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@@ -12,11 +12,11 @@ visible: false
 
 ##### Opérateur laplacien et équation d'onde d'un champ scalaire.
 
-* Un *champ scalaire $`\overrightarrow{U}`$ se propage* s'il vérifie l'**équation d'onde scalaire**.
+* Un *champ scalaire $`f`$ se propage* s'il vérifie l'**équation d'onde scalaire**.
   <br>
   L'écriture générale de cette équation *utilise l'opérateur lagrangien scalaire $`\Delta`$* et s'écrit :   
   <br>
-  **$`\Delta\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0`$**
+  **$`\Delta\,f-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$**
 
 * Cet opérateur laplacien scalaire **$`\Delta`$ possède une existence en soit**, 
   *indépendante de son expression dans un système de coordonnées* donné, de même qu'un vecteur à une existence en soit, indépendante de l'expression de ses composantes
@@ -59,33 +59,32 @@ visible: false
      <br>
      et l'**opérateur $`div\,\overrightarrow{grad}`$ en coordonnées cartésiennes** :   
      <br>
-     **$`div\,\overrightarrow{grad}= \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$*
-
-
-
-* nous pouvons construire le champ scalaire
-  $`div\,\overrightarrow{U} = div\big(\overrightarrow{grad}\,f`$.   
-  <br>
-  $`\Longrightarrow`$ A tout champ scalaire $`f`$, je peux associer le champ scalaire
-  $`div\,\overrightarrow{U} = div\big(\overrightarrow{grad}\,f`$
-
-* Ce champ scalaire  $`div\,\overrightarrow{U} = div\big(\overrightarrow{grad}\,f`$ possède une existence en soi,   
-  indépendante de son expression dans un système de coordonnées donné.
-
-* Construisons l'expression de ce champ scalaire $`div\,\overrightarrow{U} = div\big(\overrightarrow{grad}\,f`$ s'écrit :   
-   * L'expression du gradient   
-  $`\overrightarrow{grad}\,f=`$
+     **$`div\,\overrightarrow{grad}= \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$**
 
+* Nous reconnaissons l'expression cartésienne de l'opérateur laplacien.
 
+* L'opérateur combiné $`div\,\overrightarrow{grad}`$ constitue la **définition de l'opérateur laplacien scalaire** :   
+<br>
+**$`\large{\Delta}=div\,\overrightarrow{grad}`$**
 
+#### Relations entre les propriétés locales d'un champ scalaire et sa propagation
 
+* Tout champ scalaire $`f`$ (continue et au moins deux fois dérivable) possède son champ de gradient $`\overrightarrow{f}`$.
+* *Si le gradient $`\overrightarrow{f}`$ vérifie l'***équation d'onde** :   
+  <br>
+  *$`div\,\overrightarrow{grad}\,f-\dfrac{1}{\mathscr‘v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}`$*      
+  <br>
+  ou écrit avec le laplacien scalaire :   
+  <br>
+  **$`\Delta\,f-\dfrac{1}{\mathscr‘v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}`$**      
+  <br>
+  **alors le champ scalaire $ f`$ se propage à la célérité $`\mathscr{v}`$**.
 
 
 
 #### L'opérateur laplacien vectoriel, et la propagation d'un champ vectoriel
 
 
-
 * Un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ se propage s'il vérifie l'équation d'onde vectorielle.
   <br>
   L'écriture générale de cette équation utilise l'opérateur lagrangien vectoriel et s'écrit :