!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
! *Thème* :<br>
! *N3 : Magnétostatique / Démonstration du théorème d'Ampère, forme intégrale et forme locale*<br>
! Guide pour établir les 3 parties : main, overview, beyond<br>
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! (_précède le thème : Magnétostatique : Application du théorème d'Ampère, forme intégrale et forme locale._)
ÉNONCÉS DU THÉORÈME D' AMPÈRE<br> ( appliqué à la MAGNÉTOSTATIQUE )
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*Domaine de validité* :
Ne s'applique qu'en magnétostatique ($`\overrightarrow{B}`$ créé par des courants constants).<br>
Son expression sera complétée en électromagnétisme ($`\overrightarrow{B}`$ créé par des courants variables) pour donner le théorème de Maxwell-Ampère.
_Attention : Les expressions ci-dessous ne sont valables que dans le système international d'unité $`SI`$, anciennement $`MKS`$._
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*FORME INTÉGRALE*
La circulation du vecteur champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$ le long d'un contour orienté $`\mathcal{C}`$ est égal à la somme algébrique des courants $`\overline{ \,I }`$ traversant toute surface ouverte $`S`$ associée à ce contour, multiplié par la constante magnétique $`\mu_0`$ :
*autre formulation* : La circulation du vecteur champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$ le long d'un contour orienté $`\mathcal{C}`$ est égal au flux du vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}`$ à travers toute surface ouverte $`S`$ associée à ce contour, multiplié par la constante magnétique $`\mu_0`$ :
En tout point de l'espace, le rotationnel du champ magnétique $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}`$ est égal au vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}`$ multiplié par la constante magnétique $`\mu_0`$ :
\- vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}`$ : $` A\;m^{-3}`$<br>
\- constante magnétique = perméabilité du vide : $`\mu_0=1,25663706\cdot 10^{-6}\;SI`$
#### Quel est l'intérêt du théorème d'Ampère intégral ?
* Le théorème d'Ampère est un théorème très général.
* Dans la limite où un contour d'Ampère tend vers 0, il *permet de définir la notion de rotationnel* qui quantifie une propriété locale de tout champ vectoriel :<br>
$`\Longrightarrow`$ le théorème d'Ampère aura une expression locale.
* Cette notion de rotationnel est l'*une des trois notions essentielles* (avec le gradient et la divergence) *pour décrire les lois de la physique* au niveau universitaire.
* Il *permet de calculer le champ magnétique $`B`$* lorsque les distributions de courants présentent des invariances et symétries, en remplaçant des calculs qui seraient extrêmement complexes.
#### Quels sont les concepts nécessaire à sa compréhension ?
* **Théorème** *= peut être démontré*
* Outre les concepts déjà vus de :<br>
\- circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour.<br>
\- règle d'orientation de l'espace.<br>
la démonstration nécessite les concepts de :<br>
\- *ligne ouverte, et ligne fermée (contour)*.<br>
\- *surface ouverte associée à un contour*.<br>
\- *contours disjoints et contours enlacés*.<br>
\- *rotationnel* d'un champ vectoriel.<br>
#### Qu'est-ce qu'une ligne ouverte ou fermée ?
* **ligne ouverte = chemin** : ligne $`\mathcal{C}`$ délimitée par *2 extrémités $`M_1`$ et $`M_2`$*.<br>
$`\Longrightarrow`$ :<br>
\- l'*orientation = sens* de parcours *défini comme positif* d'un chemin doit être choisie parmi les **deux sens possibles** : *de $`M_1`$ vers $`M_2`$*, ou *de $`M_2`$ vers $`M_1`$*.<br>
\- l'*intégration* sur un chemin utilise le symbole **$`\displaystyle\int_{\mathcal{C}}`$** :
*$`\quad\displaystyle\int_{M_1}^{M_2} ... `$* ou *$`\quad\displaystyle\int_{M_2}^{M_1} ... `$*
* **ligne fermée = contour = circuit** si parcouru par un courant électrique : *ligne se refermant sur elle-même*.<br>
$`\Longrightarrow`$ :<br>
\- le **sens positif** de parcours doit être choisi et il est *indiqué par l'orientation des éléments vectoriels de chemin $`\overrightarrow{dl}`$*.<br>
\- l'*intégration* sur un contour utilise le **symbole $`\oint_{\mathcal{C}}...`$**
#### Qu'est-ce qu'une surface ouverte associée à un contour ?
* Une surface ouverte **s'appuie sur un contour** si le contour est le *bord de la surface*.
