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Commit 4404c22e authored by Claude Meny's avatar Claude Meny
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    ...@@ -27,11 +27,11 @@ lessons: ...@@ -27,11 +27,11 @@ lessons:
    https://gitlab.m3p2.com/m3p2/courses/blob/master/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/20.reference-frames-coordinate-systems/textbook.es.md https://gitlab.m3p2.com/m3p2/courses/blob/master/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/20.reference-frames-coordinate-systems/textbook.es.md
    --> -->
    #### Coordenadas cilíndricas / Coordonnées cylindriques / Cylindrical coordinates N3 ### Coordenadas cilíndricas / Coordonnées cylindriques / Cylindrical coordinates N3
    ##### Définition des coordonnées et domaines de définition #### Définition des coordonnées et domaines de définition
    * *135* : * *CS300* :
    Cadre de référence : système cartésien de coordonnées $`(O, x, y, z)`$ Cadre de référence : système cartésien de coordonnées $`(O, x, y, z)`$
    ...@@ -39,6 +39,10 @@ Cadre de référence : système cartésien de coordonnées $`(O, x, y, z)`$ ...@@ -39,6 +39,10 @@ Cadre de référence : système cartésien de coordonnées $`(O, x, y, z)`$
    \- **3 axes** nommés **$`Ox , Oy , Oz`$**, se coupant en $`O`$, **orthogonaux 2 à 2**.<br> \- **3 axes** nommés **$`Ox , Oy , Oz`$**, se coupant en $`O`$, **orthogonaux 2 à 2**.<br>
    \- **1 unité de longueur**.<br> \- **1 unité de longueur**.<br>
    ---------------------
    * *CS310* :
    Coordonnées cylindriques $`(\rho , \varphi , z)`$ : Coordonnées cylindriques $`(\rho , \varphi , z)`$ :
    \- Tout point $`M `$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ conduisant au point $`m_{xy}`$, \- Tout point $`M `$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ conduisant au point $`m_{xy}`$,
    ...@@ -51,6 +55,10 @@ le sens de rotation étant tel que le trièdre *$`(Ox , Om_{xy}, Oz)`$* est un * ...@@ -51,6 +55,10 @@ le sens de rotation étant tel que le trièdre *$`(Ox , Om_{xy}, Oz)`$* est un *
    **$`\rho_M=\overline{Om_{xy}}`$ , $`\varphi_M=\widehat{xOm_y}`$ , $`z_M=Om_z`$** **$`\rho_M=\overline{Om_{xy}}`$ , $`\varphi_M=\widehat{xOm_y}`$ , $`z_M=Om_z`$**
    --------------------
    * *CS320*
    ! *Remarque :* Les deux premières coordonnées cylindriques d'un point $`M`$ sont les coordonnées polaires du point $`m_{xy}`$ dans le plan $`xOy`$ (plan $`z=0`$). Ce sont aussi les coordonnées polaires du point $`M`$ dans le plan $`z=z_M`$. ! *Remarque :* Les deux premières coordonnées cylindriques d'un point $`M`$ sont les coordonnées polaires du point $`m_{xy}`$ dans le plan $`xOy`$ (plan $`z=0`$). Ce sont aussi les coordonnées polaires du point $`M`$ dans le plan $`z=z_M`$.
    \- Les coordonnées **$`\rho`$ **et **$`z`$** sont des *longueurs*, dont l'*unité S.I.* est le mètre, de symbole *$`m`$*.<br> \- Les coordonnées **$`\rho`$ **et **$`z`$** sont des *longueurs*, dont l'*unité S.I.* est le mètre, de symbole *$`m`$*.<br>
    ...@@ -58,6 +66,10 @@ le sens de rotation étant tel que le trièdre *$`(Ox , Om_{xy}, Oz)`$* est un * ...@@ -58,6 +66,10 @@ le sens de rotation étant tel que le trièdre *$`(Ox , Om_{xy}, Oz)`$* est un *
    **Unités S.I. : $`\rho\;(m)`$ , $`\varphi\;(rad)`$ , $`z\;(m)`$** **Unités S.I. : $`\rho\;(m)`$ , $`\varphi\;(rad)`$ , $`z\;(m)`$**
    --------------------
    * *CS330*
    \- Tout point $`M`$ de l'espace, excepté le point origine $`O`$, est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cylindriques.<br> \- Tout point $`M`$ de l'espace, excepté le point origine $`O`$, est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cylindriques.<br>
    \- Au point origine $`O`$ est attribué les coordonnées cylindriques $`(0 , 0 , 0)`$. \- Au point origine $`O`$ est attribué les coordonnées cylindriques $`(0 , 0 , 0)`$.
