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@@ -215,13 +215,37 @@ $`\overrightarrow{E},(\rho, \varphi, z)=E\;`\overrightarrow{e_{\rho}}`$
 
 #### **1 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en volume
 
+* L'*objectif d'apprentissage* de cet exemple de distribution de charge est 
+
+    * de **terminer le processus** de détermination de $`\overrightarrow{E}`$ par le théorème de Gauss *avec un exemple particulièrement simple*.
+    * de montrer que la densité volumique de charge *$`\dens^{3D}`$ se manipule sans distinction de son signe*, ce **signe reste fondamental** parce qu'il *décide du sens de $`\overrightarrow{E}`$*, et donc de la force d'*attraction ou* de *répulsion* qu'il exerce sur les charges.
+
 ##### Description de $`\dens`$ :
 
 * **$`\left\{\begin{array}{ll}
-\rho\le R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\gt 0 \\
+\rho\le R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\ne 0 \\
 \rho\gt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)= 0
 \end{array}\right.`$**   
 
+* *Représentation graphique de $` \dens^{3D}(\rho)`$* :    
+<br>
+   * Travailler avec $`\dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\ne 0`$ recouvre les deux situations $`\dens^{3D}_0\ge 0`$ et $`\dens^{3D}_0\lt  0`$.
+<br>
+   * Plusieurs représentations du profil de variation de $`\dens^{3D}`$ avec $`\rho`$ sont possibles.
+   * Ci-desssous, pour ne garder que l'**information du profil** et ici **mettre en évidence le signe des charges**, nous choisissons pour l'axe des ordonnées la grandeur physique sans unité "*densité volumique de charge $`\dens^{3D}(\rho)`$ divisée par la valeur maximale de sa valeur absolue" $`|\dens^{3D}|_{max}`$*".    
+<br>
+C'est une représentation indépendante de la valeur numérique de $`\dens^{3D}_0\ge 0`$ et de son unité de mesure ($`C/m^3\;,\;C/cm^3\;,\;\dots)`$.    
+<br>
+Une densité de charge négative apparaîtra en dessous de l'axe des $`\rho`$, et elle apparaît au-dessus lorsqu'elle est positive.
+
+<br>
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-uniform-rho_v2_L1200.jpg)     
+   _ La densité volumique de charge est positive._   
+<br>
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-uniform-rho-N_v2_L1200.jpg)     
+   _ La densité volumique de charge est négative._   
+<br>
+
 * Nombre de sous-espaces complémentaires à prendre en compte : 2
    * sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}_0`$ et tel que $`\rho\le R`$.
    * sous-espace $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=0`$ et tel que $`\rho \gt R`$
@@ -229,7 +253,7 @@ $`\overrightarrow{E},(\rho, \varphi, z)=E\;`\overrightarrow{e_{\rho}}`$
 <!--Cela peu paraître inutile car évident pour les professeurs, mais leurs cerveaux ont eu des années pour intégrer cela. La non conscience qu'il faille considérer différents cas selon la position du point M pour le calcul de $`Q_{int}`$  (que cela soit par manque de visualisation ou sous l'effet du stress d'un examen) est une cause non négligeable d'erreurs. D'où la volonté ici d'emphaser ce point en parlant de sous-espaces.--->
 
 ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-4-v3_L1200.jpg)   
-_figure temporaire à réviser._   
+_figure temporaire à réviser._
 
 
 ##### Calcul de la charge $`Q_{int}`$ :
@@ -287,6 +311,18 @@ _Corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
    <br>
 **$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}= \dens^{3D}_0\times \pi\,R^2\,h}\quad`$**  (pour $`\rho_M\gt R)`$
 
+* *Représentation graphique de $` Q_{int}(\rho)`$* :    
+<br>
+Dans le **même esprit que précédemment**, nous traçons la charge totale dans le volume de Gauss $`Q_{int}(\rho)`$ divisée par la valeur maximale de sa valeur absolue" $`|Q_{int}|_{max}`$.
+
+<br>
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-uniform-Qint_v2_L1200.gif)     
+_ La densité volumique de charge est positive._   
+<br>
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-uniform-Qint-N_v2_L1200.gif)     
+_ La densité volumique de charge est négative._   
+<br>
+
 ##### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$
 
 **Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,\varphi_M\, z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :   
@@ -336,6 +372,17 @@ P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symét
 \text{tout plan contenant }\Delta \text{ : plan de symétrie} 
 \end{array}\right\}`$$`\,\Longrightarrow`$$`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}`$
 
+* *Représentation graphique de $` E_{\rho}(\rho)`$* :    
+<br>
+Nous traçons la composante non nulle du champ $`E_{\rho}(\rho)`$ divisée par la valeur maximale de sa valeur absolue" $`|E_{\rho}|_{max}`$.
+
+<br>
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-uniform-E_v2_L1200.gif)     
+_ La densité volumique de charge est positive._   
+<br>
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-uniform-E-N_v2_L1200.gif)     
+_ La densité volumique de charge est négative._   
+
 
