_figure temporaire à réviser : corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$. _Remplacer_
$`\mathscr{P}_2`$ _par_ $`\mathscr{P}_0`$. _En effet, pour le point suivant, nous réserverons la notation_ $`\mathscr{P}_i`$ _avec_ $`i\in\mathbb{N}^*`$ _aux plans contenant l'axe_ $`Oz`$. _Rajouter la notation $`\Delta`$ pour l'axe_ $`Oz`$.
_figure temporaire à réviser : corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$. _Remplacer_ $`\mathscr{P}_2`$ _par_ $`\mathscr{P}_0`$. _En effet, pour le point suivant, nous réserverons la notation_ $`\mathscr{P}_i`$ _avec_ $`i\in\mathbb{N}^*`$ _aux plans contenant l'axe_ $`Oz`$. _Rajouter la notation $`\Delta`$ pour l'axe_ $`Oz`$.
#### Comment faire le lien avec la distribution de charges puis en déduire $`\overrightarrow{E}`$ ?
* Le *théorème de Gauss local* nous dit qu'alors, **en tout point de l'espace** cette différentielle est égale à la densité volumique de charge $`\dens^{3D}`$ en ce point divisée par la constante diélectrique $`\epsilon_0`$ :
* Calculer la champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ revient à calculer une intégrale dont l'intégrande est la différentielle $`d\left(\rho\,E_{\rho}\right)`$ :
* Cette différentielle s'exprime simplement en fonction de la divergence de $`\overrightarrow{E}`$, et le théorème de Gauss local relie cette divergence à la densité volumique de charge $`\dens^{3D}`$. Nous obtenons une *expression de $`d\left(\rho\,E_{\rho}\right)`$ en fonction de $`\dens^{3D}`$* :
sont *commun à toutes les distributions* de charge à symétrie cylindrique invariantes par translation selon $`Oz`$.
* Le **calcul final de $`\overrightarrow{E}`$** nécessite de *connaître l'expression mathématique pour $`\mathbf{\dens^{3D}}`$* en chaque point de l'espace.
<br>
$`\Longrightarrow`$ **différentes distributions de charge sont étudiées***dans la suite de cette page*.
<br>
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#### **1 -** Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en volume
* Nombre de sous-espaces complémentaires à prendre en compte : 2
* sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}_0`$ et tel que $`\rho\le R`$.
* sous-espace $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=0`$ et tel que $`\rho \gt R`$
...
...
@@ -251,53 +270,68 @@ en vrac, à modifier et terminer.
* L'*objectif final* est de calculer le champ électrique **$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ en tout point $`\mathbf{M=(\rho_M\,\varphi_M\,z_M)}`$** de l'espace.
***2 cas sont à prendre en compte**, selon que le point *$`M`$ est situé à l'intérieur* $`(\rho_M\le R)`$ ou *à l'extérieur* $`(\rho_M\gt R)`$ du cylindre chargé de rayon $`R`$.
**Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,\varphi_M\, z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :
(ne pas oublier le facteur $`1\,/\,\epsilon_0`$)
----------->
<br>
**$`\large\text{Pour }\mathbf{\rho_M\le R}`$** :
donc à l'*intérieur du cylindre chargé* :
**$`\large\text{Pour }\mathbf{\rho_M = 0}`$** :
L'étude des symétries nous a permis d'affirmer précédemment que :
