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@@ -217,47 +217,118 @@ Punto de vista intrínseco / Point de vue intrinsèque /  Intrinsic point of vie
 
 
 
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 simple test de visualisation ...
 
 ![](test-visualisation.jpg)   
- _Refaire cette figure avec des lignes de coordonnées non orthogonales dans chacun des plans tangents_
+ _Refaire cette figure avec deux lignes de coordonnées x1 et x2 non orthogonales dans chacun des plans tangents, ce qui impliquera de changer aussi les flèches. Retravailler le visage et la main, ou changer le personnage._
  
-Soient $`\overrightarrow{e_1}_M`$ et $`\overrightarrow{e_2}_M`$ les deux vecteurs de la base naturelle associée aux coordonnées $`(x^1, x^2)`$ au point $`M`$.
+* Soient $`\overrightarrow{e_1}_M`$ et $`\overrightarrow{e_2}_M`$ les deux vecteurs de la base naturelle associée aux coordonnées $`(x^1, x^2)`$ au point $`M`$.
 
-Suivons le vecteur $`\overrightarrow{e_1}_M`$ dans un déplacement infinitésimale entre le point $`M`$ et le point $`P`$ voisin sur la ligne de la coordonnée $`x_2`$.
+* Suivons le vecteur $`\overrightarrow{e_1}_M`$ dans un déplacement infinitésimal entre le point $`M`$ et le point $`P`$ voisin sur la ligne de la coordonnée $`x_2`$.
 
-Le vecteur $`\overrightarrow{e_1}_P`$ au point $`P`$ n'appartient pas à la même variété. Dans cette vision bidimensionnelle, les vecteurs $`\overrightarrow{e_1}_M`$ et $`\overrightarrow{e_1}_P`$ vivent dans deux plans différents non parallèles $`\mathscr{P}_M`$ et  $`\mathscr{P}_P`$. Il ne peut y avoir aucune expression des vecteurs de base naturelle $`\overrightarrow{e_1}_M`$ et $`\overrightarrow{e_2}_M`$ en $`M`$ en fonction des vecteurs  $`\overrightarrow{e_1}_P`$ et $`\overrightarrow{e_2}_P`$ en $`P`$.
+* Le vecteur $`\overrightarrow{e_1}_P`$ au point $`P`$ n'appartient pas à la même variété. Dans cette vision bidimensionnelle, les vecteurs $`\overrightarrow{e_1}_M`$ et $`\overrightarrow{e_1}_P`$ vivent dans deux plans différents non parallèles $`\mathscr{P}_M`$ et  $`\mathscr{P}_P`$. Il ne peut y avoir aucune expression des vecteurs de base naturelle $`\overrightarrow{e_1}_M`$ et $`\overrightarrow{e_2}_M`$ en $`M`$ en fonction des vecteurs  $`\overrightarrow{e_1}_P`$ et $`\overrightarrow{e_2}_P`$ en $`P`$.
 
-Imaginons ces deux variétés $`\mathscr{P}_M`$ et  $`\mathscr{P}_P`$ comme plongées dans une même variété $`\mathscr{E}`$ de dimension 3 euclidienne. Il est dès lors possible d'exprimer les quatre vecteurs 
+* Imaginons ces deux variétés $`\mathscr{P}_M`$ et  $`\mathscr{P}_P`$ comme plongées dans une même variété $`\mathscr{E}`$ de dimension 3 euclidienne. Il est dès lors possible d'exprimer les quatre vecteurs 
 $`\overrightarrow{e_1}_M`$, $`\overrightarrow{e_2}_M`$, $`\overrightarrow{e_1}_P`$ et $`\overrightarrow{e_2}_P`$ dans une même base de $`\mathscr{E}`$. En particulier pour l'exemple donné par la figure, il est possible d'exprimer le vecteur élémentaire $`d\overrightarrow{e_1}_M=\overrightarrow{e_1}_P-\overrightarrow{e_1}_M`$ dans la base choisie de $`\mathscr{E}`$, et il est possible de projeter ce vecteur élémentaire $`d\overrightarrow{e_1}_M`$ sur la variété $`\mathscr{P}_1`$
 