    ...@@ -67,11 +79,22 @@ le sens de rotation étant tel que le trièdre *$`(Ox , Om_{xy}, Oz)`$* est un * ...@@ -67,11 +79,22 @@ le sens de rotation étant tel que le trièdre *$`(Ox , Om_{xy}, Oz)`$* est un *
    $`M(\rho , \varphi , z)`$, **$`\mathbf{M(\rho , \varphi , z)}`$** $`M(\rho , \varphi , z)`$, **$`\mathbf{M(\rho , \varphi , z)}`$**
    \- **Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cylindriques variant indépendamment dans les domaines $`\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[ `$ , $`\varphi\in[0,2\pi[`$ et $`z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[ `$. ------------------
    * *CS340*
    \- **Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cylindriques variant indépendamment
    dans les domaines $`\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[ `$ ,
    $`\varphi\in[0,2\pi[`$ et $`z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[`$.
    **$`\mathbf{ \rho\in\mathbb{R_+^{&ast;}}=[0 ,+\infty[} `$ , $`\mathbf{ \varphi\in[0,2\pi[ }`$ , $`\mathbf{ z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty[ } `$** **$`\mathbf{\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[}`$ , $`\mathbf{ \varphi\in[0,2\pi[ }`$ , $`\mathbf{ z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty[ } `$**
    ! <details markdown=1>
    --------------
    * *CS350*
    !<details markdown=1>
    ! <summary> ! <summary>
    ! Notations sur les ensembles de nombres réels ! Notations sur les ensembles de nombres réels
    ! </summary> ! </summary>
    ...@@ -131,11 +154,11 @@ Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelcon ...@@ -131,11 +154,11 @@ Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelcon
    $`M(\rho, \varphi, z)`$ , **$`\mathbf{M(\rho, \varphi, z)}`$** --> $`M(\rho, \varphi, z)`$ , **$`\mathbf{M(\rho, \varphi, z)}`$** -->
    ##### Base vectorielle et repère de l'espace associés #### Base vectorielle et repère de l'espace associés
    <br>__*Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée*__ ##### Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée
    * *145* : * *CS360*
    [ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ varía [ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ varía
    continuamente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+\Delta \rho`$, el punto $`M`$ recorre un segmento continuamente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+\Delta \rho`$, el punto $`M`$ recorre un segmento
    ...@@ -178,8 +201,9 @@ towards $`0`$, the infinitesimal length $`dl_{\varphi}`$ covered by the point $` ...@@ -178,8 +201,9 @@ towards $`0`$, the infinitesimal length $`dl_{\varphi}`$ covered by the point $`
    $`\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi`$ $`\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi`$
    $`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi`$ , , **$`\mathbf{dl_{\varphi}=\rho\,d\varphi}`$**. $`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi`$ , , **$`\mathbf{dl_{\varphi}=\rho\,d\varphi}`$**.
    ------------
    * *140* : * *CS370* :
    [ES] elemento escalar de línea :<br> [ES] elemento escalar de línea :<br>
    [FR] élément scalaire de longueur :<br> [FR] élément scalaire de longueur :<br>
    ...@@ -187,30 +211,30 @@ $`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi`$ , , **$`\mathbf{dl_{\varp ...@@ -187,30 +211,30 @@ $`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi`$ , , **$`\mathbf{dl_{\varp
    <br>$`dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}`$ , **$`\mathbf{dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}}`$** <br>$`dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}`$ , **$`\mathbf{dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}}`$**
    ##### Base vectorielle et repère de l'espace associés #### Base vectorielle et repère de l'espace associés
    * *150* : * *CS380*
    [ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ aumenta [ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ aumenta
    infinitesimalmente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) infinitesimalmente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$)
    para llegar al punto $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, el vector de desplazamiento para llegar al punto $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, el vector de desplazamiento
    $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ del punto $`M`$ es el vector $`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ del punto $`M`$ es el vector
    tangente a la trayectoria en el punto $`M`$, dirigido en la dirección del movimiento, tangente a la trayectoria en el punto $`M`$, dirigido en la dirección del movimiento,
    que se escribe : que se escribe :
    [FR] Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ s'accroît de façon [FR] Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ s'accroît de façon
    infinitésimale entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) infinitésimale entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$)
    pour atteindre le point $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, le vecteur déplacement pour atteindre le point $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, le vecteur déplacement
    $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ du point $`M`$ est le vecteur $`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ du point $`M`$ est le vecteur
    tangent à la trajectoire au point $`M`$, dirigé dans le sens du mouvement, qui s'écrit : tangent à la trajectoire au point $`M`$, dirigé dans le sens du mouvement, qui s'écrit :
    [EN] When only the $`\rho`$ coordinate of a point $`M(x,y,z)`$ increases infinitesimally between [EN] When only the $`\rho`$ coordinate of a point $`M(x,y,z)`$ increases infinitesimally between
    the values $`\rho`$ and $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) to reach the point the values $`\rho`$ and $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) to reach the point
    $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, the displacement vector $`M'(\rho+\Delta\rho, \varphi, z)`$, the displacement vector
    $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ of the point $`M`$ is the $`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ of the point $`M`$ is the
    tangent vector to the trajectory at point $`M`$ oriented in the direction of the movement. It writes : tangent vector to the trajectory at point $`M`$ oriented in the direction of the movement. It writes :
    $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot d\rho`$ $`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot d\rho`$
