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@@ -152,12 +152,12 @@ L'action est stationnaire par rapport à de petites variations ($`1^{er}`$ ordre
 $`\mathcal{S}=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}\big(x_i\,,\,\dpt{x}_i\big) dt`$
 
 $`\delta \mathcal{S}=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\bigg( \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_i} \delta x_i
-+\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dpt{x}_i} \delta \dpt{x}_i\Big)\,dt`$
++\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dpt{x}_i} \delta \dpt{x}_i\bigg)\,dt`$
 
 <details markdown=1>
-<summary>intégration par partie du second terme de l'intégrande`$
+<summary>intégration par partie du second terme de l'intégrande
 </summary>
-Soient deux fonctions $`u(\alpha)`$ et $v(\alpha)`$ dérivables de la variable $`u(\alpha)`$,
+Soient deux fonctions $`u(\alpha)`$ et $`v(\alpha)`$ dérivables de la variable $`\alpha`$,
 et de dérivées continues.   
 <br>
 $`(uv)'=u'v+uv'`$   
@@ -165,10 +165,15 @@ $`(uv)'=u'v+uv'`$
 $`uv'=(uv)'-u'v`$   
 <br>
 $`\displaystyle\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} u\cdot\dfrac{dv}{d\alpha}\,d\alpha`$
-$`\;=\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\dfrac{d (uv)}{d\alpha}\,d\alpha
+$`\displaystyle\;=\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\dfrac{d (uv)}{d\alpha}\,d\alpha
 -\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\dfrac{d u}{d\alpha}\cdot v\,d\alpha`$
 </details>
 
+$`\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dpt{x}_i} \delta \dpt{x}_i`$
+$`\;=\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dpt{x}_i}\dfrac{d x_i}{dt}`$
+
+$`\quad=\dfrac{\partial\mathcal{L}}\,x_i-{\partial \dpt{x}_i}\dfrac{d x_i}{dt}`$
+