-Je reformaterai, réorganiserai et continuerai après. Mes déjà je rentre quelques équations liées à la figure adapté à venir.   
-Comme la figure et l'exemple pris doivent restés au plus proche de ce qui est déjà assimilé, je garde pour un vecteur l'écriture $`\overrightarrow{e}`$ avec sa flèche, au lieu de l'écriture en caractère gras  $`\mathbf{e}`$ usuelle qui sera introduite en parallèle.
-
-Soit  $`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\right|_{\mathscr{P}_M}`$ la projection de $`\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}`$ sur le plan tangent $`\mathscr{P}_M`$ à la courbe $`\mathscr{S}`$ au point $`M`$.  
-Cette projection $`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\right|_{\mathscr{P}_M}`$ peut être décomposée sur les vecteurs de la base naturelle $`\left(\overrightarrow{e_1}_M,\overrightarrow{e_2}_M\right)`$ au point $`M`$, associée aux coordonnées $`(x_1, x_2)`$ choisies sur $`\mathscr{S}`$.
-
-00000000------------------
+<!---------------------------
+_Je reformaterai, réorganiserai et continuerai après. Mes déjà je rentre quelques équations liées à la figure adaptée à venir._   
+_Comme la figure et l'exemple pris doivent restés au plus proche de ce qui est déjà assimilé, je garde pour un vecteur l'écriture $`\overrightarrow{e}`$ avec sa flèche, au lieu de l'écriture en caractère gras  $`\mathbf{e}`$ usuelle qui sera introduite en parallèle._
 
+* Soit  $`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\right|_{\mathscr{P}_M}`$ la projection de $`\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}`$ sur le plan tangent $`\mathscr{P}_M`$ à la courbe $`\mathscr{S}`$ au point $`M`$.  
+Cette projection $`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\right|_{\mathscr{P}_M}`$ peut être décomposée sur les vecteurs de la base naturelle $`\left(\overrightarrow{e_1}_M,\overrightarrow{e_2}_M\right)`$ au point $`M`$, associée aux coordonnées $`(x_1, x_2)`$ choisies sur $`\mathscr{S}`$ :   
+<br>
 $`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\right|_{\mathscr{P}_M}
 =\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\cdot\overrightarrow{e_1}_M\right)\,\overrightarrow{e_1}_M`$
 $`\;+\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\cdot\overrightarrow{e_2}_M\right)\,\overrightarrow{e_2}_M`$
 
 $`\hspace{0,8 cm}=\Gamma_{12}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{12}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M`$
 
-de même,
+Le vecteur $`\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}`$, qui représente la variation du vecteur $`\overrightarrow{e_1}_M`$ par unité de longueur sur la ligne de coordonnées $`x^2`$ au point $`M`$ de la variété bidimensionnelle $`\mathscr{S}`$, n'appartient pas à la variété euclidienne $`\mathscr{P}_1`$ tangente en $`M`$ à $`\mathscr{S}`$.    
+Pour utiliser les mots plus usuels référant à l'espace euclidien 3D de la physique newtonienne, qui contient des surfaces courbes ou des plans 2D, ainsi que des lignes courbes ou des axes 1D, nous pouvons dire :   
+----------------------------------->
 
