+1. Expresar la proyección del vector $`\overrightarrow{r}`$ en
+    dirección $`\overrightarrow{e_z}`$ y $`\overrightarrow{e_r}`$
+    en función de $`r`$ et $`\theta`$.
+
+2.  Expresar la proyección del vecto $`\overrightarrow{r}`$ en
+    dirección
+    $`\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z}`$ en
+    función de $`r`$, $`\theta`$ et $`\varphi`$.
+
+3. Calcular el producto escalar
+$`\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{e_r}`$ utilizando un
+método geométrico. Obtener el mismo resultado utilizando las componentes
+de los dos vectores.`
+
+4.  ¿En el caso $`\theta = \dfrac{\pi}{4}`$ y $`\varphi = \dfrac{\pi}{3}`$,
+    cuál es el ángulo $`\gamma`$, en grados, entre los vectores
+    $`\overrightarrow{e_x}`$ y $`\overrightarrow{e_r}`$?
+   
+
+5. Calcular los productos vectoriales siguientes :   
+$`\overrightarrow{e_x} \land \overrightarrow{e_z}\quad`$ ; 
+$`\quad\overrightarrow{e_z} \land \overrightarrow{e_x}\quad`$ ; 
+$`\quad\overrightarrow{e_y} \land \overrightarrow{e_x}\quad`$ ; 
+$`\quad\overrightarrow{e_x} \land \overrightarrow{r'}\quad`$ , 
+$`\quad\overrightarrow{r} \land \overrightarrow{r'}`$
+
+6. Consideramos que el ángulo $`\varphi`$ es función del tiempo
+    $`\varphi = 2.t + 1`$ y que el ángulo $`\theta`$ y la distancia $`r`$ son
+    constantes. Calcular la expresión
+    $`\dfrac{d \overrightarrow{e_r}'}{dt}`$ analíticamente,
+    utilizando las componentes cartesianas de los vectores.
+
+7. Obtener geométricamente el mismo resultado. ¿Qué podemos deducir
+    sobre $`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}'}{dt}`$ et
+    $`\overrightarrow{e_r}`$ considerando el hecho que el modulo de
+    $`\overrightarrow{e_r}`$ es unitario? Utilizar estas
+    consideraciones para calcular geométricamente el valor de
+    $`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}'}{dt}`$.
+
+8. Calcular el producto vectorial
+    $`\overrightarrow{\omega} \land \overrightarrow{e_r}'`$, con
+    $`\overrightarrow{\omega} = \dfrac{d\varphi}{dt} \overrightarrow{e_z}`$.   
+    ¿Cómo podemos explicar este resultado?
+
+9. Calcular $`\dfrac{d\overrightarrow{r}}{dt}`$ utilizando uno de
+    los métodos posibles.
+
+10. Definimos el vector
+    $`\overrightarrow{v} = 3.f \left( t \right).\overrightarrow{e_x} + 5.g\left( t \right) \text{.t.}\overrightarrow{e_y} - \dfrac{k}{f\left( t \right)}.\overrightarrow{e_z}\ \text{con\ }f\left( t \right) = 3.t,\ g\left( t \right) = 2.t \gamma k\  = \  - 2\ `$.
+    
+    Calcular la forma diferencial $`d\overrightarrow{v}`$ de $`\overrightarrow{v}`$, y su derivada respecto al tiempo
+    $`\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}`$.
+
+##### *Ejercicio 2 :* **El movimiento circular, las coordenadas cilíndricas y el triedro de Frenet**
+
+<!--   ![](img\media\image3.png){width="2.6527777777777777in"
+height="2.6527777777777777in"}-->
+
+Un punto M en un sistema de coordenadas
+$\mathcal{R}$ ${(O,\overrightarrow{e}}_{x},{\overrightarrow{e}}_{y}$)
+describe un movimiento circular. La posición del punto M esta descrita
+por el ángulo $`\theta(t)`$ entre el eje $`Ox`$ y el vector
+$\overrightarrow{\text{OM}}$ (ver figura). El rayo del círculo tiene el
+valor $`r`$.
+
+1. Calcular la expresión del vector $\overrightarrow{\text{OM}}$
+    respecto de la base
+    $`\left(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}\right)`$ en función de
+   $`r`$, $`\theta(t)`$, y, en seguida, respecto de la base
+    $`\left(\overrightarrow{e_\rho},\overrightarrow{e_\theta}\right)`$.