    [ES] El vector unitario tangente a la trayectoria $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (que indica la dirección y el sentido [ES] El vector unitario tangente a la trayectoria $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (que indica la dirección y el sentido
    de desplazamiento del punto $`M`$ cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada $`\rho`$ se escribe: de desplazamiento del punto $`M`$ cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada $`\rho`$ se escribe:
    ...@@ -225,48 +249,50 @@ $`\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}}{||\partia ...@@ -225,48 +249,50 @@ $`\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}}{||\partia
    tambien / de même / similarly : tambien / de même / similarly :
    $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \varphi}\cdot d\varphi`$, $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \varphi}\cdot d\varphi`$,
    $`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}||}`$<br> $`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}||}`$<br>
    $`\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$, $`d\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$,
    $`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$ $`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$
    --------------------
    * *155* : * *CS390*
    [ES] La norma del vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ [ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
    es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
    se escribe : se escribe :
    [FR] La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ [FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
    est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ s'écrit : est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ s'écrit :
    [EN] the norm (or length) of the vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ [EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
    is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ writes : is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ writes :
    $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}} $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}
    =d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}}`$** =d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}=d\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
    tambien / de même / similarly : tambien / de même / similarly :
    $`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ , $`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ ,
    **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}}`$** **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}}`$**
    [ES] La norma del vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ [ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
    es el elemento escalar de linea $`dl_{\varphi}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ es el elemento escalar de linea $`dl_{\varphi}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
    se escribe : se escribe :
    [FR] La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ [FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
    est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit : est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit :
    [EN] the norm (or length) of the vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$ [EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$
    is the scalar line element $`dl_{\varphi}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ writes : is the scalar line element $`dl_{\varphi}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ writes :
    $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}} $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}
    =\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ , =\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ ,
    **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\varphi}}=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$** **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\varphi}}=\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
    -------------------------
    * *160* : * *CS400*
    [ES] El **elemento vectorial de línea** o ?? $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en coordenadas cilíndricas es [ES] El **elemento vectorial de línea** o ?? $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en coordenadas cilíndricas es
    el vector de desplazamiento del punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ al punto $`M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)`$ cuando el vector de desplazamiento del punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ al punto $`M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)`$ cuando
    ...@@ -284,7 +310,7 @@ $`d\rho`$, $`d\varphi`$ and $`dz`$, ...@@ -284,7 +310,7 @@ $`d\rho`$, $`d\varphi`$ and $`dz`$,
    and it writes : and it writes :
    $`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$ $`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$
    $`=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}+\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}+\partial\overrightarrow{OM}_z`$ $`=d\overrightarrow{OM}_{\rho}+d\overrightarrow{OM}_{\varphi}+d\overrightarrow{OM}_z`$
    $`=\overrightarrow{dl_{\rho}}+\overrightarrow{dl_{\varphi}}+\overrightarrow{dl_z}`$ $`=\overrightarrow{dl_{\rho}}+\overrightarrow{dl_{\varphi}}+\overrightarrow{dl_z}`$
    $`=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$ $`=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$
    $`=d\rho\;\overrightarrow{e_x}+\rho\;d\varphi\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$ $`=d\rho\;\overrightarrow{e_x}+\rho\;d\varphi\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$
    ...@@ -312,8 +338,9 @@ $`\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right] ...@@ -312,8 +338,9 @@ $`\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right]
    $`=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}`$ $`=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}`$
    $`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$ $`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$
    -------------------------------
    * *165* : * *CS410*
    [ES] Los vectores $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ [ES] Los vectores $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$
    forman una **base ortonormal** del espacio. La base forman una **base ortonormal** del espacio. La base
    ...@@ -343,15 +370,17 @@ de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$. ...@@ -343,15 +370,17 @@ de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$.
