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@@ -215,13 +215,37 @@ $`\overrightarrow{E},(\rho, \varphi, z)=E\;`\overrightarrow{e_{\rho}}`$
 
 #### **1 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en volume
 
+* L'*objectif d'apprentissage* de cet exemple de distribution de charge est 
+
+    * de **terminer le processus** de détermination de $`\overrightarrow{E}`$ par le théorème de Gauss *avec un exemple particulièrement simple*.
+    * de montrer que la densité volumique de charge *$`\dens^{3D}`$ se manipule sans distinction de son signe*, ce **signe reste fondamental** parce qu'il *décide du sens de $`\overrightarrow{E}`$*, et donc de la force d'*attraction ou* de *répulsion* qu'il exerce sur les charges.
+
 ##### Description de $`\dens`$ :
 
 * **$`\left\{\begin{array}{ll}
-\rho\le R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\gt 0 \\
+\rho\le R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\ne 0 \\
 \rho\gt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)= 0
 \end{array}\right.`$**   
 
+* *Représentation graphique de $` \dens^{3D}(\rho)`$* :    
+<br>
+   * Travailler avec $`\dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\ne 0`$ recouvre les deux situations $`\dens^{3D}_0\ge 0`$ et $`\dens^{3D}_0\lt  0`$.
+<br>
+   * Plusieurs représentations du profil de variation de $`\dens^{3D}`$ avec $`\rho`$ sont possibles.
+   * Ci-desssous, pour ne garder que l'**information du profil** et ici **mettre en évidence le signe des charges**, nous choisissons pour l'axe des ordonnées la grandeur physique sans unité "*densité volumique de charge $`\dens^{3D}(\rho)`$ divisée par la valeur maximale de sa valeur absolue" $`|\dens^{3D}|_{max}`$*".    
+<br>
+C'est une représentation indépendante de la valeur numérique de $`\dens^{3D}_0\ge 0`$ et de son unité de mesure ($`C/m^3\;,\;C/cm^3\;,\;\dots)`$.    
+<br>
+Une densité de charge négative apparaîtra en dessous de l'axe des $`\rho`$, et elle apparaît au-dessus lorsqu'elle est positive.
+
+<br>
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-uniform-rho_v2_L1200.jpg)     
+   _ La densité volumique de charge est positive._   
+<br>
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-uniform-rho-N_v2_L1200.jpg)     
+   _ La densité volumique de charge est négative._   
+<br>
+
 * Nombre de sous-espaces complémentaires à prendre en compte : 2
    * sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}_0`$ et tel que $`\rho\le R`$.
    * sous-espace $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=0`$ et tel que $`\rho \gt R`$
@@ -287,6 +311,18 @@ _Corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
    <br>
 **$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}= \dens^{3D}_0\times \pi\,R^2\,h}\quad`$**  (pour $`\rho_M\gt R)`$
 
+* *Représentation graphique de $` Q_{int}(\rho)`$* :    
+<br>
+Dans le **même esprit que précédemment**, nous traçons la charge totale dans le volume de Gauss $`Q_{int}(\rho)`$ divisée par la valeur maximale de sa valeur absolue" $`|Q_{int}|_{max}`$.
+
+<br>
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-uniform-Qint_v2_L1200.gif)     
+_ La densité volumique de charge est positive._   
+<br>
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-uniform-Qint-N_v2_L1200.gif)     
+_ La densité volumique de charge est négative._   
+<br>
+
 ##### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$
 
 **Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,\varphi_M\, z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :   
@@ -336,6 +372,17 @@ P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symét
 \text{tout plan contenant }\Delta \text{ : plan de symétrie} 
 \end{array}\right\}`$$`\,\Longrightarrow`$$`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}`$
 
+* *Représentation graphique de $` E_{\rho}(\rho)`$* :    
+<br>
+Nous traçons la composante non nulle du champ $`E_{\rho}(\rho)`$ divisée par la valeur maximale de sa valeur absolue" $`|E_{\rho}|_{max}`$.
+
+<br>
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-uniform-E_v2_L1200.gif)     
+_ La densité volumique de charge est positive._   
+<br>
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-uniform-E-N_v2_L1200.gif)     
+_ La densité volumique de charge est négative._   
+
 
 <br>
 
@@ -343,6 +390,10 @@ P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symét
 
 #### **2 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé non uniformément en volume
 
+* L'*objectif d'apprentissage* :
+
+    * Dans cet exemple la densité volumique de charge *$`\mathbf{\dens^{3D}}`$ est une fonction de $`\rho`$*, ce qui nécessite de **connaître l'expression de $`\Ltau`$**, l'élément de volume en coordonnées cylindriques et de **réaliser une intégrale triple pour calculer $`Q_{int}`$**, la charge dans le volume de Gauss.
+
 ##### Description de $`\dens`$ :
 
 * Prenons l'**exemple** de la distribution :
@@ -354,8 +405,9 @@ P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symét
 \end{array}\right.`$**   
 
 <!--exemple2 à garder : \dens^{3D}(\rho) =  \dfrac{A}{\rho^2} -->
+* La constante étant positive, **$`A\gt 0`$** , nous nous limitons dans cet exemple à des *charges positives*.   
 
