#### **1 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en volume
* L'*objectif d'apprentissage* de cet exemple de distribution de charge est
* de **terminer le processus** de détermination de $`\overrightarrow{E}`$ par le théorème de Gauss *avec un exemple particulièrement simple*.
* de montrer que la densité volumique de charge *$`\dens^{3D}`$ se manipule sans distinction de son signe*, ce **signe reste fondamental** parce qu'il *décide du sens de $`\overrightarrow{E}`$*, et donc de la force d'*attraction ou* de *répulsion* qu'il exerce sur les charges.
##### Description de $`\dens`$ :
* **$`\left\{\begin{array}{ll}
\rho\le R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\gt 0 \\
\rho\le R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\ne 0 \\
\rho\gt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)= 0
\end{array}\right.`$**
* *Représentation graphique de $`\dens^{3D}(\rho)`$* :
<br>
* Travailler avec $`\dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\ne 0`$ recouvre les deux situations $`\dens^{3D}_0\ge 0`$ et $`\dens^{3D}_0\lt 0`$.
<br>
* Plusieurs représentations du profil de variation de $`\dens^{3D}`$ avec $`\rho`$ sont possibles.
* Ci-desssous, pour ne garder que l'**information du profil** et ici **mettre en évidence le signe des charges**, nous choisissons pour l'axe des ordonnées la grandeur physique sans unité "*densité volumique de charge $`\dens^{3D}(\rho)`$ divisée par la valeur maximale de sa valeur absolue" $`|\dens^{3D}|_{max}`$*".
<br>
C'est une représentation indépendante de la valeur numérique de $`\dens^{3D}_0\ge 0`$ et de son unité de mesure ($`C/m^3\;,\;C/cm^3\;,\;\dots)`$.
<br>
Une densité de charge négative apparaîtra en dessous de l'axe des $`\rho`$, et elle apparaît au-dessus lorsqu'elle est positive.
* *Représentation graphique de $` Q_{int}(\rho)`$* :
<br>
Dans le **même esprit que précédemment**, nous traçons la charge totale dans le volume de Gauss $`Q_{int}(\rho)`$ divisée par la valeur maximale de sa valeur absolue" $`|Q_{int}|_{max}`$.
@@ -343,6 +390,10 @@ P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symét
#### **2 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé non uniformément en volume
* L'*objectif d'apprentissage* :
* Dans cet exemple la densité volumique de charge *$`\mathbf{\dens^{3D}}`$ est une fonction de $`\rho`$*, ce qui nécessite de **connaître l'expression de $`\Ltau`$**, l'élément de volume en coordonnées cylindriques et de **réaliser une intégrale triple pour calculer $`Q_{int}`$**, la charge dans le volume de Gauss.
##### Description de $`\dens`$ :
* Prenons l'**exemple** de la distribution :
...
...
@@ -354,8 +405,9 @@ P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symét
\end{array}\right.`$**
<!--exemple2 à garder : \dens^{3D}(\rho) = \dfrac{A}{\rho^2} -->
* La constante étant positive, **$`A\gt 0`$** , nous nous limitons dans cet exemple à des *charges positives*.
_Variation de la composante_ $`E_{\rho}`$ _du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$.
<br>
-----------------------
#### **3 -** Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$
* L'*objectif d'apprentissage* :
* Dans cet exemple, il y a **plus de 2 sous-espaces à prendre en compte** pour finaliser le calcul du champ électrique en tout point de l'espace.
##### Description de $`\dens`$ :
. Reprenons l'**exemple du profil précédent** de densité volumique de charge $`\dens^{3D}(\rho)=A\,\rho^2`$, *mais limité au volume d'un cylindre creux* de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ :
* Reprenons l'**exemple du profil précédent** de densité volumique de charge $`\dens^{3D}(\rho)=A\,\rho^2`$, *mais limité au volume d'un cylindre creux* de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ :
_Variation de la composante_ $`E_{\rho}`$ _du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$.
##### Utiliser le théorème de superposition
...
...
@@ -627,17 +704,21 @@ en cours de rédaction, à terminer
_figure spécifique à venir_
<br>
-----------------------------
#### **4 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en surface
* C'est par exemple le cas précédent dans la cas où
l'épaisseur $`e=R_{ext}-R_{int}`$ de la couche chargée est petite devant le rayon extérieur
du cylindre, $`e\ll R_{ext}`$. On peut alors la négliger et modéliser les charges dans cette couche
par des charges se répartissant sur la surface d'un cylindre de rayon $`R=R_{ext}=R_{int}`$ avec
une densité superficielle de charge $`\dens^{2D}`$.
* L'*objectif d'apprentissage* :
* Dans cet exemple, la distribution réelle de charge est modélisée par une **densité superficielle de charge $`\mathbf{\dens^{2D}}`$**.
* Faire le lien avec le cas précédent, étudier la **transition entre** :
\- une **distribution réelle 3D** de charge *dans un cylindre creux de faible épaisseur $`e`$*$`\=R_{ext}-R_{int}`$.
\- sa **modélisation 2D** par une distribution $`\dens^{2D}`$ *lorsque *l'épaisseur $`e`$ est négligée*.
* Montrer, si besoin était, que les **relations de continuité de $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$** à la traversée d'une surface chargée est la même que la surface chargée soit cylindrique ou plane (faire afficher les trois types de distributions en parallèle). Elles sont **les mêmes à la traversée de toute surface**, *plane ou courbe*.
_schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
...
...
@@ -649,6 +730,7 @@ _schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
\rho\gt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho) = 0
\end{array}\right.`$**
<!-------------
* Nombre de sous-espaces à prendre en compte : 2
* sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}_0`$ et tel que $`\rho\le R`$.
* sous-espace $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=0`$ et tel que $`\rho \gt R`$
...
...
@@ -657,7 +739,12 @@ _schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
montrer discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ à la traversée d'une surface chargée, due
au passage 3D vers idéalisation 2D : cela aura déjà été vu juste avant dans distribution de charge a symétrie plane, faire le lien.
Cette discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ en $`\rho=R`$ fait que le champ n'est pas défini en $`\rho=R`$ dans cette modélisation, dnas cette idéalisation 2D, ce qui justifie de n'avoir considéré que les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$.
Cette discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ en $`\rho=R`$ fait que le champ n'est pas défini en $`\rho=R`$ dans cette modélisation, dans cette idéalisation 2D, ce qui justifie de n'avoir considéré que les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$.
------>
à terminer
_figure de l'amplitude du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$ _à venir_