+
+2. Estudiar el movimiento en $\mathcal{R}$. Derivar el vector
+    $`\overrightarrow{OM}`$ respecto al tiempo y calcular la
+    expresión del vector velocidad
+    $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{/R}}`$ respecto de la base
+    $`\left(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}\right)`$, en fonction de
+   $`r`$ et $`\theta(t)`$ y $`\dfrac{d\theta (t)}{dt}$. Efectuar el
+    mismo cálculo utilizando la base
+    $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
+
+3. Calcular la expresión del vector aceleración
+    $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{R}}`$ respecto de la base
+    $`\left(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}\right)`$ en función de
+   $`r, \theta(t), d\frac{d\theta (t)}{dt}`$ y
+    $`\dfrac{d^{2}\theta(t)}{dt^2}`$. Efectuar el mismo cálculo
+    utilizando la base
+    $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
+
+4. Calcular la norma del vector velocidad en función de $`r`$ y
+    $`\theta(t)`$.
+
+5. Calcular el valor de los vectores de Frenet
+    $`\overrightarrow{e_T}`$ y $`\overrightarrow{e_N}`$ en función
+    de  $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
+
+6. Calcular las componentes de la aceleración respecto a la base
+    formada por el triedro Frenet.
+
+##### *Ejercicio 3 :* **La espiral**
+
+<!--   ![](img\media\image4.png){width="2.1486111111111112in"
+height="1.6409722222222223in"}![](img\media\image4.png){width="3.060416666666667in"
+height="2.3375in"}-->
+
+Un punto *M* describe en el plano (O,x,y) una espiral
+de ecuaciones paramétricas :   
+$`x = b.\theta.\cos\left( \theta \right)\quad`$;
+$`\quad y = b.\theta.\sin\left( \theta \right)`$ ,   
+donde    
+$`b =cst\quad,\quad\theta = \widehat{O_{x},\text{OM}}\quad,`$ 
+$`\quad\omega = \dfrac{d\theta}{dt} = cste`$
+
+Al principio del movimiento el ángulo teta tiene valor nulo 
+$`(\;\theta_{t=0} = 0\;)`$. El sistema de coordenadas
+$`(\left( O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}\right)`$ constituye un
+sistema de observación para el sistema de referencia $`\mathcal{R}`$
+$`\left( \mathcal{R}= (O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, t) \right)`$ 
+en notación abreviada), que será utilizado para estudiar el movimiento de $`M`$.
+
+1. Calcular la expresión del vector position
+    $\overrightarrow{\text{OM}}$, (ii) del vector velocidad
+    $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{/R}}`$ y (iii) del vector
+    aceleración $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{/R}}`$ en el sistema
+    de coordenadas polares $`\left( O,\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\theta}} \right)`$.
+
+2. Calcular la expresión del módulo del vector velocidad.
+
+3. Demonstrar que la expresión del vector tangencial
+    $`\overrightarrow{e_T}`$ y normal $`\overrightarrow{e_N}`$ a la
+    trayectoria tienen las expresiones siguientes :   
+$`\overrightarrow{e_T} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + (\omega t)^{2}}} \overrightarrow{e_{\rho}}`$ $` + \dfrac{\omega t}{\sqrt{1 + (\omega t)^{2}}} \overrightarrow{e_{\theta}}`$   
+$`\overrightarrow{e_{N}} = \dfrac{-\omega t}{\sqrt{1 + \left( \omega t \right)^{2}}}\overrightarrow{e_{\rho}} + \dfrac{1}{\sqrt{1 + \left( \omega t\right)^{2}}}\overrightarrow{e_{\theta}}`$
+
+4. Calcular la expresión del vector aceleración
+    $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{/R}}`$ por respecto a los vectores
+    de Frenet $`\overrightarrow{e_T}`$ ,$`\overrightarrow{e_N}`$
+    (o sea calcular $`a_T`$ et $`a_N`$ utilizando la relación
+    $`\overrightarrow{a} = a_T \overrightarrow{e_T}+a_N\overrightarrow{e_N}`$.