-![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-non-uniform-rho_L1200.jpg)  
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-non-uniform-rho_V2_L1200.jpg)  
 _Variation de la densité volumique de charge $`\dens^{\rho}=A\,\rho^2`$ en fonction de $`\rho`$._   
 
 
@@ -433,19 +485,17 @@ $`\displaystyle\hspace{1.2cm}= \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}  A\,\rho^3\
 <br>
 *$`\large\text{Au final, concernant }Q_{int}`$* :
 
-![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-non-uniform-Qint_L1200.gif)   
-_Variation de la composante_ $`E_{\rho}`$ _du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$.   
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-non-uniform-Qint_v2_L1200.gif)   
+_Variation de la charge intérieure au volume de Gauss_ $`Q_{\int}`$ _en fonction de_ $`\rho`$.   
 
 
-##### Synthèse des résultats et calcul de $`\overrightarrow{E}`$
+##### **Synthèse** des résultats et calcul de $`\overrightarrow{E}`$
 
 **Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,\varphi_M\, z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :   
 (ne pas oublier le facteur $`1\,/\,\epsilon_0`$)
 
 
-<br>
-**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M\le R}`$** :   
-
+* **Si $`\mathbf{\rho_M \le R}`$**,    
 donc à l'*intérieur du cylindre chargé* :   
 <br>
 $`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
@@ -462,9 +512,7 @@ $`\left.\begin{array}{l}
 **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{A\,\rho_M^3}{4\,\epsilon_0}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
 
-<br>
-**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M\gt R}`$** :   
-
+* **Si $`\mathbf{\rho_M\gt R}`$**,   
 donc à l'*extérieur du cylindre chargé* :    
 <br>
 $`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
@@ -472,7 +520,6 @@ $`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
 $`\;=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}`$
 **$`\mathbf{\;=\dfrac{\pi\,A\,h}{2\,\epsilon_0}\,R^4}`$**   
 <br>
-Au final :   
 $`\left.\begin{array}{l}
 \overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
 2\pi \rho_M\,h\, E= \dfrac{\pi\,A\,h}{2\,\epsilon_0}\,R^4
@@ -480,21 +527,29 @@ $`\left.\begin{array}{l}
 \Longrightarrow`$
 **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{A\,R^4}{4\,\epsilon_0\,\rho_M}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
+
+* *Synthèse des résultats sur $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$* :     
 <br>
-*$`\large\text{Au final, concernant }\overrightarrow{E}`$* :
+Symétries et invariances $`\Longrightarrow\;`$**$` \mathbf{\overrightarrow{E}(\rho\,,\varphi\,,z)=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
-![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-non-uniform-E_L1200.gif)   
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindrical-dist-non-uniform-E_v2_L1200.gif)   
 _Variation de la composante_ $`E_{\rho}`$ _du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$.   
 
+
 <br>
 
 -----------------------
 
 #### **3 -** Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ 
 
+* L'*objectif d'apprentissage* :
+
+    * Dans cet exemple, il y a **plus de 2 sous-espaces à prendre en compte** pour finaliser le calcul du champ électrique en tout point de l'espace.
+
+
 ##### Description de $`\dens`$ :
 
-. Reprenons l'**exemple du profil précédent** de densité volumique de charge $`\dens^{3D}(\rho)=A\,\rho^2`$, *mais limité au volume d'un cylindre creux* de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ :
+* Reprenons l'**exemple du profil précédent** de densité volumique de charge $`\dens^{3D}(\rho)=A\,\rho^2`$, *mais limité au volume d'un cylindre creux* de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ :
 
 **$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
 \rho\le R_{int} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0 \\
@@ -502,9 +557,11 @@ R_{int} \le \rho\le R_{ext} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = A\,\rho^2\\
 \rho\gt R_{int} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0
 \end{array}\right.`$**   
 
-_schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
+* Il y a maintenant **3 sous-espaces** à prendre en compte :
+	* *un sous-espace* caractérisé par *$`\dens^{3D}(\rho) = A\,\rho^2`$*.
+	* *deux sous-espaces* caractérisés par *$`\dens^{3D}(\rho) = 0`$, mais séparés* par le sous-espace précédent.
 
