Update annex.fr.md

12.temporary_ins/96.electromagnetism-in-media/20.reflexion-refraction-at-interfaces/20.metallic-waveguides/30.beyond/annex.fr.md

@@ -5,307 +5,13 @@ routable: false
 visible: false
 ----
 
-#### Chapter 4
+#### Chapter 4 : Metallic waveguides
 
-### Exercices solved during
-tutorials
+### Exercices solved during tutorials
 
 <br>
 
-chap2 Exercice 1: Parallel-Plate Capacitor with a dielectric
 
-Consider first an ideal parallel-plate capacitor made of two metallic
-plates of surface *S* and separated by a distance *L*, as shown in
-figure [4.7,](#_bookmark87) left. The top plate has a positive surface
-charge while the bottom plate a negative one both with a density *σ*.
-The surface *S* is sufficiently large and the distance *L*
-sufficiently small that we can make the approximation of infinte
-plates.
-
-1.  By applying Gauss theorem to the surface *S*, show that the electric
-    field is inside the capacitor is given by *E\_*0 = *σ/E*~0~.
-
-2.  Let's suppose now that a linear homogeneous and isotropic perfect
-    di- electric slab of thickness *d*~2~ and relative permittivity
-    *E~r~* is inserted in between the parallel plates. Show that in the
-    region occupied by the di- electric, "region 2", the total electric
-    field is *E\_* = *[σ]{.underline} [σp]{.underline}* , where *σ* is
-    the polarisation charge density appearing on the interfaces of the
-    dielectric.
-
-3.  Use the boundary condition for the dielectric displacement vector
-    $`\overrightarrow{D}`$ and its constitutive relation to show that the total electric
-    field in region 2
-
-is *σ*
-
-*E* =
-
-*E*~0~*E~r~*
-
-(4.15)
->
-and then that the surface density of the polarisation charges *σ~p~*
-appear- ing on the dielectric is
->
-*σ* = *P* = *σ* 1 − [1]{.underline} *.* (4.16)
-
-4.  The capacitance *C* is defined as the ratio between the charges on
-    the capacitor plates to the capacitor potential difference. Show
-    that due to the presence of the dielectric, the capacitance is given
-    by
-
-*σS*
-
-*C* ∆*φ*
-
-*Sε*~0~
->
-((*L* − *d* ) + *d*2 l
->
-(4.17)
->
-2 *Er*
-
-81
-
-where ∆*φ* is the potential difference of the capacitor.
-
-5.  Simplify the expression for the capacitance when the dielectric
-    occupies the entire space between the parallel plate. What
-    conclusions can we draw on the effect of a dielectric inside a
-    capacitor? (Consider that typical values of *E~r~* for materials
-    used in capacitors are: *E~r~*=2.1 for PTFE, *E~r~*=2.4 for
-    polystyrene, *E~r~*=500 for barium strontium titanate).
-
-![](media/image238.png){width="3.8531244531933506in"
-height="2.3428116797900262in"}
-
-Figure 4.7: []{#_bookmark87 .anchor}Left: Capacitor without
-dielectric. The red arrows represents the electric field *E*~0~. The
-cylinder is taken as the Gauss's surface to calculate the electric
-field. *S* is the surface of the cylinder base. Right: A dielectric of
-thickness *d*~2~ is inserted. The total electric filed inside the
-dielectric is the sum of the electric field due to the charges *σ*
-(red arrows) plus the electric field generated by the polarisation
-charges *σ~p~* (blue arrows).
-
-chap2 Exercice 2: The solar sail
-
-Une voile solaire est un dispositif de propulsion qui utilise la
-pression de ra- diation ´electromagn´etique ´emise par le soleil pour
-se d´eplacer dans l'espace. La pression de radiation est tr\`es faible
-mais comme dans l'espace il n'y a pratiquement aucune r´esistance, la
-vitesse ne fait qu'augmenter et peut at- tendre des valeurs tr\`es
-grandes. La voile solaire est propuls´ee par la pression produite par
-les photons qui viennent la percuter. On peut aussi donner une
-description du ph´enom\`ene en utilisant la physique ondulatoire pour
-´evaluer la pression exerc´ee par la radiation.
->
-Pour cela, on suppose que la voile est r´ealis´ee dans un conducteur
-(par exem- ple une feuille m´etallique) d'indice de refraction complex