 <br>
 
@@ -343,6 +390,10 @@ P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symét
 
 #### **2 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé non uniformément en volume
 
+* L'*objectif d'apprentissage* :
+
+    * Dans cet exemple la densité volumique de charge *$`\mathbf{\dens^{3D}}`$ est une fonction de $`\rho`$*, ce qui nécessite de **connaître l'expression de $`\Ltau`$**, l'élément de volume en coordonnées cylindriques et de **réaliser une intégrale triple pour calculer $`Q_{int}`$**, la charge dans le volume de Gauss.
+
 ##### Description de $`\dens`$ :
 
 * Prenons l'**exemple** de la distribution :
@@ -354,8 +405,9 @@ P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symét
 \end{array}\right.`$**   
 
 <!--exemple2 à garder : \dens^{3D}(\rho) =  \dfrac{A}{\rho^2} -->
+* La constante étant positive, **$`A\gt 0`$** , nous nous limitons dans cet exemple à des *charges positives*.   
 
-![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-non-uniform-rho_L1200.jpg)  
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-non-uniform-rho_V2_L1200.jpg)  
 _Variation de la densité volumique de charge $`\dens^{\rho}=A\,\rho^2`$ en fonction de $`\rho`$._   
 
 
@@ -433,19 +485,17 @@ $`\displaystyle\hspace{1.2cm}= \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}  A\,\rho^3\
 <br>
 *$`\large\text{Au final, concernant }Q_{int}`$* :
 
-![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-non-uniform-Qint_L1200.gif)   
-_Variation de la composante_ $`E_{\rho}`$ _du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$.   
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-non-uniform-Qint_v2_L1200.gif)   
+_Variation de la charge intérieure au volume de Gauss_ $`Q_{\int}`$ _en fonction de_ $`\rho`$.   
 
 
-##### Synthèse des résultats et calcul de $`\overrightarrow{E}`$
+##### **Synthèse** des résultats et calcul de $`\overrightarrow{E}`$
 
 **Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,\varphi_M\, z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :   
 (ne pas oublier le facteur $`1\,/\,\epsilon_0`$)
 
 
-<br>
-**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M\le R}`$** :   
-
+* **Si $`\mathbf{\rho_M \le R}`$**,    
 donc à l'*intérieur du cylindre chargé* :   
 <br>
 $`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
@@ -462,9 +512,7 @@ $`\left.\begin{array}{l}
 **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{A\,\rho_M^3}{4\,\epsilon_0}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
 
-<br>
-**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M\gt R}`$** :   
-
+* **Si $`\mathbf{\rho_M\gt R}`$**,   
 donc à l'*extérieur du cylindre chargé* :    
 <br>
 $`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
@@ -472,7 +520,6 @@ $`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
 $`\;=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}`$
 **$`\mathbf{\;=\dfrac{\pi\,A\,h}{2\,\epsilon_0}\,R^4}`$**   
 <br>
-Au final :   
 $`\left.\begin{array}{l}
 \overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
 2\pi \rho_M\,h\, E= \dfrac{\pi\,A\,h}{2\,\epsilon_0}\,R^4
@@ -480,21 +527,29 @@ $`\left.\begin{array}{l}
 \Longrightarrow`$
 **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{A\,R^4}{4\,\epsilon_0\,\rho_M}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
+
+* *Synthèse des résultats sur $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$* :     
 <br>
-*$`\large\text{Au final, concernant }\overrightarrow{E}`$* :
+Symétries et invariances $`\Longrightarrow\;`$**$` \mathbf{\overrightarrow{E}(\rho\,,\varphi\,,z)=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
-![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-non-uniform-E_L1200.gif)   
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-non-uniform-E_v2_L1200.gif)   
 _Variation de la composante_ $`E_{\rho}`$ _du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$.   
 
+
 <br>
 
 -----------------------
 
 #### **3 -** Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ 
 
+* L'*objectif d'apprentissage* :
+
+    * Dans cet exemple, il y a **plus de 2 sous-espaces à prendre en compte** pour finaliser le calcul du champ électrique en tout point de l'espace.
+
+
 ##### Description de $`\dens`$ :
 
-. Reprenons l'**exemple du profil précédent** de densité volumique de charge $`\dens^{3D}(\rho)=A\,\rho^2`$, *mais limité au volume d'un cylindre creux* de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ :
+* Reprenons l'**exemple du profil précédent** de densité volumique de charge $`\dens^{3D}(\rho)=A\,\rho^2`$, *mais limité au volume d'un cylindre creux* de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ :
 
 **$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
 \rho\le R_{int} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0 \\
@@ -502,9 +557,11 @@ R_{int} \le \rho\le R_{ext} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = A\,\rho^2\\
 \rho\gt R_{int} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0
 \end{array}\right.`$**   
 
-_schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
+* Il y a maintenant **3 sous-espaces** à prendre en compte :
+	* *un sous-espace* caractérisé par *$`\dens^{3D}(\rho) = A\,\rho^2`$*.
+	* *deux sous-espaces* caractérisés par *$`\dens^{3D}(\rho) = 0`$, mais séparés* par le sous-espace précédent.
 