+* Le vecteur $`\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}`$, qui représente la variation du vecteur $`\overrightarrow{e_1}_M`$ par unité de longueur sur la ligne de coordonnées $`x^2`$ au point $`M`$ de la surface courbe $`\mathscr{S}`$, n'appartient pas au plan euclidienne $`\mathscr{P}_M`$ tangent en $`M`$ à $`\mathscr{S}`$. 
+
+* Ce vecteur Le vecteur $`\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}`$ appartient à l'espace euclidien 3D dans lequel la surface courbe $`\mathscr{S}`$ est plongée, ou il est un intermédiaire mathématique utile dans le cas où il n'existe pas d'espace 3D dans lequel $`\mathscr{S}`$ serait plongée. Il est en effet toujours possible d'imaginer un tel espace intermédiaire.
+
+* Par contre ce vecteur $`\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}`$ peut être projeté dans le plan tangent au point $`M`$ à la surface courbe $`\mathscr{S}`$. Cette projection $`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^1}\right|_{\mathscr{P}_M}`$ peut alors se décomposer selon les vecteurs de la base naturelle $`\left(\overrightarrow{e_1}_M,\overrightarrow{e_2}_M\right)`$ associée au point $`M`$ aux coordonnées $`(x^1,x^2)`$ s'écrit :   
+<br>
+$`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\right|_{\mathscr{P}_M}
+=\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\cdot\overrightarrow{e_1}_M\right)\,\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\cdot\overrightarrow{e_2}_M\right)\,\overrightarrow{e_2}_M`$ ,   
+<br>
+ce que nous pouvons reécrire :   
+<br>
+**$`\displaystyle\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2} \right|_{\mathscr{P}_M}
+=\sum_{b=1}^2 \left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\cdot\overrightarrow{e_b}_M \right)\,\overrightarrow{e_b}_M`$**
+
+* Il est important à ce stade de bien différencier les deux composantes contravariantes que nous noterons $`\Gamma_{12}^{\;b}`$ de $`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2} \right|_{\mathscr{P}_M}`$ qui sont deux nombres réels, des deux composantes vectorielles $`\Gamma_{12}^{\;b}\,\overrightarrow{e_b}`$ :   
+<br>
+$`\displaystyle\overbrace{\left.
+\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\right|_{\mathscr{P}_M}}^{\color{brown}{\large{\mathbf{\in\,\mathscr{P}_M}}}}
+=\sum_{b=1}^{2}\overbrace{\underbrace{\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\cdot\overrightarrow{e_b}_M\right)}_{\color{brown}{\large{\mathbf{=\,\Gamma_{12}^{\;b}\,\in\,\mathbb{R}}}}}\,\overrightarrow{e_b}_M}^{\color{brown}{\large{\mathbf{=\,\Gamma_{12}^{\;b}\,\overrightarrow{e_b}\,\in \,\mathscr{P}_M}}}}`$
+
+* Nous obtenons **de même**,   
+<br>
 $`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^1}\right|_{\mathscr{P}_M}
 =\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^1}\cdot\overrightarrow{e_1}_M\right)\,\overrightarrow{e_1}_M`$
-$`\;+\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^1}\cdot\overrightarrow{e_2}_M\right)\,\overrightarrow{e_2}_M`$
-
+$`\;+\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^1}\cdot\overrightarrow{e_2}_M\right)\,\overrightarrow{e_2}_M`$   
+<br>
 $`\hspace{0,8 cm}=\Gamma_{21}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{21}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M`$
 
