Soit une *distribution de charges maintenues immobiles* dans l'espace décrite par une densité de charge $`\dens`$.
Le **Théorème de Gauss intégral** démontre que le flux $`\Phi_E`$ du vecteur champ électrique à travers toute *surface fermée $`S`$* de l'espace est égal à la *charge totale $`Q_{int}`$ contenue à l'intérieur de $`S`$* divisée par la constante diélectrique $`\epsilon_0`$.<br>
**Le théorème de Gauss intégral s'applique** quelque soit le niveau de modélisation et d'approximation des distributions de charge :
* avec une *densité volumique de charge $`\dens^{3D}`$*.
mais aussi
* avec une *densité surfacique de charge $`\dens^{2D}`$*, lorsque les charges sont réparties en surface sur une profondeur que la modélisation 2D néglige.
* avec une *densité linéïque de charge $`\dens^{1D}`$*, lorsque les charges sont réparties sur une ligne dont la modélisation 1D néglige la section droite.
!!! *Terminologie* : une section droite est une section perpendiculaire à la direction longitudinale.
C'est d'ailleurs ce théorème de Gauss intégral qui **démontre les discontinuités du champ électrostatique***à la traversée d'une surface chargée* à cette étape contrefort, et que seront démontrés les discontinuités des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{D}`$ à l'étape suivante de montagne, en électromagnétisme dans le vide et dans la matière.
Ces **résultats concernant la discontinuité** du champ électrostatique à la traversée d'une surface chargée sont *nécessaires si le théorème de Gauss local est utilisé* pour calculer le champ $`\overrightarrow{E}`$ en tout point de l'espace *avec modélisation 2D* de la distribution de charge.
!! *Pour aller plus loin* :
!! *Théorème de Gauss intégral et réflexion/transmission des ondes électromagnétiques*.
!!
!! Lorsque lors de sa propagation *une onde électromagnétique $`(\overrightarrow{E}, \overrightarrow{B})`$ rencontre une surface* séparant deux milieux différents (entre deux milieux matériels comme des conducteurs, des isolants, ou entre le vide et un milieu matériel), *une partie de l'onde est réfléchie et l'autre est transmise*.
!!
!! *Les relations de Fresnel précisent les propriétés des ondes réflechies et transmises* (amplitude, déphasage, polarisation, direction) . Elles permettent de retrouver en les relations Snell-Descartes $`(n_1\,\sin\, i_1=n_2\,\sin\, i_2)`$ et de la réflexion $`(i_1 = i_2)`$ de l'optique géométrique, tout en révélant toute une réalité hors d'atteinte de l'optique géométrique (polarisation des ondes, part de l'énergie réflechie et part de l'énergie transmise, ...).
!!
!! Les propriétés de conduction de l'électricité, de polarisation et d'aimantation des milieux matériels nécessite l'usage de deux nouveaux champs, champ d'induction électrique $`\overrightarrow{D}`$ et champ d'excitation magnétique $`\overrightarrow{H}`$ en comp^lément des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$.
!!
!! Le *théorème de Gauss intégral*, dans sa forme et sa notation présente et appliqué à certains de ces champs, *intervient directement dans l'établissement des relations de Fresnel*.
#### 2° étape : Choix de la surface de Gauss et calcul du flux
Le théorème de Gauss permet de calculer le champ électrique en un point $`M`$ quelconque, donc en tout point $`M`$ de l'espace.
À cette étape 2, l'intérêt se porte sur le *premier terme du théorème de Gauss*. Il s'agit d'**identifier la surface de Gauss** $`\mathcal{S}_G`$ puis de **calculer le flux** de $`\overrightarrow{E}`$ à travers cette surface.
D'une façon générale, la **surface de Gauss** sera :
* un **prisme droit à base quelconque**, contenant le point $`M`$ pour une *distribution de charge
présentant un plan de symétrie ou d'antisymétrie*.
* une **sphère** contenant le point $`M`$ pour une *distribution de charge à symétrie sphérique*.
* un **cylindre** contenant le point $`M`$^pour une *distribution de charge à symétrie cylindrique*.
##### Éléments physiques conduisant à ces choix.
Si le théorème de Gauss est vraie quelque-soit la surface fermée considérée, aussi complexe soit-elle, il ne peux nous aider à calculer le champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ dans tout l'espace que si chacun de ses termes est facile à calculer.
C'est l'**expression du champ électrique**, réduite par l'étude des symétries et invariances qui *permet de déterminer la surface de Gauss* adaptée.
Supposons que *dans un repère de l'espace
$`(O, \overrightarrow{e_{\alpha}},\overrightarrow{e_{\beta}},\overrightarrow{e_{\gamma}})`$*, les symétries et invariances nous indiquent que le champ électrique est de la forme **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\beta}\,(\beta)\,\overrightarrow{e_{\beta}}}`$**.
Le calcul du flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers la surface fermée de Gauss $`\mathcal{S}_fi`$ nécessite de calculer en chacun de ses éléments de surface $`dS`$ constitutifs le produits scalaire $`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$.
Une **surface de Gauss adapté** sera donc une surface de Gauss dont *les éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$ vérifient* :
**$`\mathbf{\overrightarrow{dS}\parallel\overrightarrow{E}}`$*, car alors le produit scalaire se résumera au simple produit des composantes selon $`\beta`$ de chacun de ces vecteurs exprimés avec le même vecteur de base.
Si $`\overrightarrow{E}=E_{\beta}(\beta)\;\overrightarrow{e_{\beta}}`$ renoté $`\overrightarrow{E}=E\;\overrightarrow{e_{\beta}}`$ et si $`\overrightarrow{dS}=dS\;\overrightarrow{e_{\beta}}`$, alors :
!!!! *Ne pas confondre composante et amplitude* de $`\overrightarrow{E}`$.