-Nous pouvons considérer **2 méthodes équivalentes**
+* Nous pouvons considérer **2 méthodes équivalentes**
 
 ##### Théorème de Gauss en considérant 3 sous-espaces complémentaires
 
@@ -600,6 +657,26 @@ $`\left.\begin{array}{l}
 **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{A}{4\,\epsilon_0}\cdot\left(\dfrac{R_{ext}^4-R_{int}^4}{\rho_M}\right)
 \overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
+<br>
+* *Synthèse graphique des résultats* 
+
+   * Densité volumique de charge $`\dens^{3D}(\rho)`$ :
+
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindre-creux-dist-non-uniform-rho_v2_L1200.jpg)  
+     _Variation de la densité volumique de charge $`\dens^{\rho}=A\,\rho^2`$ en fonction de $`\rho`$._   
+
+   * Charge intérieure $`Q_{int}`$ dans le volume de Gauss, cylindre de rayon $`\rho`$ :
+
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindre-creux-dist-non-uniform-Qint_v2_L1200.gif)   
+     _Variation de la charge intérieure au volume de Gauss_ $`Q_{int}`$ _en fonction de_ $`\rho`$.
+
+   * Champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ en tout point de l'espace :
+<br>
+Symétries et invariances $`\Longrightarrow\;`$**$` \mathbf{\overrightarrow{E}(\rho\,,\varphi\,,z)=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindre-creux-dist-non-uniform-E_v2_L1200.gif)   
+     _Variation de la composante_ $`E_{\rho}`$ _du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$.   
+
 
 ##### Utiliser le théorème de superposition
 
@@ -627,18 +704,22 @@ en cours de rédaction, à terminer
 
 _figure spécifique à venir_
 
-
+<br>
 
 -----------------------------
 
 #### **4 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en surface
 
-* C'est par exemple le cas précédent dans la cas où 
-l'épaisseur $`e=R_{ext}-R_{int}`$ de la couche chargée est petite devant le rayon extérieur
-du cylindre, $`e\ll R_{ext}`$. On peut alors la négliger et modéliser les charges dans cette couche
-par des charges se répartissant sur la surface d'un cylindre de rayon $`R=R_{ext}=R_{int}`$ avec
-une densité superficielle de charge $`\dens^{2D}`$.
-  
+* L'*objectif d'apprentissage* :
+
+    * Dans cet exemple, la distribution réelle de charge est modélisée par une **densité superficielle de charge $`\mathbf{\dens^{2D}}`$**.
+
+    * Faire le lien avec le cas précédent, étudier la **transition entre** :   
+      \- une **distribution réelle 3D** de charge *dans un cylindre creux de faible épaisseur $`e`$*$`\=R_{ext}-R_{int}`$.   
+      \- sa **modélisation 2D** par une distribution $`\dens^{2D}`$ *lorsque *l'épaisseur $`e`$ est négligée*.    
+      
+    * Montrer, si besoin était, que les **relations de continuité de $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$** à la traversée d'une surface chargée est la même que la surface chargée soit cylindrique ou plane (faire afficher les trois types de distributions en parallèle).  Elles sont **les mêmes à la traversée de toute surface**, *plane ou courbe*.    
+      
 _schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
   
 ##### Description de $`\dens`$ :
@@ -649,6 +730,7 @@ _schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
 \rho\gt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho) = 0 
 \end{array}\right.`$**   
 
+<!-------------
 * Nombre de sous-espaces à prendre en compte : 2
    * sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}_0`$ et tel que $`\rho\le R`$.
    * sous-espace $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=0`$ et tel que $`\rho \gt R`$
@@ -657,7 +739,12 @@ _schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
 
 montrer discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ à la traversée d'une surface chargée, due 
 au passage 3D vers idéalisation 2D : cela aura déjà été vu juste avant dans distribution de charge a symétrie plane, faire le lien.  
-Cette discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ en $`\rho=R`$ fait que le champ n'est pas défini en $`\rho=R`$ dans cette modélisation, dnas cette idéalisation 2D, ce qui justifie de n'avoir considéré que les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$.
+Cette discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ en $`\rho=R`$ fait que le champ n'est pas défini en $`\rho=R`$ dans cette modélisation, dans cette idéalisation 2D, ce qui justifie de n'avoir considéré que les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$.
+
+------>
+
+à terminer
+
 
 _figure de l'amplitude du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$ _à venir_