-*n~c~* = *n*^t^*c* + *inc*tt. On consid\`ere que la radiation est
-constitu´e par une onde plane monochromatique,
->
-de pulsation *ω* et de vecteur d'onde *\_k~i~* = *k_e~z~* (*z \>* 0),
-se propageante dans le vide et faisant une incidence normale avec le
-conducteur. On supposera que le conducteur occupe le demi espace *z
-\>* 0.
-
-1.  Donner l'expression du champ ´electrique et magn´etique transmis en
-    fonc- tion du coefficient de transmission *t*.
-
-2.  Calculer la moyenne temporelle de la densit´e de force (force par
-    unit´e de volume) que le champ ´electromagn´etique transmis exerce
-    sur le charges du conducteur.
-
-3.  A\` partir du r´esultat pr´ec´edent d´eterminer la moyenne
-    temporelle de la
-
-pression *\< P_rad \>* que la radiation ´electromagn´etique exerce sur
-les
->
-charges du conducteur.
-
-4.  Montrer que dans l'approximation d'un tr\`es bon conducteur, la
-    moyenne
-
-temporelle de la pression de radiation peut s'´ecrire *\< P_rad*
->
-*\>*= 2 *[\<S\--i>]{.underline}*
->
-ou\` *\< S_i \>* est la moyenne temporelle du vecteur de Poynting de
-l'onde incidente et *c* la vitesse de la lumi\`ere dans le vide.
-
-5.  La radiation solaire proche de la terre est d'environ 1370 W/m2. Si
-    la voile solaire a une surface de 30 m2 et une masse de 10 kg,
-    calculer l'acceleration maximale que la voile peut atteindre proche
-    de la terre. Si on suppose que cette acceleration peut ˆetre
-    maintenue pendant une ann´ee, calculer la vitesse que la voile
-    pourrait attendre.
-
-6.  Si l'on souhaite faire l´eviter une pi\`ece d'un Euro (masse 7.5 g
-    et diam\`etre 23.25 mm et soumis \`a la force gravitationnelle sur
-    Terre) suppos´e par- faitement r´efl´echissante \`a l'aide d'un
-    laser, quelle puissance devrions nous utiliser ?
-
-chap2 Exercices 3 : Propagation d'une OPPM dans un M.L.H.I.
-
-Dans cette s´erie d'exercices, on se propose d'´etudier les
-caract´eristiques d'une
->
-onde ´electromagn´etique *E\_* = *E\_*0 exp*i*(*\--k*·*\--r*−*ωt*)
-plane, sinuso¨ıdale, polaris´ee rec-
->
-tilignement qui se propage dans un M.L.H.I., lorsque l'on augmente la
-pulsa- tion *ω*. Les caract´eristiques de l'onde seront d´eduites de
-l'´equation de disper- sion du milieu.
->
-![](media/image239.jpeg){width="2.5549989063867016in"
-height="1.9949989063867017in"}
->
-Figure 4.8: La voile solaire Cosmos 1.
->
-https://fr.wikipedia.org/wiki/Cosmos 1
-
-![](media/image240.jpeg){width="1.850624453193351in"
-height="2.334374453193351in"}
-
-Figure 4.9: *Sch´ema de principe du d´eplacement des charges dans la
-ionosph\`ere.*
-
-chap4 Le plasma et la pulsation de plasma
-
-Dans un premier temps, on d´etermine une des grandeurs propres au
-plasma, en l'absence d'onde ´electromagntique. Un plasma est un gaz
-ionis´e, de permit- tivit´e di´electrique *E*~0~ et de perm´eabilit´e
-magn´etique *µ*~0~, constitu´e d'´electrons de charge *e* et de masse
-*m~e~*, et d'ions de charge +*e* et de masse *M* , ainsi que d'atomes
-neutres. Les densit´es ´electronique *n~e~* et ionique *n~i~* ´etant
-´egales, le plasma est ´electriquement neutre. Si le plasma est peu
-dense et si sa temp´erature est peu ´elev´ee, on peut n´egliger les
-collisions dues \`a l'agitation thermique : il s'agit de
-l'*approximation des plasmas froids*.
->
-On se propose de d´eterminer les oscillations propres au plasma,
-caract´eris´ees
->
-par la pulsation plasma. Pour cela, supposons que sous l'action d'un
-champ
->
-´electrique stationnaire *E\_*0, les ´electrons de densit´e *n~e~* se
-d´eplacent en bloc suivant l'axe (*Oz*), d'une quantit´e *z*, les
-ions, du fait de leur inertie beau- coup plus grande restent
-immobiles. Il apparaˆıt donc un champ ´electrique *E\_*induit =
-*E~z~\_e~z~* entre les deux r´egions ou\` les charges oppos´ees se
-retrouvent accumul´ees.
-
-1.  D´eterminer l'expression de *E~z~* en fonction de *e*, *n~e~*,*z* et