!!!! *Faire attention aux signes*.
!!!!
!!!! Lorsque nous écrivons d'un vecteur $`\overrightarrow{U}=U\;\overrightarrow{e_U}`$ , avec $`\overrightarrow{e_U}=\dfrac{\overrightarrow{U}}{\lVert \overrightarrow{U} \rVert}`$,
!!!! $`U`$ est ici la composante de $`\overrightarrow{U}`$.
!!!! * la *composante $`U`$* peut être *positive ou négative*.
!!!! * l'*amplitude ou norme $`\lVert \overrightarrow{U} \rVert`$* est *toujours positive*.
!!!!
!!!! L'étude des *symétries et invariances* d'une distribution de charge ne donne que la direction, mais elle *n'indique pas le sens* de $`\overrightarrow{E}`$,.
!!!!
!!!! En physique : *1 direction = 2 sens possibles*
!!!!
!!!! Le* sens de $`\overrightarrow{E}`$* peut être *déduit intuitivement* de l'observation de la distribution de charge. En tout point de l'espace :
!!!! * $`\overrightarrow{E}`$ pointe en direction opposé à la direction d'une charge positive.
!!!! * $`\overrightarrow{E}`$ pointe dans la direction d'une charge négative.
!!!!
!!!! Le *théorème de Gauss* permet de calculer $`\overrightarrow{E}`$, et par conséquent *détermine aussi le sens* de $`\overrightarrow{E}`$. Pour cela il faut précisément *respecter les signes* :
!!!! * signe $`+`$ ou $`-`$ devant une composante (dont la valeur, déterminée par la suite, pourra elle-même être positive ou négative).
!!!! * signes $`+`$ ou $`-`$ des charges dans la distribution.
!!!!
!!!! *Les erreurs de signe*, par omission ou par négligence, *sont des erreurs fréquentes*.
Par ailleurs le **théorème de Gauss** est une **équation unique** qui, une fois le produit scalaire $`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$ réalisé sur chaque $`dS`$, relie la composante $`E=E_{\beta}(\beta)`$ à une charge. Il *ne doit donc y avoir qu'une seule inconnue*, $`E=E_{\beta}(\beta)`$ dans l'exemple considéré.
Reprenons l'exemple considéré où le champ électrique s'écrit $`\overrightarrow{E}=E_{\beta}\,(\beta)\,\overrightarrow{e_{\beta}}`$. Utilisons le théorème de Gauss pour déterminer le champ en un point $`M`$ quelconque de coordonnées $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$ avec l'indice $`_M`$ ici précisé pour la démonstration. La surface de Gauss doit nécessairement contenir le point $`M`$, donc l'un de ses éléments de surface doit avoir pour coordonnées $`dS=dS(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.
Choisissons une surface fermée de Gauss dont en chacun de ses points de coordonnées $`(\alpha, \beta, \gamma)`$ les éléments de surface $`dS=dS(\alpha, \beta, \gamma)`$ qui vérifient $`\overrightarrow{dS}\parallel\overrightarrow{E}`$ se classent en deux catégories :
* $`dS=dS(\alpha, \beta_M, \gamma)`$ avec $`\beta_M`$ coordonnée $`\beta`$ du point $`M`$.
* $`dS=dS(\alpha, \beta_0, \gamma)`$ avec $`\beta_0\ne\beta_M`$.
Les flux élémentaires $`\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$ en chaque point de la surface de Gauss se classeront aussi en deux catégories, à savoir :
Le champ électrique étant inconnu (c'est l'objectif du théorème de Gauss de le calculer), il apparaîtrait deux inconnues de champ dans le calcul du flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers la surface de Gauss $`\mathcal{S}_G`$ :
* inconnue 1 : $`E_{\beta}(\beta_M)`$.
* inconnue 2 : $`E_{\beta}(\beta_0)`$.
Au final, l'équation unique composant le théorème de Gauss ne permettrait pas alors de calculer $`\overrightarrow{E}`$.
Le *calcul du champ électrique $`\mathbf{\overrightarrow{E_M}}`$ en un point $`\mathbf{M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)}`$
quelconque* utilise le théorème de Gauss.
**Si $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ ne dépend que d'une coordonnée $`\mathbf{\beta}`$**,
alors *sur les $`\mathbf{dS \text{ tels que }\overrightarrow{dS}\parallel\overrightarrow{E}}`$*
de la surface de Gauss le produit scalaire **$`\mathbf{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}`$
doit pouvoir s'exprimer en fonction de $`\mathbf{E\,(\beta_M)}`$**, *seule inconnue de l'équation de Gauss*.
! *Note* :
! Cette remarque est indispensable pour le calcul de $`\overrightarrow{E}`$
! créé par un plan infini chargé uniformément en surface.
!
! Il faudra alors considérer un élément de symétrie supplémentaire par rapport à
! l'étude d'une distribution de charge à symétrie cylindrique ou sphérique.
#### 3° étape : Calcul de la charge dans le volume de Gauss, et calcul de $`\overrightarrow{E}`$
Cette étape consiste dans le *deuxième terme du théorème de Gauss* à **identifer et calculer la charge totale** contenue à l'intérieur de la surface de Gauss.
En genéral, il n'y a pas de fonction mathématique décrivant la densité volumique de charge ϱ3D dans tout l'espace.
#### 4° étape, finale : Calcul de $`\overrightarrow{E}`$
Cette étape consiste à **réaliser l'égalité** entre le *premier terme de champ* et le *deuxième terme de charge* du théorème de Gauss, pour en **déduire l'expression du champ électrique $`\overrightarrow{E}`$**.
<br>
*ÉTAPE FINALE :**$`\large\Loiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}`$*