* Il existe une **infinité de surfaces ouvertes** qui s'appuient sur *un même contour* quelconque.
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* Une **surface associée à un contour** respectent les deux conditions suivantes :<br>
<br>\- la surface **s'appuie sur ce contour**.<br>
<br>\- les **deux orientations choisis**, l'une sur le *contour* et l'autre sur la *surface*, sont liés par la **règle de la main droite**.
#### Comment savoir si un chemin traverse une surface ouverte associée à un contour ?
##### Le contour et la surface associée sont contenus dans un plan
* Soient un **contour orienté $`\mathcal{C}`$** contenu **dans un plan $`\mathcal{P}`$**, et la **surface plane associé $`S`$**.
* L'**angle solide** sous lequel $`S`$ est vue depuis un point $`M`$ tend vers $`\pm 2\pi\;sr`$ lorsque la *distance du point $`M`$ à la surface $`S`$ tend vers 0* :<br>
le signe $`+`$ ou $`-`$ dépendant du sens d'orientation choisi pour $`S`$ et de quel côté de la surface se situe $`M`$.
* Si un chemin $`M_1M_2`$ traverse une surface plane $`S`$, Il y a une **discontinuité de $`\pm 4\pi`$ dans la valeur de l'angle solide** sous lequel est vue $`S`$ *à la traversée de la surface plane*,<br>
le signe $`+`$ ou $`-`$ dépendant du sens d'orientation choisi pour $`S`$, et du sens de parcours du chemin $`M_1M_2`$.
* Ainsi, si $`\Omega_1`$ (respectivement $`\Omega_2)`$ est l'angle solide sous lequel est vue la surface plane $`S`$ depuis l'extrémité $`M_1`$ (resp. $`M_2`$), alors l'intégration de l'angle solide le long du chemin $`M_1M_2`$ est :<br>
le signe $`+`$ ou $`-`$ dépendant du sens d'orientation choisi pour $`S`$, et du sens de parcours du chemin $`M_1M_2`$.
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* Si le chemin **$`M_1M_2`$ traverse 2 fois et en sens inverses la surface plane $`S`$**, alors l'*intégration de l'angle solide* entre les deux extrémités $`M_1`$ et $`M_2`$ devient :<br>
* Il existe alors **d' autres surfaces ouvertes s'appuyant sur le même contour** que le chemin **$`M_1M_2`$ ne traverse pas**.
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##### Le contour et la surface associée sont quelconques
* Depuis un point $`M`$, l'**angle solide élémentaire $`d\Omega_{\Delta}`$** sous lequel est vu une *surface macroscopique traversée p fois* dans une direction $`\Delta`$ est donné par :<br>
* Si cette surface non torsadée est observée depuis *deux points $`M`$ et $`M'`$ situés sur l'axe d'observation $`\Delta`$ de par et d'autre au voisinage de la surface*, alors la **traversée entre $`M`$ et $`M'`$** implique :<br>
* L'**angle solide limite $`\Omega_0`$** sous lesquel cette surface est observée lorsqu'*un point du chemin $`\mathcal{C}`$ tend par un côté vers $`M_0`$* n'est en général pas égale à $`2\pi`$. Mais cette limite angle solide limite exprimé en stéradian peut s'écrire sous la forme :<br>
avec $`\Omega '`$ angle solide complémentaire qui peut être positif ou négatif.
* **Contribuent à $`\Omega_0`$ limite** tous les *angles solides élémentaires $`d\Omega_{\Delta}`$* correspondant à une direction $`\Delta`$ pour laquelle, depuis le point limite considéré, la *surface est traversée un nombre impair de fois*.
* **Ne contribuent pas à $`\Omega_0`$ limite** tous les angles solides élémentaires correspondants à une direction $`\Delta`$ qui *ne traverse pas* la surface, ou lorsque la *surface est traversée un nombre pair de fois*.
_Pour l'orientation de la surface_ $`S`$ _et la position du point_ $`M_0^+`$ _représentées sur la figure, l'angle solide limite sous lequel_ $`S`$ _est vue vaut_ $`\Omega_0^+=+2\pi+\Omega' `$_, avec_ $`\Omega' >0`$.