    ##### Vecteur déplacement élémentaire ##### Vecteur déplacement élémentaire
    * *170* : * *CS420*
    $`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l} $`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l}
    \overrightarrow{e_{\rho}} = \overrightarrow{e_{\rho}}(t) \\ \overrightarrow{e_{\rho}} = \overrightarrow{e_{\rho}}(t) \\
    \overrightarrow{e_{\varphi}} = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\ \overrightarrow{e_{\varphi}} = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\
    \overrightarrow{e_z} = \overrightarrow{cst} \\ \overrightarrow{e_z} = \overrightarrow{cst} \\
    \end{array} \right.`$<br> \end{array} \right.`$
    -----------------------
    * *175* : * *CS430*
    Método 1 para el cálculo de / Méthode 1 pour le calcul de / Method 1 for the calculation of :<br> Método 1 para el cálculo de / Méthode 1 pour le calcul de / Method 1 for the calculation of :<br>
    $`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$. $`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$.
    ...@@ -437,8 +466,9 @@ $`\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\ov ...@@ -437,8 +466,9 @@ $`\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\ov
    **$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$**<br> **$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$**<br>
    --------------------
    * *180* : * *CS440*
    Método 2 para el cálculo de / Méthode 2 pour le calcul de / Method 2 for the calculation of :<br> Método 2 para el cálculo de / Méthode 2 pour le calcul de / Method 2 for the calculation of :<br>
    $`\dfrac{d e_{\rho}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ $`\dfrac{d e_{\rho}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$
    ...@@ -510,8 +540,9 @@ $`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot ...@@ -510,8 +540,9 @@ $`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt} \cdot
    $`\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=\overrightarrow{0}`$ $`\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=\overrightarrow{0}`$
    ---------------------
    * *182* : * *CS450*
    [ES] En la mecánica clásica, las interacciones entre cuerpos materiales se traducen en términos de fuerza $`\vec{F}`$ y conducen a una aceleración $`\vec{a}`$ de cada cuerpo en interacción proporcional a la inversa de su masa de inercia $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (o $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , ver capítulo mecánico). Como el vector de aceleración es la segunda derivada temporal del vector de posición, es posible que necesitemos conocer la segunda derivada temporal de los vectores base para el estudio del movimiento. [ES] En la mecánica clásica, las interacciones entre cuerpos materiales se traducen en términos de fuerza $`\vec{F}`$ y conducen a una aceleración $`\vec{a}`$ de cada cuerpo en interacción proporcional a la inversa de su masa de inercia $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (o $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , ver capítulo mecánico). Como el vector de aceleración es la segunda derivada temporal del vector de posición, es posible que necesitemos conocer la segunda derivada temporal de los vectores base para el estudio del movimiento.
    ...@@ -551,54 +582,55 @@ $`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2} \quad = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\ ...@@ -551,54 +582,55 @@ $`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2} \quad = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\
    **$`\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2}=\overrightarrow{0}}`$** **$`\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_z}}{dt^2}=\overrightarrow{0}}`$**
    ---------------------
    * *CS460*
    * *185* : [ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
    [ES] La norma del vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
    es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ es el elemento escalar de linea $`dl_{\rho}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$
    se escribe : se escribe :
    [FR] La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ [FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
    est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ s'écrit : est l'élément de longueur $`dl_{\rho}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ s'écrit :
    [EN] the norm (or length) of the vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ [EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
    is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ writes : is the scalar line element $`dl_{\rho}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ writes :
    $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}} $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}=dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}}
    =\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$ =\rho\;\overrightarrow{e_{\rho}}`$
    tambien / de même / similarly : tambien / de même / similarly :
    $`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ $`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$
    [ES] La norma del vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ [ES] La norma del vector $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
    es el elemento escalar de linea $`dl_{\varphi}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ es el elemento escalar de linea $`dl_{\varphi}`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
    se escribe : se escribe :
    [FR] La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ [FR] La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
    est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit : est l'élément de longueur $`dl_{\varphi}`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ s'écrit :
    [EN] the norm (or length) of the vector $`\partial\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$ [EN] the norm (or length) of the vector $`d\overrightarrow{OM}_{varphi}=\overrightarrow{dl_{varphi}}`$
    is the scalar line element $`dl_{\varphi}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ writes : is the scalar line element $`dl_{\varphi}`$, so the vector $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ writes :
    $`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}} $`d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}=dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}}
    =\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ =\rho\,d\varphi\;\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
    ------------------
    * *190* : * *CS470*
    [ES] Los 3 vectores $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$, [ES] Los 3 vectores $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
    $`\quad\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ y $`\quad d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ y
    $`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ son 2 a 2 ortogonales. $`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ son 2 a 2 ortogonales.
