Update cheatsheet.fr.md

12.temporary_ins/90.electromagnetism-in-vacuum/10.maxwell-equations/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -74,9 +74,18 @@ et révolutionne ainsi la physique._
 * Les **4 équations de Maxwell** *ne sont pas démontrées*, donc elles ne constituent pas des théorèmes.
 * Elles sont *posées et supposées vraies*, ce **sont des postulats**.
 
+
+<!-----------------
 #### Pourquoi ces équations fondent l'électromagnétisme ?
 
 #### Quel est le domaine de validité de ces équations ?
+------------------>
+
+<br> 
+
+------------
+
+<br>
 
 #### Que sont ces 4 équations de Maxwell ?
 
@@ -237,7 +246,11 @@ $`\Longrightarrow`$
 **$`&nbsp;\mathbf{\displaystyle\;\,\oint_{\,\Gamma\leftrightarrow S} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}}`$
 $`\;\mathbf{\displaystyle= \mu_0\iint_S \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS} +\mu_0 \epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**
 
+<br> 
+
+------------
 
+<br>
 
 #### Pourquoi parlons-nous de champ électromagnétique ?
 
@@ -247,7 +260,11 @@ que **variables, $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ ne peuvent exi
 * Le terme *$`\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\ne 0`$ implique $`\overrightarrow{E}\ne \overrightarrow{0}`$*
 * Le terme *$`\dfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\ne 0`$ implique $`\overrightarrow{B}\ne \overrightarrow{0}`$*
  
+<br> 
 
+------------
+
+<br>
 
 #### Que disent les équations de Maxwell sur la conservation de la charge ?
 
@@ -412,8 +429,11 @@ contenue dans le volume $`\tau`$, nous obtenons l'**expression intégrale de la
 <br>
 **$`\mathbf{\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS} +\dfrac{dQ_{int}}{dt}=0}`$**.    
 
+<br> 
 
+------------
 
+<br>
 
 #### Le champ électromagnétique peut-il céder de l'énergie à la matière ?
 
@@ -537,100 +557,137 @@ $`\displaystyle d\mathcal{P}_{cédée} =  \sum_{i=1}^p\overrightarrow{j_i}\cdot\
 <br>
 **$`\large{\displaystyle\mathbf{\mathcal{P}_{cédée} = \iiint_{\Ltau}\big(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}\big)\,d\tau}}`$**
 
+<br> 
 
+------------
 
+<br>
 
 #### Le champ électromagnétique contient-t-il de l'énergie ?
 
 à faire
 
+<br> 
+
+------------
+
+<br>
+
 #### Pourquoi parlons-nous d'ondes électromagnétiques ?
 
 ##### Equation d'onde
 
-Pour un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}(\overrightarrow{r},t)`$, l'équation d'onde de d'Alembert s'écrit :
+* Pour un *champ vectoriel $`\overrightarrow{U}(\overrightarrow{r},t)`$*, l'**équation d'onde de d'Alembert** s'écrit :   
+<br>
+**$`\Delta \overrightarrow{U} - \dfrac{1}{\speed^2} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{U}}{\partial\; t^2}=0`$**   
 
-$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{\speed^2} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0`$
+* L'expression de l'*opérateur Laplacien vectoriel $`\Delta`$* en fonction des opérateurs $`grad`$, $`div`$ et $`rot`$ est :   
+<br>
+*$`\Delta =\overrightarrow{grad} \left(div\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\right)`$*
 
-L'expression de l'opérateur Laplacien vectoriel $`\Delta`$ en fonction des opérateurs $`grad`$, $`div`$ et $`rot`$ est :
+* L'**idée** est de *calculer pour chacun des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$* 
+l'expression de *son Laplacien*, pour voir si une identification avec l'équation d'onde est
+réalisée.
 
-$`\Delta =\overrightarrow{grad} \left(div\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\right)`$
 
 ##### Etude de la composante $`\overrightarrow{E}`$ du champ électromagnétique.
 
-L'idée est de calculer pour chacun des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{E}`$ 
-l'expression de son Laplacien, pour voir si une identification avec l'équation d'onde est
-réalisée.
 
-Pour établir l'expression $`\;\;\Delta \overrightarrow{E}\;\;`$, je calcule 
+* Pour **établir l'expression $`\;\;\Delta \overrightarrow{E}`$**, je calcule 
 $`\;\;\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)\;\;`$ puis 
-$`\;\;\overrightarrow{grad} \left(div \overrightarrow{E}\right)\;\;`$ à partir des équations
-de Maxwell :
+$`\;\;\overrightarrow{grad} \left(div \overrightarrow{E}\right)\;\;`$ *à partir des équations
+de Maxwell*.
 