-    *E*~0~, sachant que l'expression d'un champ ´electrique g´en´er´e
-    par un plan de densit´e sur-
-
-facique de charge *σ~S~*
->
-plan.
->
-s'´ecrit : *E\_* = *[σS]{.underline} \_n*, *\_n* ´etant un vecteur
-normal \`a ce 2*E*~0~
-
-2.  D´eterminer le mouvement des ´electrons lorsque'on annule *E\_*0 une
-    fois l'´equilibre atteint. En d´eduire la valeur de leur pulsation
-    propre appel´e *pulsation plasma*: *ω~p~*.
-
-3.  Calculer la fr´equence plasma pour une couche moyenne de la
-    ionosph\`ere pour laquelle la densit´e ´electronique est *n~e~* =
-    1011 m−3.
-
-*[Note :]{.underline} Les 3 exercices qui suivent d´emarrent aussi par
-la d´etermination du mouvement des particules charg´ees en r´esolvant
-leur ´equation du mouvement. Dans cette ´equation, la force
-´electrostatique sera toujours celle g´en´er´ee par le champ
-´electrique de l'onde EM. Ainsi, le passage de l'onde dans le
-mat´eriau impose un r´egime sinuso¨ıdale de pulsation ω pour les
-mouvements des par- ticules charg´ees. On pourra donc utiliser les
-outils math´ematiques adapt´es (notation complexe) pour r´esoudre ces
-´equations.*
-
-chap4 Propagation dans un plasma froid
-
-Il s'agit maintenant de d´eterminer les caract´eristiques d'une onde
-´electro-
->
-magn´etique plane, sinuso¨ıdale, polaris´ee rectilignement
-*E[\_]{.underline}* = *E\_*0 exp{\[*i*(*\_k* · *\_r* − *ωt*)\]}
->
-qui se propage dans un plasma froid tel que *n~e~* = *n~i~* = *n*. On
-n´eglige ´egalement les interactions entre particules. Dans ces
-conditions, les mouvements des particules ne sont d´etermin´es que par
-leur inertie et par l'action du champ
->
-´electrique de l'onde ´electromagn´etique se propageant dans le
-plasma, le poids des particules ´etant n´egligeable.
-
-1.  A partir de l'´equation du mouvement d'un ion (d'un ´electron)
-    soumis \`a l'action de l'onde, calculer la densit´e de courant
-    ionique *j~i~* (´electronique *j~e~*). En d´eduire la conductivit´e
-    *σ* du milieu.
-
-2.  On pose la pulsation plasma des ions Ω2 = *nie*2 , et 2 =
-
-2 + Ω2.
-
-*^p^ E*~0~*M*
-
-*ωc ωp p*
->
-Etablir l'´equation de dispersion du plasma en fonction de *c*, *ω* et
-*ω~c~*.
-
-3.  D´eterminer le domaine de pulsation pour lequel l'onde est
-    ´evanescente et celui pour lequel l'onde est progressive. Tracer
-    la courbe de dispersion *ω*(*k*).
-
-4.  Exprimer la vitesse de phase *v~ϕ~* et la vitesse de groupe *v~g~*
-    de l'onde progressive en fonction de *c* et des pulsations
-    caract´eristiques du plasma.
-
-5.  Exprimer l'indice de r´efraction *n~opt~* du milieu et repr´esenter
-    sa variation
-
-*n~opt~*(*ω*).
-
-6.  L'onde se propage dans la direction des *z* croissants. Ecrire le
-    champ
-
-´electrique dans chacun des domaines de fr´equences d´etermin´es aux
-ques- tions 3 et 4.
-
-7.  L'onde ´electromagn´etique qui se propage est-elle transverse ?
-    Justifier.
-
-8.  Le plasma consid´er´e fait partie de la ionosph\`ere (couche
-    atmosph´erique situ´ee environ entre 50 et 100 km de hauteur),
-    l'ionisation ´etant assur´ee par le soleil. La densit´e *n* est
-    alors gale 1*,* 22*.*1012 m−3. Les masses *M* et *m* (= 9*.*10−31
-    kg) des ions et des ´electrons sont dans le rapport
-
-*m* \'.:: 1850.
->
-Que peut-on dire \`a propos des conductivit´es de ces deux types de
-charge?
->
-Tenir compte de cette information pour simplifier et calculer la
-fr´equence de coupure du plasma, ainsi que la longueur d'onde de
-coupure *λ~c~* cor- respondante.
->
-A quelle cat´egorie d'ondes appartiennent celles qui sont susceptibles
-de traverser la ionosph\`ere ?
-
-9.  Les ´etoiles pulsar ´emettent des ondes radios. L'interval de
-    r´eception sur terre entre les impulsions \`a 400 MHz et 200 MHz
-    ´emises par une pulsar est de 4 s. Sachant que la densit´e
-    d'´electrons dans l'espace interstellaire est de 3×104m−3,
-    calculer la distance du pulsar
 
 chap4 Propagation dans un di´electrique