-général, en convention d'Einstein, en tout point $`M`$ de $`\mathscr{S}`$ et avec la nouvelle convention vectorielle :
+   ---
+
+   <br>
+      $`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^1}\right|_{\mathscr{P}_M}
+=\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^1}\cdot\overrightarrow{e_1}_M\right)\,\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^1}\cdot\overrightarrow{e_2}_M\right)\,\overrightarrow{e_2}_M`$   
+<br>
+$`\hspace{0,8 cm}=\Gamma_{11}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{11}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M`$
+
+   ---
+   
+   <br>
+     $`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^2}\right|_{\mathscr{P}_M}
+=\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^2}\cdot\overrightarrow{e_1}_M\right)\,\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^2}\cdot\overrightarrow{e_2}_M\right)\,\overrightarrow{e_2}_M`$   
+<br>
+$`\hspace{0,8 cm}=\Gamma_{22}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{22}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M`$
+
+* Ces quatre expressions s'écrivent **de façon plus concise** en posant   
+<br>
+**$`\mathbf{\forall (a,b)\in\{1 , 2\}\times \{1 , 2\}}\;`$**   
+<br>
+*et*
+
+   * *avec un signe somme* :   
+<br>
+**$`\displaystyle\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_a}_M}{\partial x^b}\right|_{\mathscr{P}_M}`$**
+$`\displaystyle\;=\color{blue}{\sum_{c=1}^2}\, \left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_a}_M}{\partial x^b}\cdot\overrightarrow{e_c}_M\right)\,\overrightarrow{e_c}_M`$   
+<br>
+**$`\displaystyle\hspace{0,8cm}=\sum_{c=1}^2\,\Gamma_{ab}^{\;c}\,\overrightarrow{e_c}_M`$**
+
+   * puis *en convention d'Einstein*, en remarquant que l'indice c apparaît deux fois dans le produit de terme de droite :   
+<br>
+**$`\left.\dfrac{\partial \,\overrightarrow{e_a}}{\partial x^b}\right|_{\mathscr{P}_M}`$**
+$`\require{cancel}\displaystyle\;=\color{blue}{\xcancel{\sum_{c=1}^2}}\left(\dfrac{\partial \,\overrightarrow{e_a}}{\partial x^b}
+\cdot\overrightarrow{e_\mathbf{\large\color{blue}{c}}}\right)\,\overrightarrow{e_\mathbf{\large\color{blue}{c}}}`$   
+<br>
+$`\hspace{0,8 cm}=\left(\dfrac{\partial \,\overrightarrow{e_a}}{\partial x^b}
+\cdot\overrightarrow{e_\mathbf{\large\color{blue}{c}}}\right)\,\overrightarrow{e_\mathbf{\large\color{blue}{c}}}`$**$`\;=\Gamma_{ab}^c\,\overrightarrow{e_c}`$**
+
+   * puis avec la nouvelle écriture, les *caractères gras réservés vecteurs* :   
+<br>
+**$`\left.\dfrac{\partial \,\mathbf{e_a}}{\partial x^b}\right|_{\mathscr{P}_M}`$**$`\;=\left(\dfrac{\partial \,\color{blue}{\mathbf{e_a}}}{\partial x^b}
+\cdot\color{blue}{\mathbf{e_c}}\right)\,\color{blue}{\mathbf{e_c}}`$**$`\;=\Gamma_{ab}^{\;c}\,\mathbf{e_c}`$**
+
+   * Et enfin avec l'*écriture réduite de la différentiation partielle* , $`\partial_b\mathbf{e_a}=\dfrac{\partial_\mathbf{e_a}}{\partial b}`$ :    
+<br>
+**$`\left.\partial_b \mathbf{e_a}\right|_{\mathscr{P}_M}`$**$`\;=\left(\color{blue}{\partial_b \mathbf{e_a}}\cdot\mathbf{e_c}\right)\,\mathbf{e_c}`$**$`\;=\Gamma_{ab}^{\;c}\,\mathbf{e_c}`$**
+
+
+
 
-**$`\left.\dfrac{\partial \,\mathbf{e_a}}{\partial x^b}\right|_{\mathscr{P}_M}=\left(\dfrac{\partial \,\mathbf{e_a}}{\partial x^b}
-\cdot\mathbf{e_c}\right)\,\mathbf{e_c}=\Gamma_{ab}^{\;c}\,\mathbf{e_c}`$**
 
 
 
@@ -302,6 +373,8 @@ $`\left.\;+\;\Gamma_{12}^{\;2}\;\overrightarrow{e_2}_M\cdot\overrightarrow{e_1}_
 2 \times
 \left(\Gamma_{12}^{\;1}\;g_{11}\;+\;\Gamma_{12}^{\;2}\;g_{21}\right)}`$**
 
+a priori suffisant pour exprimer indépendamment les gammas, en multipliant de chaque côté par $`g^{11}`$ puis $`g^{21}`$ ?
+
 Première permutation des indices
 
 **$`\mathbf{\dfrac{\partial \,g_{12\,M}}{\partial x^1}}`$**$`\;=\dfrac{\partial \left(\overrightarrow{e_1}_M\cdot\overrightarrow{e_2}_M\right)}{\partial x^1}`$
@@ -358,28 +431,3 @@ $`\mathbf{\;+\;\Gamma_{11}^{\;1}\;g_{12}\;+\;\Gamma_{11}^{\;2}\;g_{22}}`$**
 
 
 
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