+
+5. Encontrar un método alternativo para calcular $`a_T`$ et
+    $`a_N`$ sin conocer el valor de $`\overrightarrow{e_T}`$
+    y $`\overrightarrow{e_N}`$ *(Pregunta facultativa)*.
+
+6. Calcular, utilizando dos métodos diferentes, la expresión del rayo
+    de curvatura $`R`$ de la trayectoria para un instante cualquiera $`t`$.
+
+##### *Ejercicios 4 :* **El esquiador**
+
+<!--   ![](img\media\image5.png){width="2.2534722222222223in"
+height="2.1486111111111112in"}-->
+
+Un esquiador de masa $`m`$ esquía siguiendo una line recta en una pista de
+inclinación$\ \theta$. El esquiador ésta sometido a una fuerza de
+rozamiento al contacto de la pista (que no tendremos en cuenta al
+principio) y a la fricción de contacto con el aire que es caracterizada
+por el coeficiente $\alpha$. El esquiador será aproximado como un punto
+material M. El movimiento será descrito en el sistema de referencia
+$\mathcal{R}$ y con las coordenadas de observación
+$`(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, t)`$. En el instante
+$`t = 0`$ el esquiador tiene una velocidad nula y está en el punto $`(0, 0)`$.
+
+1. Determinar en el
+    sistema $`(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y})`$ las
+    expresiones de la velocidad $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{/R}}`$ 
+    et de aceleración $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{/R}}`$ del
+    esquiador.
+
+2. Hacer la suma de las fuerzas aplicadas al esquiador en el sistema de
+    referencia $`\mathcal{R}`$ y calcular sus expresiones en el sistema de
+    coordenadas $`(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y})`$.
+
+3. ? Que fuerzas son aplicadas por el esquiador a la pista?
+
+4. Aplicando la ley fundamental de la dinámica (LFD), calcular *las componentes de la velocidad* del esquiador en función del tiempo.
+    ¿Que información podemos deducir de la LFD?
+
+5. Calcular las coordenadas $`x(t)`$ et $`y(t)`$ en función del tiempo.
+
+6. ¿Qué parámetros podemos modificar para aumentar la velocidad del
+    esquiador?
+
+7. ¿Qué pasaría si no hubiera ningún tipo de rozamiento?
+
+> *Comentario :* El record el mundo de velocidad $`(252 km.h^{-1})`$ ha sido
+> obtenido por el Italiano Simone Origone que ha obtenido esta velocidad
+> en una pista de 1km con una inclinación media de 52%.
+
+##### *Ejercicio 5 :* **El espectrómetro de masa; el movimiento de una partícula cargada sometida a un campo eléctrico y a un campo magnético.**
+
+Consideramos una partícula de masa $`m= 9.1 \times 10^{- 31} kg`$
+que lleva una carga $`q = 1.6 \times 10^{- 19}C `$ y que se mueve en un
+sistema inercial
+$`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$.   
+Para empezar consideramos separadamente el efecto de un campo eléctrico
+$`\overrightarrow{E}`$ y el efecto de un campo magnético
+$`\overrightarrow{B}`$ sobre la partícula. Por eso utilizaremos la
+expresión de la fuerza de Lorentz
+$`\overrightarrow{F} = q\,(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \land \overrightarrow{B})`$
+y ignoraremos el efecto de la fuerza de gravedad.
+
+**1 : Efecto del campo eléctrico**
+
+<!--   ![](img\media\image6.png){width="2.6041666666666665in"
+height="2.4208333333333334in"}-->
+
+La particula $`M`$ esta (en $`t = 0`$) en el
+punto (0, y~0~, 0). Su velocidad inicial es igual à cero. Un campo
+eléctrico uniforme $`\overrightarrow{E} = E_{0}\overrightarrow{e_x}`$
+es aplicado en la región $`x = 0 y x = 50cm`$.
+
+1. Aplicar la LFD en el sistema de referencia
+    $`\mathcal{R}`$ para determinar las componentes de la
+    velocidad de la particula.
+
+2. Déterminar la posicion de la particula en funcion del tiempo.
+
+3. Calcular el trabajo efectuado por el campo eléctrico entre x = 0 y
+    50cm.
+
+4. Utilizando el teorema del energía cinética, determinar la velocidad
+    de la partícula a la salida de la zona donde el campo eléctrico es
+    diferente de cero.
