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12.temporary_ins/08.grad-div-rot/70.combinaisons-of-operators/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -44,7 +44,7 @@ visible: false
   <br>
   **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le *champ de gradient $`\overrightarrow{grad}\,f`$* qui est un **champ vectoriel**.
 
-#### 3 - définition du laplacien scalaire à partir du gradient
+##### 3 - définition du laplacien scalaire à partir du gradient
 
 * Le **champ de gradient $`\overrightarrow{grad}\,f`$** d'un champ scalaire $`f`$ au moins deux fois dérivable, peut être caractérisé
   *en chacun de ses points* par sa *divergence $`div\,\overrightarrow{grad}\,f`$*.   
@@ -72,7 +72,7 @@ visible: false
 <br>
 **$`\large{\Delta}=div\,\overrightarrow{grad}`$**
 
-#### 3 - Relations entre les propriétés locales d'un champ scalaire et sa propagation
+##### 4 - Relations entre les propriétés locales d'un champ scalaire et sa propagation
 
 * Tout champ scalaire $`f`$ (continue et au moins deux fois dérivable) possède son champ de gradient $`\overrightarrow{f}`$.
 * *Si le gradient de $`\overrightarrow{f}`$ vérifie l'* **équation d'onde** :   
@@ -103,8 +103,39 @@ visible: false
   de coordonnées donné, de même qu'un vecteur à une existence en soit, indépendante de l'expression de ses composantes
   dans un système de coordonnées donné.
 
-* Exprimée en coordonnées cartésiennes, l'équation d'onde s'écrit :   
+* Exprimée en coordonnées cartésiennes,   
+    * Le champ vectoriel s'écrit :   
     <br>
+    $`\overrightarrow{U}=U_x\,\overrightarrow{e_x}+U_y\,\overrightarrow{e_y}+U_z\,\overrightarrow{e_z}`$
+    * et l'équation d'onde se décompose en :   
+    <br>
+    $`\left\{\begin{array}{l}
+    \left(\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial t^2}=0\\
+    \left(\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial t^2}=0\\    
+    \left(\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial t^2}=0   
+    \end{array}\right.`$   
+    <br>
+    Chacune des composantes du champ vérifie l'équation d'onde scalaire.
+
+* L'expression du laplacien vectoriel $`\overrightarrow{\Delta}\,\overrightarrow{U}`$ d'un vecteur $`\overrightarrow{U}`$ est :   
+  <br>
+  $`\overrightarrow{\Delta}=
+   \left(\begin{array}{l}
+    dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial z^2}\\
+    \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\\    
+    \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2   
+    \end{array}\right)`$
+
+<br>
+
+##### Champ vectoriel et opérateurs $`div`$ et $`\overrightarrow{rot}`$
+
+* Un **champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$**, fonction continue et au moins une fois déribale de l'espace,
+  peut être caractérisé *en chacun de ses points* par un *scalaire divergence $`div\,\overrightarrow{U}`$* et
+  un *vecteur rotationnel $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}`$*   
+  <br>
+  
+
   $`\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$   
   <br>
   l'expression du laplacien en coordonnées cartésienne étant :