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@@ -452,18 +452,52 @@ situés en tout *point $`P`$ de la spire* de coordonnées cylindriques
 
 ##### Expression du champ magnétique élémentaire
 
-* Selon la loi de Biot et Savart, l'élément de courant $`I\,\overrightarrow{dl}_P`$
+* Selon la *loi de Biot et Savart*, l'élément de courant $`I\,\overrightarrow{dl}_P`$
 en tout point $`P`$ de la spire parcourue par le courant $`I`$ créé 
-*en tout point M* de l'espace le **champ magnétique élémentaire**   
+*en tout point M* de l'espace le **champ magnétique d'excitation élémentaire**   
 <br>
-**$`\mathbf{\overrightarrow{dB}_{P\rightarrow M}}`$**$`\;=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\cdot\dfrac{I\cdot\overrightarrow{dl}_P
-\land\overrightarrow{PM}}{||\overrightarrow{PM}||^3}`$   
+**$`\mathbf{\overrightarrow{dH}_{P\rightarrow M}=\dfrac{1}{4\pi}\cdot\dfrac{I\cdot\overrightarrow{dl}_P
+\land\overrightarrow{PM}}{||\overrightarrow{PM}||^3}\quad`$** (A m<sup>-1</sup>,   
+<br>
+ou encore, la spire étant plongé dans l'espace vide ou dans l'air, le **champ d'induction magnétique**    
+<br>
+**$`\mathbf{\overrightarrow{dB}_{P\rightarrow M}=\mu_0 \overrightarrow{dH}_{P\rightarrow M}}\quad`$** (T).
+
 
-$`\hspace{2cm}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\cdot\dfrac{I\cdot R\,d\varphi\,\overrightarrow{e_{\varphi}}\land d\,\overrightarrow{e_d}}{d^3}`$   
+* Le calcul de $`\overrightarrow{H}`$ se limitant aux points de l'axe $`Oz`$, les coordonnées de tout
+*point $`M`$ de l'axe $`Oz`$* s'expriment     
+*$`M = (\rho_M = 0, \,\varphi_M = 0, \, z_M)`$*
 
-*$`\boldsymbol{\mathbf{\hspace{2cm}=\dfrac{\mu_0\,I}{4\pi}\cdot\dfrac{R\,d\varphi}{d^2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}\wedge \overrightarrow{e_d}}}`$*  
 
+* *Exprimons $`\overrightarrow{dH}_{P\rightarrow M}`$* **en fonction des données de base de l'étude**, soit 
+  L'élément de courant  $`I\,\overrightarrow{dp}_{P}`$, 
+  le rayon $`R`$ de la spire, la coordonnée $`z_M`$, et les vecteurs
+  $`\overrightarrow{e_{\rho}},\,\overrightarrow{e_{\varphi}},\,\overrightarrow{e_z}`$ de la base cylindrique choisie :
+
+   * le vecteur $`,\overrightarrow{PM}`$ se décompose en   
+     <br>
+     **$`\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM}=-R\,\overrightarrow{e_{\rho}}+z_m\,\overrightarrow{e_z}`$**. 
+   * Les coordonnées cylindriques sont orthonormées ($`\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_z}`$) donc
+     l'angle $`\alpha =\widehat{OMP}`$ est droit, le triangle (OMP) est rectangle en $`O`$.   
+     Ainsi la *distance $`d=||\,\overrightarrow{PM}\,||`$* qui intervient dans la loi de Coulomb, 
+     grâce au *théorème de Pythagore* appliqué au triangle (OMP), s'exprime :     
+     <br>
+     **$`d = \sqrt{(-R)^2+z_M^2}=(R^2+z_M^2)^{\,1/2}`$**
+
+* Le champ d'excitation magnétique élémentaire au point $`M`$ créé par l'élément de courant en $`P`$ se réécrit donc :<br>
 <br>
+**$`\mathbf{\overrightarrow{dH}_{P\rightarrow M}}`$** 
+$`\quad=\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{\overrightarrow{dl}_P
+\land\overrightarrow{PM}}{||\overrightarrow{PM}||^3}`$   
+<br>
+$`\hspace{1.7cm}=\quad\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{R\,d\varphi\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{PM})}{d^3}`$   
+<br>
+$`\hspace{1.7cm}=\quad\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{(R\,d\varphi\overrightarrow{e_{\varphi}})\land(-R\,\overrightarrow{e_{\rho}}+z_m\,\overrightarrow{e_z}))}{(R^2+z_M^2)^{\,3/2}}`$    
+<br>
+$`\hspace{1.7cm}=\quad\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{-R^2\,(\overrightarrow{e_{\varphi}})\land\overrightarrow{e_{\rho}})+R\,z_m\,(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})}{(R^2+z_M^2)^{\,3/2}} d\varphi`$ 
+<br>
+
+
 ##### Symétries des courants et direction du champ magnétique total
 
 <br>