+
+5. Calcular la suma de las fuerzas aplicadas por x \> 50cm. Como
+    evoluciona la velocidad de la partícula por x \> 50cm ?
+
+**2 : Efecto del campo magnético**
+
+La particula $`M`$ en el instante $`t = 0`$ est en el punto $`(0, y_0, 0)`$. Su
+velocidad inicial es
+$`\overrightarrow{v} = v_{0}\overrightarrow{e_x}`$. Un campo magnetico
+uniforme $`\overrightarrow{B} = B_0\,\overrightarrow{e_z}`$ es
+aplicado en todo el espacio.
+
+1. <!--    ![](img\media\image7.png){width="2.4923611111111112in"
+    height="2.410416666666667in"}-->
+    
+    Expresar las componentes $`F_x, F_y, F_z`$ de la fuerza aplicada a la partícula en función del tiempo $`t`$,
+    de $`E, B, q`$ y de las componentes de la velocidad $`v_x, v_y`$.
+
+2. Demonstrar que le movimiento de la partícula se efectúa en el plano
+    $`(x0y)`$.
+
+3. Utilizando la LFD, escribir las ecuaciones diferenciales de
+    evolución temporal de las componentes de la velocidad.
+
+4. Calcular la dependencia temporal de las componentes de la velocidad
+    y, en seguida, las coordenadas $`x(t)`$ et $`y(t)`$ de la partícula en
+    función del tiempo. Para simplificar los cálculos utilizaremos la
+    constante $`\omega_{c} = \dfrac{\text{qB}}{m}`$.
+
+5. ¿Calcular la norma de la velocidad de la partícula. Cómo evoluciona
+    esta magnitud en función del tiempo?
+
+6. Demonstrar que el resultado precedente puede ser obtenido utilizando
+    el teorema del energía cinética.
+
+7. ¿Qué tipo de trayectoria efectúa el punto M? Para contestar utilizar
+    la expresión de la aceleración con respecto al triedro de Frenet.
+
+<!--   ![](img\media\image8.png){width="2.7756944444444445in"
+height="2.1506944444444445in"}-->
+
+**3 : Espectrometría**
+
+La partícula $`M`$, en el instante $`t = 0`$, está en el punto $`(0, y_0, 0)`$ con
+$`y_0 = 5cm`$. Su velocidad inicial es igual a cero. Un campo electirco
+uniforme $`\overrightarrow{E} = E_{0}\,\overrightarrow{e_x}`$
+$`(E_0 = 2 \times 10^4 V.m^{- 1})`$ est aplicado en la region $`x = 0`$,
+$`x = 50cm`$ y un campo magnétic
+$`\overrightarrow{B} = B_0 \overrightarrow{e_z}`$ con $`B_0 = 10 mT`$
+es aplicado a partir de $`x = 100cm`$.
+
+1. Trazar cualitativamente la trayectoria de la partícula utilizando
+    los resultados de las partes 1 ey 2.
+
+2. Porque podemos decir que este sistema es un espectrómetro de masa
+    (sistema que puede separar las partículas en función de sus masa).
+
+##### *Ejercicio 6 :* **El péndulo**
+
+<!--   ![](img\media\image9.png){width="2.7152777777777777in"
+height="2.245833333333333in"}-->
+
+Un punto material $`M`$ está suspendido à un
+hilo de longitud *$`l`$ y de masa despreciable. La position de $`M`$ es
+definida utilizando el ángulo $`\theta`$. $`\overrightarrow{u}`$ es un
+vector unitario perpendicular al plano de movimiento (ver la figura).
+Después de haber desplazado $`M`$ de su position de equilibrio de un
+ángulo $`\theta_{0}`$ lo dejamos moverse sin darle ninguna velocidad
+inicial. Consideraremos el principio del movimiento come el instante
+inicial $`(t=0)`$. El movimiento será calculado en el sistema de referencia
+inercial
+$`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y})`$.
+
+1. Calcular la expresión de $`\overrightarrow{OM}`$,
+    $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{/R}}`$ y
+    $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{/R}}`$ en el sistema de referencia
+    $`(O,\overrightarrow{e_{rho}},\overrightarrow{e_{\theta}},t)`$.