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* L'**angle solide limite $`\Omega_0 '`$** est l'angle solide d'observation de $`S`$ depuis *un point de $`\mathcal{C}`$ tend vers $`M_0`$* **depuis l'autre face**.<br>
$`\Longrightarrow`$ :<br>
\- toute direction $`\Delta`$ qui ne rencontrait pas la surface, la traverse désormais 1 fois.<br>
\- toute direction $`\Delta`$ qui traversait un nombre pair de fois la surface, la traverse un nombre impair de fois, et réciproquement.
* $`\Longrightarrow`$ toute direction qui apportaient une contribution à l'angle solide $`\Omega_0`$, ne contribue pas à l'angle solide $`\Omega_0 '`$.<br>
$`\Longrightarrow`$ inversement, toute direction ne contribuait pas à $`\Omega_0`$, contribue à $`\Omega_0 '`$.
* $`\Longrightarrow`$ Les **angles solides limites $`\Omega_0`$ et $`\Omega_0 '`$ vérifient** :<br>
_Pour l'orientation de la surface_ $`S`$ _et la position du point_ $`M_0^-`$ _représentées sur la figure, l'angle solide limite sous lequel_ $`S`$ _est vue vaut_ $`\Omega_0^-=-2\pi+\Omega' `$_, en comptant_ $`\Omega' >0`$ comme dans la figure précédente.
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* *A la traversée d'une surface quelconque*, l'**angle solide** sous lequel est observée une surface quelconque présente une **discontinuité de $`\pm\,4\pi`$**,<br>
le signe + ou - dépend de l'orientation de la surface, et du sens de traversée de la surface.
* Deux contours sont **non enlacés** si et seulement si *il est possible de les séparer en les déformant*.<!--wikipedia : Si on peut séparer les deux courbes en les déformant sans les couper, alors l'enlacement des deux courbes vaut zéro. La réciproque est fausse.-->
* Considère le même cas que précédemment, mais avec les deux extrémités $`M_1`$ et $`M_2`$ d'un chemin confondues en un même point *$`M`$* $`\,=M_1=M_2`$ pour former un **contour $`\mathcal{C_2}`$** .
* Les *contours* sont **disjoints** :<br>
$`\Longleftrightarrow`$ un contour traverse **0 fois, 2 fois, ... 2n fois (avec n$`\in\mathbb{N}`$)** toute surface ouverte associée à l'autre contour.
* $`\Longrightarrow`$ lors d'un **tour complet** sur l'un des contours (exemple $`\mathcal{C_2}`$, la *variation de l'angle solide* sous lequel est vu l'autre contour (ou toute surface ouverte associée à ce contour) est *nulle* :<br>
$`\Longleftrightarrow`$ un contour traverse **1 fois, 3 fois, ... (2n+1) fois (avec n$`\in\mathbb{N}`$)** toute surface ouverte associée à l'autre contour.
* $`\Longrightarrow`$ lors d'un **tour complet** sur l'un des contours (exemple $`\mathcal{C_2}`$, la *variation de l'angle solide* sous lequel est vue toute surface ouverte s'appuyant sur l'autre contour égale **$`\pm 4\pi`$ stéradians** :<br>
* Le **signe $`+`$ ou $`-`$** dépend des *sens de circulation définis comme positifs* sur chacun des contours.
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#### Démonstration du théorème d'Ampère : les différentes étapes
* Nous devrons reconstruire des angles solides $`d\Omega`$ et des surfaces $`dS`$ élémentaires à partir d'éléments de longueurs $`dl`$.<br>
$`\Longrightarrow`$ La **notation** suivante sera utilisée pour la clareté de la démonstration:<br>
\- *$`\mathbf{dl}`$* pour les éléments de longueur.<br>
\- *$`\mathbf{d^2S\;,\; d^2\Omega}`$* pour les éléments de surface et d'angles solides de base définis par le produit de deux éléments de longueur.<br>
\- *$`\mathbf{dS \;,\; d\Omega}`$*, puis *$`\mathbf{S \;,\; \Omega}`$* lors des intégrations successives.
* $`\Longrightarrow`$ le **déplacement apparent de tout point $`P`$** est de **$`\mathbf{-\,\overrightarrow{dl'}}`$**.
<!--figure associée--->
##### Quelle est la surface apparente balayée par un élément de longueur $`\overrightarrow{dl}`$ si l'observateur se déplace de $`\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}`$ ?