    [FR] Les 3 vecteurs $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$, [FR] Les 3 vecteurs $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
    $`\quad\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ et $`\quad d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ et
    $`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2. $`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2.
    [EN] The 3 vectors $`\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$, [EN] The 3 vectors $`d\overrightarrow{OM}_{\rho}=\overrightarrow{dl_{\rho}}\quad`$,
    $`\quad\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ and $`\quad d\overrightarrow{OM}_{\varphi}=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\quad`$ and
    $`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ are 2 to 2 orthogonal. $`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ are 2 to 2 orthogonal.
    $`\Longrightarrow`$ : $`\Longrightarrow`$ :
    ...@@ -614,9 +646,9 @@ n'est le produit de leurs normes. ...@@ -614,9 +646,9 @@ n'est le produit de leurs normes.
    the product of their norms. And the volume defined by these 3 vectors is not the product the product of their norms. And the volume defined by these 3 vectors is not the product
    of their norms. of their norms.
    --------------------------
    * *CS480*
    * *195* :
    http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-06. http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-06.
    ...@@ -632,17 +664,17 @@ http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-07.<br> ...@@ -632,17 +664,17 @@ http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-07.<br>
    [EN] and the corresponding **vector surface elements $`\overrightarrow{dA}`$** are : [EN] and the corresponding **vector surface elements $`\overrightarrow{dA}`$** are :
    $`d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}\land\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}`$ $`d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=d\overrightarrow{OM}_{\rho}\land d\overrightarrow{OM}_{\varphi}`$
    $`=\overrightarrow{dl_{\rho}}\land\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$ $`=\overrightarrow{dl_{\rho}}\land\overrightarrow{dl_{\varphi}}`$
    $`= (dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})\land(dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ $`= (dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})\land(dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})`$
    $`=dl_{\rho}\;dl_{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ $`=dl_{\rho}\;dl_{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$
    $`=d\rho\;\rho\,d{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$<br> $`=d\rho\;\rho\,d{\varphi}\;(\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}})`$<br>
    <br>$`d\overrightarrow{A_{\varphi z}}=\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$ <br>$`d\overrightarrow{A_{\varphi z}}=d\overrightarrow{OM}_{\varphi}\land d\overrightarrow{OM}_z`$
    $`=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\land\overrightarrow{dl_z}`$ $`=\overrightarrow{dl_{\varphi}}\land\overrightarrow{dl_z}`$
    $`= (dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})\land (dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ $`= (dl_{\varphi}\;\overrightarrow{e_{\varphi}})\land (dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$
    $`=dl_{\varphi}\;dl_z\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$ $`=dl_{\varphi}\;dl_z\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$
    $`=\rho\,d\varphi\;dz\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$<br> $`=\rho\,d\varphi\;dz\;(\overrightarrow{e_{\varphi}}\land\overrightarrow{e_z})`$<br>
    <br>$`d\overrightarrow{A_{z \rho}}=\partial\overrightarrow{OM}_z\land\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ <br>$`d\overrightarrow{A_{z \rho}}=d\overrightarrow{OM}_z\land d\overrightarrow{OM}_{\rho}`$
    $`=\overrightarrow{dl_z}\land\overrightarrow{dl_{\rho}}`$ $`=\overrightarrow{dl_z}\land\overrightarrow{dl_{\rho}}`$
    $`=(dl_z\;\overrightarrow{e_z})\land(dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})`$ $`=(dl_z\;\overrightarrow{e_z})\land(dl_{\rho}\;\overrightarrow{e_{\rho}})`$
    $`=dl_z\;dl_{\rho}\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})`$. $`=dl_z\;dl_{\rho}\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})`$.
    ......
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