-Nous pouvons considérer **2 méthodes équivalentes**
+* Nous pouvons considérer **2 méthodes équivalentes**
 
 ##### Théorème de Gauss en considérant 3 sous-espaces complémentaires
 
@@ -600,6 +657,26 @@ $`\left.\begin{array}{l}
 **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{A}{4\,\epsilon_0}\cdot\left(\dfrac{R_{ext}^4-R_{int}^4}{\rho_M}\right)
 \overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
+<br>
+* *Synthèse graphique des résultats* 
+
+   * Densité volumique de charge $`\dens^{3D}(\rho)`$ :
+
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindre-creux-dist-non-uniform-rho_v2_L1200.jpg)  
+     _Variation de la densité volumique de charge $`\dens^{\rho}=A\,\rho^2`$ en fonction de $`\rho`$._   
+
+   * Charge intérieure $`Q_{int}`$ dans le volume de Gauss, cylindre de rayon $`\rho`$ :
+
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindre-creux-dist-non-uniform-Qint_v2_L1200.gif)   
+     _Variation de la charge intérieure au volume de Gauss_ $`Q_{int}`$ _en fonction de_ $`\rho`$.
+
+   * Champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ en tout point de l'espace :
+<br>
+Symétries et invariances $`\Longrightarrow\;`$**$` \mathbf{\overrightarrow{E}(\rho\,,\varphi\,,z)=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+![](electrostatics-gauss-integral-cylindre-creux-dist-non-uniform-E_v2_L1200.gif)   
+     _Variation de la composante_ $`E_{\rho}`$ _du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$.   
+
 
 ##### Utiliser le théorème de superposition
 
@@ -627,17 +704,21 @@ en cours de rédaction, à terminer
 
 _figure spécifique à venir_
 
-
+<br>
 
 -----------------------------
 
 #### **4 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en surface
 
-* C'est par exemple le cas précédent dans la cas où 
-l'épaisseur $`e=R_{ext}-R_{int}`$ de la couche chargée est petite devant le rayon extérieur
-du cylindre, $`e\ll R_{ext}`$. On peut alors la négliger et modéliser les charges dans cette couche
-par des charges se répartissant sur la surface d'un cylindre de rayon $`R=R_{ext}=R_{int}`$ avec
-une densité superficielle de charge $`\dens^{2D}`$.
+* L'*objectif d'apprentissage* :
+
+    * Dans cet exemple, la distribution réelle de charge est modélisée par une **densité superficielle de charge $`\mathbf{\dens^{2D}}`$**.
+
+    * Faire le lien avec le cas précédent, étudier la **transition entre** :   
+      \- une **distribution réelle 3D** de charge *dans un cylindre creux de faible épaisseur $`e`$*$`\=R_{ext}-R_{int}`$.   
+      \- sa **modélisation 2D** par une distribution $`\dens^{2D}`$ *lorsque *l'épaisseur $`e`$ est négligée*.    
+      
+    * Montrer, si besoin était, que les **relations de continuité de $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$** à la traversée d'une surface chargée est la même que la surface chargée soit cylindrique ou plane (faire afficher les trois types de distributions en parallèle).  Elles sont **les mêmes à la traversée de toute surface**, *plane ou courbe*.    
       
 _schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
   
@@ -649,6 +730,7 @@ _schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
 \rho\gt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho) = 0 
 \end{array}\right.`$**   
 
+<!-------------
 * Nombre de sous-espaces à prendre en compte : 2
    * sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}_0`$ et tel que $`\rho\le R`$.
    * sous-espace $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=0`$ et tel que $`\rho \gt R`$
@@ -657,7 +739,12 @@ _schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
 
 montrer discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ à la traversée d'une surface chargée, due 
 au passage 3D vers idéalisation 2D : cela aura déjà été vu juste avant dans distribution de charge a symétrie plane, faire le lien.  
-Cette discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ en $`\rho=R`$ fait que le champ n'est pas défini en $`\rho=R`$ dans cette modélisation, dnas cette idéalisation 2D, ce qui justifie de n'avoir considéré que les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$.
+Cette discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ en $`\rho=R`$ fait que le champ n'est pas défini en $`\rho=R`$ dans cette modélisation, dans cette idéalisation 2D, ce qui justifie de n'avoir considéré que les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$.
+
+------>
+
+à terminer
+
 
 _figure de l'amplitude du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$ _à venir_