 
 *  $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
 \overrightarrow{rot} \,\left( -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)`$   
-<br><br>
-En physique classique non relativiste, espace et temps sont découplés. Les coordonnées spatiales
+<br>
+En physique classique, espace et temps sont découplés. Les coordonnées spatiales
 et la coordonnée temporelle sont indépendantes. L'ordre de dérivation ou intégration entre 
-des coordonnées spatiales et la coordonnés temporelle ne change pas le résultat, donc
-je peux écrire :
-<br><br>
+des coordonnées spatiales et la coordonnés temporelle n'importe pas, donc :   
+<br>
 $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
 -\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}\right)`$
-<br><br>
+<br>
 $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
 -\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\mu_0\;\overrightarrow{j} +
 \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)`$
 <br><br>
-$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)
-=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
+*$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$*
 <br><br>
 
-* $`\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\dens}{\epsilon_O} \right)`$
+* *$`\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\dens}{\epsilon_O} \right)`$*
+
+<br>
+
 
-La reconstruction de 
+* La reconstruction de 
 $`\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)`$
 donne :   
-
+<br>
 $`\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\dens}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
 \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$   
-
+<br>
 ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :   
-
-$`\mathbf{\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
-\overrightarrow{grad}\left(\dens \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}}`$
-
+<br>
+**$`\mathbf{\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
+\overrightarrow{grad}\left(\dens \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}}`$**   
+<br>
 _(équation de propagation du champ électrique)_
 
-Une étude de forme identique (proposée en autotest dans la partie beyond) me conduirait 
-pour le champ magnétique  $`\overrightarrow{B}`$ à l'équation de propagation :
-
-$`\mathbf{\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}
-{\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}}`$
+##### Etude de la composante $`\overrightarrow{B}`$ du champ électromagnétique.
 
+* Une *étude de forme identique* (proposée en autotest dans la partie beyond) me conduirait 
+pour le champ magnétique  $`\overrightarrow{B}`$ à l'équation de propagation :   
+<br>
+**$`\mathbf{\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}
+{\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}}`$**   
+<br>
 _(équation de propagation du champ magnétique)_
 
 ##### Équation de propagation dans la matière
 
-...
+Elle utilise l'expression   
+<br>
+$`\mathbf{\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}
+{\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}}`$
+<br>
+et fait l'objet de tout un **développement dans un chapitre ultérieur**.
 
-##### Équation de propagation dans le vide
 
+##### Équation de propagation dans le vide
 
- L'espace vide est caractérisé par une absence de charges, fixes ou en mouvement. 
+ * L'**espace vide** est caractérisé par une absence de charges, fixes ou en mouvement. 
  La densité volumique de charge $`\dens_{vide}`$ de même que le vecteur densité volumique de courant
  $`\overrightarrow{j}_{vide}`$ ont une valeur nulle dans tout l'espace vide,   
+ <br>
+ **$`\dens_{vide}=0\quad\text{et}\quad\overrightarrow{j}_{vide}=\overrightarrow{0}`$**.
  
- $`\dens_{vide}=0\quad\text{et}\quad\overrightarrow{j}_{vide}=\overrightarrow{0}`$.
- 
- Dès lors, l'équation de propagation de l'onde électromagnétique dans le vide prend la forme
- de l'équation de d'Alembert :
+ * Dès lors, la propagation de l'onde électromagnétique dans le vide s'exprime sous la forme
+ du système de **deux équations de d'Alembert** :   
+ <br>
+**$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$**   
+<br>
+**$`\Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$**
 
-$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$
+!!!! *Attention* :   
+!!!!
+!!!! Les équations de Maxwell impliquent la propagation du champ électromagnétique.
+!!!!
+!!!! Mais,
+!!!!
+!!!! Les deux équations d'onde pour les champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$
+!!!! n'impliquent pas les équations de Maxwell.
+!!!!
+!!!! Tout champ $`\overrightarrow{E}`$ qui vérifie 
+!!!! $`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$**   
+!!!!
+!!!! et tout champ $`\overrightarrow{B}`$ qui vérifie
+!!!! $`\Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$**   
+!!!!
+!!!! ne décrivent la propagation d'une onde électromégnétique que si  $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$
+!!!! vérifient les équations de Maxwell.
 
-$`\Delta \;\overrightarrow{B}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0}`$