+
+2. Hacer la suma de las fuerzas aplicadas en el punto M en el sistema
+    de referencias $`\mathcal{R}`$ y calcular las expresiones de las
+    fuerzas en el sistema de coordenadas
+    $`(O,\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}})`$.
+
+3. Escribir las ecuaciones diferenciales del movimiento utilizando el
+    teorema del momento cinético.
+
+4. Solucionar esta ecuación en la aproximación de pequeñas
+    oscilaciones.
+
+5. Utilizar el teorema de energía cinética para determinar la velocidad
+    en función de $`\theta`$ sin hacer ninguna aproximación sobre la
+    magnitud de las oscilaciones.
+
+<!--   ![](img\media\image10.png){width="2.15in"
+height="2.234027777777778in"}*-->
+
+##### *Ejercicio 7 :* **El skate-boarder**
+
+<!--   ![](img\media\image11.png){width="2.775in"
+height="1.9479166666666667in"}-->
+
+Un skate-boarder quiere realizar una acrobacia muy peligrosa : bajar sin
+velocidad inicial de una rampa de altitud $`h`$, y terminar con un rizo
+(looping) de rayo $`\rho`$. ¡Más el altitud inicial $`h`$ es pequeña, mas su
+figura será impresionante! Sin embargo el skate-boarder no está
+completamente loco : quiere calcular antes la altitud $`h`$ mínima para
+estar seguro de poder terminar el looping...
+
+En un primer tiempo, vamos a estudiar el movimiento del skate-boarder,
+que vamos a considerar como un punto $`M`$ de masa $`m`$ que se mueve
+siguiendo un círculo de rayo $`\rho`$. El movimiento se hace sin rozamiento.
+El sistema de referencia, en que la rampa no es fija, es inercial y será
+indicado por $`\mathcal{R}`$.
+
+1. Calcular la expresión de la aceleración, exprimiéndola en los
+    vectores de base
+    $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
+
+2. Demonstrar que el módulo de la aceleración tangencial
+    $`\overrightarrow{a_{\theta}}`$ se puede escribir en la forma
+     $`\overrightarrow{a_{\theta}} = \dfrac{\lVert\overrightarrow{v} \rVert}{\rho}\dfrac{d \lVert\overrightarrow{v}\rVert} {d\theta}`$
+     
+<!--pas bonnes écritures :----------------
+$`\overrightarrow{a_{\theta}} = \dfrac{\left\| \overrightarrow{v} \right\|}{\rho}\dfrac{d\left\| \overrightarrow{v} \right\|} {d\theta}`$   
+$`\overrightarrow{a_{\theta}} = \dfrac{|| \overrightarrow{v} ||}{\rho}\cdot\dfrac{d || \overrightarrow{v} ||} {d\theta}`$
+-------------------------------------------->
+    
+3. Indicar y estudiar la(s) fuerza(s) aplicada(s) en el skate-boarder.
+
+4. Escribir la ecuación fundamental de la dinámica. Como se escribe
+    esta equacion si la proyectamos en los vectores de base
+    $`\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\theta}}`$ ?
+
+5. Determinar la velocidad $`v`$ en un punto cualquiera de la trayectoria
+    si $`v_0`$ es la velocidad en el punto más bajo del circulo.
+
+6. Cuál es la reacción $`\overrightarrow{R}`$de la rampa sobre
+    el skate-boarder ?
+
+7. ¿Cuál es la altitud mínima $`h`$ para empezar el looping sin velocidad
+    inicial y que nos asegura que el skater no se destaque nunca de la
+    rampa durante su trayectoria?
+
+##### *Ejercicio 8 :* **El Tobogán**
+
+<!--   ![](img\media\image12.png){width="3.5548611111111112in"
+height="2.484027777777778in"}-->
+
+Las ecuaciones en coordenadas polares de
+una trayectoria helicoidal de eje vertical \[Oz) son :   
+$`\rho = a\quad,\quad z = h\theta`$
+
+Un niño se lanza si velocidad inicial de una altura $`H = 2\pi h`$ y baja
+en el tobogán helicoidal. Haremos la aproximación que el niño sea un
+punto material que se mueve sin rozamiento en el sistema de referencia
+inercial
+$`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$.
+
+1. Calcular la suma de las fuerzas aplicadas en el punto $`M`$ utilizando
+    la base
+    $`\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{z}}`$.