* La **surface élémentaire $`d^2S`$ balayée** par l'élément de circuit $`\overrightarrow{dl}`$ est donnée :<br>
\- en valeur absolue par le produit $`dl\cdot dl' \cdot |\,sin \theta\,|`$,<br>
avec $`\theta`$ angle formé par les vecteurs $`\overrightarrow{dl}`$ et $`\overrightarrow{dl'}`$, soit encore :<br>
* Le calcul de l'angle solide $`d\Omega`$ fait apparaître une *contribution positive $` d\Omega^+`$* et une* contribution négative $` d\Omega^-`$*.
* Un *contour* étant une ligne fermée, pour un déplacement infinitésimal de l'observateur, les contributions *$` d\Omega^+`$ et $` d\Omega^-`$ s'annulent presque*.
* $`\Longrightarrow\quad d\Omega`$ n'est pas l'angle solide $`\Omega_{\mathcal{C_1}}`$ sous lequel l'observateur voit le contour $`\mathcal{C_1}`$ ou toute surface ouverte associée à ce contour. Il est bien plus faible : $`d\Omega<<\Omega_{\mathcal{C_1}}`$
##### Comment s'exprime la variation d'angle solide sous lequel est vu un contour $`\mathcal{C_1}`$ si l'observateur se déplace de $`\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}`$ ?
* Dans l'hypothèse ou le **contour $`\mathcal{C_1}`$** apparaît **inchangé pour l'observateur** se déplaçant de (par exemple $`\mathcal{C_1}`$ est une grande structure située à très grande distance de l'observateur), alors les contributions $` d\Omega^+`$ et $` d\Omega^-`$ s'annulent :<br>
* Ainsi **$`\mathbf{\quad d\Omega\ne 0}`$** correspond à une **variation de perception de $`\mathcal{C_1}`$** lors du déplacement de l'observateur, due à la *parallaxe*.
* La **variation d'angle solide** sous lequel est vu un *contour* (ou *toute surface ouverte associée* à ce contour) est égale à **$`\mathbf{d\Omega}`$**.
##### Que vaut $`\overrightarrow{B}`$ créé en un point $`M`$ par un contour $`\mathcal{C_1}`$ parcouru par un courant constant $`I`$ ?
* L'**orientation de $`\mathcal{C_1}`$** est défini par le sens des *$`\mathbf{\overrightarrow{dl}}`$*.
* Le **sens du courant** est donnée par la *valeur algébrique de *$`\overline{\,I}*`$.
* Le champ magnétique créé en un point $`M`$ par un élément de courant $`\overline{\,I}\;\overrightarrow{dl_P}`$ en un point $`P`$ de l'espace est donné par la loi de Biot et Savart :
* Le **champ magnétique $`\overrightarrow{B_M}`$** créé en un point $`M`$ par les éléments de longueur $`dl`$ en tous les points $`P`$ d'un *circuit fermé orienté* $`\mathcal{C_1}`$ parcouru par un *courant $`I`$ constant* s'écrit :<br>
$`\quad PM=||\overrightarrow{PM}||=r\quad`$ et $`\quad\overrightarrow{PM}=r\;\overrightarrow{u}`$.
##### Comment s'exprime la circulation du champ magnétique lors du déplacement de $`M`$ en $`M'`$ ?
* Si le point $`M`$ se déplace en $`M' `$, la circulation de $`\overrightarrow{B_M}`$ lors de ce déplacement $`\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}`$ s'écrit :<br>
##### Que vaut la circulation du champ magnétique créé par le contour $`\mathcal{C_1}`$ sur un contour $`\mathcal{C}_2`$?
* Le déplacement élémentaire précédent $`\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}`$ appartient à un contour $`\mathcal{C}_2`$.
* Le sens du vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl'}`$ définit le sens positif de circulation de $`\mathcal{C}_2`$.
* La circulation du champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$ créé par le contour $`\mathcal{C_1}`$ sur le contour $`\mathcal{C}_2`$ s'obtient en intégrant l'expression précédente sur tous les $`\overrightarrow{dl'}`$ constituant $`\mathcal{C}_2`$ :<br>
<br>où $`\oint_{\mathcal{C}_2} d\Omega`$ est la variation de l'angle solide sous lequel est vu le contour $`\mathcal{C_2}`$ lorsqu'un tout complet est effectué sur le contour $`\mathcal{C_1}`$.
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* Si les **contours** $`\mathcal{C_1}`$ et $`\mathcal{C_2}`$ sont **enlacés** :<br>