+
+2. Utilizando el teorema de la energía cinética, calcular la evolución
+    temporal de la variable $`\theta`$.
+
+3. Calcular el tiempo necesario porque el niño llegue hasta al fundo
+    del tobogán $`(z = 0)`$.
+
+##### *Ejercicio 9 :*  **Velocidad de liberación**
+
+La aceleración de gravedad varía en función de la distancia de le
+superficie de la tierra siguiendo la ley :
+
+$`\overrightarrow{g} = - \dfrac{G\,M_{Tierra}}{\left( R_{Tierra} + r \right)^{2}}\overrightarrow{e_r}`$,    
+
+donde $`G`$ es la constante universal de gravitación, $`M_{Tierra}`$ y $`R_{Tierra}`$
+son respectivamente la masa y el rayo de la Tierra.   
+Llamaremos la «velocidad de liberación» $`v_{lib}(r)`$ a un altitud $`r`$ la velocidad
+mínima necesaria para que una partícula se aleje de la superficie
+terrestre hasta al infinito.   
+
+Los valores numéricos son :    
+$`G = 6.67 \times 10^{- 11}m^{3}kg^{-1}s^{- 2}`$,    
+$`M_{Tierra} = 6 \times 10^{24}kg\quad ,\quad M_{Luna} = 7.3 \times 10^{24}kg,`$    
+$`R_{Tierra} = 6400\,km\quad ,\quad R_{Luna} = 1700\,km`$.
+
+1. Demonstrar que la fuerza de gravitación deriva de una energía
+   potencial $`U`$ y calcularla (definiendo la origen de la energía
+    potencial $`U=0`$ al infinito).
+
+2. Deducir el trabajo mínimo para traer la masa $`m`$ à un altura $`r'`$.
+
+3. Calcular la expresión de $`v_{lib}(r)`$, y su valor numérico por $`r=0`$ y
+   $` r=300\,km`$.
+
+4. ¿Cuál es la velocidad de liberación en la superficie de la luna?
+
+##### **Ejercicio 10: El girómetro**
+
+<!--   ![](img\media\image13.png){width="2.5965277777777778in"
+height="3.5083333333333333in"}-->
+
+Un anillo de masa $`m`$ esta puesto en una
+varilla que se mueve con una rotación constante alrededor de eje $`Oz`$ con
+una velocidad angular constante $`\omega`$.    
+El anillo es mantenido por un resorte de constante elastica $`k`$.    
+La longitud de equilibrio del resorte es $`\rho_{0}`$. 
+
+Vamos a calcular el movimiento del anillo aproximándolo à
+une masa puntual en el sistema de referencia non inercial $`\mathcal{R}'`$ que gira alrededor del eje $`Oz`$ con una velocidad angular
+$`\omega`$.    
+Hay una fuerza de rozamiento $`\overrightarrow{f}`$ entre el anillo y la varilla que se puede expresar de la forma siguiente
+$`\overrightarrow{f} = - \alpha \overrightarrow{v}_{M\mathcal{R'}}$.    
+El eje $`Oz`$ representa la vertical.
+
+1. Calcular $\overrightarrow{OM}$,
+    $`\overrightarrow{v}_{M\mathcal{R'}}`$ y 
+    $`\overrightarrow{a}_{M\mathcal{R'}}`$ en la base
+    $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
+
+2. Calcular la suma de las fuerzas aplicadas en el anillo en el sistema
+    $`\mathcal{R}'`$ utilizando la base
+    $`\left(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\theta}}\right)`$.
+
+3. Utilizar la ecuación fundamental de la dinámica para determinar las
+    ecuaciones diferenciales del movimiento.
+
+4. Calcular $`\rho(t)`$ en el caso
+    $`\dfrac{\alpha}{m} = 2\sqrt{\left(\dfrac{k}{m} - \omega^{2} \right)}`$
+
+5. ¿Come se puede utilizar este sistema para medir una velocidad de
+    rotación?
+
+6. Calcular el trabajo efectuado por el resorte y por las fuerzas
+    inerciales entre la posición inicial y una posición $`\rho`$ que
+    elegiremos para poder calcular toda la energía disipada por el
+    rozamiento utilizando el teorema de la energía cinética (por eso hay
+    que contestar a la pregunta : ¿Cuando tenemos rozamiento?).